1、第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理1 1 切贝谢夫不等式切贝谢夫不等式研究随机变量的离差与方差的关系。ED设随机变量 有期望值与方差。对任给 0,有2DP(|E|)2DP(|E|)1 切贝谢夫不等式：若 是离散证：型随机变量,kkP(x)p 1kk|xE|P(|E|)P(x)k2kk2|xE|(xE)p 2kk2k(xE)p2D若 是连续型随机变量,(x),的概率密度为2P(|E|)P(E)P(E)EE(x)dx(x)dx22E22E(xE)(xE)(x)dx(x)dx 22(xE)(x)dx 2D31 设 是掷一颗骰子所出现的点数，若给定1，2，实际计算P(|-E|)
2、,并验证切贝谢夫不例等式成立。1P(k),k1,2,.,66 解：7E2 35D12 72P12371P223235112 D时，235248 D时，23134021000设电站供电网有盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定开、关事件彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间例的概率。令 表示夜晚同时开着的灯解：的数目。B(10000,0.7)7199kk10000 k10000k 6801P(68007200)C0.7 0.3 用切贝谢夫不等式估计：Enp 7000Dnpq 2100P(68007200)P(|7000|200)221001200 0.9551nnii
3、ii 1,.,n1E,D8,(i1,2,.,3,n)n 若是 个相互独立，同分布的随机变量，。对于 写出 所满足的切贝谢夫不等式，并估计P(|-|例0,n充分大时，必有n+1 且nnnlimP(|0|)n1limPn n1lim 1n=1 n即依概率收敛于0n3设为例两点分布 n1aaa.nn定义若存在常数，使对于任何 0，有limP(|0nlimPp1n 大量重复试验中，事件发生的频率接近于概率。若P(A)很小，则A发生的频率也很小如P(A)=0.001,约在1000次试验中，A发生一次在一次试验中认为A几乎不可能发生。这称为小概率事件的实际不可能性原理。1012inini 13(),.a(
4、i1,2,.)1limPa1n 定理辛钦大数定律 如果是相互独立有相同分布的随机变量,有E则对任意给定的 0，有12n,.,即的算术平均值依概率收敛于a实际应用中，对某一量a，在不变条件下重复测量n次，得到观察值x1,xnnii 1nxa1当 充分大时，可用作为 的近似值。n113 3 中心极限定理中心极限定理钉板试验12 研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限，这一类定理称为中心极限定理。一般地，若某项偶然因素对总和的影响是均匀的、微小的，即没有一项起特别突出的作用，则这些大量独立偶然因素总和的随机变量近似服从正态分布。212iiii,.Ea,D 设相互独立，innii=
5、1若每个对总和 影响不太大，则当 很大时，近似服从正态分布。13nn2iii 1i 1Na,所以nii 1n2ii 1aN(0,1)则这就是如下的李雅普诺夫定理：212iiiiinii 1nii0ni 1n1.Ea,D,limP(a)x(x).nn2ii=1定理设，相互独立，若某个 对总和影响不大，令S 则1Snnnn2iiiii 1i 1i 1i 1EEa,DD 由于14例1 一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两，标准差是0.1两。求一盒(100个)同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率。100iiii1设第 个螺丝钉重量为，一盒重量为 解：21100ii0.1,D0.1,.,相互独立
6、，E100ii 1EE100()两100ii 1DD1 N(100,1)近似服从正态分布P(102)100P211001 P21 01(2)=0.0227515例2 对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其期望值为2，方差为1.69。求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率。ii第 次轰炸命中目标的次数为解：100ii1100次轰炸命中目标的次数 100ii1EE200 100ii1DD169 D13 2N(200,13)P(180220)|200|20P131302(1.54)10.876441614848ii1.011,483设，相互独
7、立，都是，上均匀分布。记 求P(例0.4)ii11,D212 法一：E解48ii1E24,D4 记,2N(24,2)148因为 P(0.4)1P0.448 P(19.2)2419.224P220(2.4)01(2.4)=0.00815817解法二：正态分布的线性函数也是正态分布48ii1EE48 1120.548i2i1DD48 11576212421N 0.5,240.50.40.5P(0.4)P112424 0(2.4)=0.00815818例4 某大型商场每天接待顾客10000人，设某位顾客的消费额(元)服从100,1000上的均匀分布，且顾客的消费额是独立的，试求该商场的销售额在平均销
8、售额上、下浮动不超过20000元的概率。ii第 位顾客消费额位，商场销售额：为解，则10000ii1iE550 2i1D(1000 100)12 2900122900E5500000,D1000012 P(550000020000550000020000)550000020000P100 900100 900121202(0.77)1 0.5619例5 计算机在进行加法时，每个加数取整数(四舍五入)，设所有取整误差是相互独立的，且它们都在-0.5，0.5上服从均匀分布。(1)若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？(2)最少几个数相加在一起可使得误差总和的绝对值小于10的
9、概率不超过90？121500(1).解：iE0 i1D12 E0 D125 P(|15)1 P(|15)|0|151 P125125 01(2(1.34)1)=0.1802420(2)设有n个数相加12n.,E0 nD12|0|10P(|10)Pnn1212 01021n12 0.90100.95n12即101.64n12n446解得21二项分布可以看成多个0-1分布之和当n增加时，它以正态分布为极限。00ab(b)(a)bnpanpnpqnpq (2)积分极限定理：当n时P()02()(1)nknpnpq 定理拉普拉斯定理局部极限定理：当时1P(=k)npq22例6 10部机器独立工作，每部
10、停机的概率为0.2，求3部机器同时停机的概率。设同时停机的数目为，它服从解：二项分布n10,p0.2np2npq1.265(1)直接计算33710P(3)C 0.2 0.80.2013(2)用局部极限定理001knp132P(3)1.2651.265npqnpq 01(0.79)0.23081.265相差较大，这是因为n较小。n30一般要求23例7 每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求500发炮弹中命中5发的概率。500发炮弹中命中飞机的数目 服解：从二项分布n=500 p=0.01np5npq2.225(1)直接计算55495500P(5)C0.01 0.09 0.1763501knpP(5
11、)npqnpq(2)用局部极限定理01552.2252.22501(0)2.2250.179324(3)由于n很大，p很小，也可用Poisson分布计算np5 查表得P5(5)=0.175467比用正态分布更精确正态分布与Poisson分布都是二项分布的极限分布。n 用正态分布要求：Poissonn,p0,np 用分布要求：np(q)对 很大，或很小的二项分布(np5)用Poisson分布近似计算比用正态分布精确25实际应用更多的是积分极限定理废品数 服解：从二项分布n=10000p=0.005np50,npq7.0532N(50,7.053)近似服从正态分布507050P(70)P7.053
12、7.053 0(2.84)=0.9977例8 产品为废品的概率为p=0.005,求10000件产品中废品数不大于70的概率。26例9 已知一次试验中P(A)=0.75,分别用切贝谢夫不等式与中心极限定理计算。(1)在1000次试验中，A发生的次数在700-800之间的概率。(2)n取多大时，才能使n次重复独立试验中A出现的频率在0.740.76间的概率至少为0.9？(1)A发生的次数 服从解：二项分布n=1000p=0.75Enp750 Dnpq187.5 用切贝谢夫不等式计算P(700800)P(|750|50)2187.5150=0.92527用正态分布计算P(700800)P(|750|
13、50)75050P187.5187.502(3.65)10.9997378 n(2)次试验中A发生的次数 服从二项分布Enp0.75n Dnpq0.1875n 0.740.760.9要使Pn用切贝谢夫不等式28P 0.740.76P(0.74n0.76n)n P(|0.75n|0.01n)20.1875n1(0.01n)18751n 0.9n18750故用正态分布P 0.740.76P(|0.75n|0.01n)n0.75n0.01nP0.1875n0.1875n00.012n10.1875 0.90.01n1.640.1875n504329例10 某单位有200台电话分机，每台大约有5时间使用外线。若各分机是否使用外线是相互独立的，问总机至少要装多少条外线才能使打外线的接通率达到90？用 表示需使用外线的分机数，它服解：从二项分布。n200,p0.05,np10,npq9.5设要装k条外线。10k10P(k)P9.59.5 0k109.5 0.9k101.309.5故k14至少要装14条外线30
