1、2025年高考数学一轮复习-随机变量及其分布-专项训练一、基本技能练1.已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为，则数学期望E()为()A. B. C.1 D.2.已知随机变量XN(3，2)，且P(X0)P(X6)0.04，则P(0X3)()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.13.设随机变量X，Y满足Y3X1，XB(2，p)，若P(X1)，则D(Y)等于()A.4 B.5 C.6 D.74.已知随机变量XN(1，2)，且P(X0)P(Xa)，则的展开式中常数项为()A.240 B.60 C.240 D.605.某种包装的大米质量(单位：kg
2、)服从正态分布N(10，2)，根据检测结果可知P(9.9810.02)0.98，某公司购买该种包装的大米2 000袋，则大米质量在10.02 kg以上的袋数大约为()A.10 B.20 C.30 D.406.(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X0)，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是()A.P(X1) B.E(3X2)4C.D(3X2)2 D.D(X)7.已知某小组7人中有4人未接种疫苗，3人接种了疫苗.从这7人中随机抽取3人，用X表示抽取的3人中未接种疫苗的人数，则随机变量X的数学期望为_；记“抽取的3人中，既有接种疫苗的人，也有未接种疫苗的人”为事件
3、A，则P(A)_.8.一个袋中装有大小质地完全相同的m个红球和2m个白球(mN*)，从中任取3个球.记取出的白球个数为，若P(1)，则m_，E()_.9.甲、乙两个球队进行篮球决赛，采取五局三胜制(共赢得三场比赛的队伍获胜，最多比赛五局)，每场球赛无平局.根据前期比赛成绩，甲队的主场安排为“主客主主客”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以32获胜的概率为_.10.在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量XB(n，p)，记pkCpk(1p)nk，k0，1，
4、2，n.在研究pk的最大值时，小组同学发现：若(n1)p为正整数，则k(n1)p时，pkpk1，此时这两项概率均为最大值；若(n1)p为非整数，当k取(n1)p的整数部分时，则pk是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为_的概率最大.11.甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制.根据以往数据，在决胜局(在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛)中，甲、乙两队获胜的
5、概率均为0.5；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4.(1)若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了局比赛，求随机变量的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大；(2)如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？12.血液检测是诊断是否患疾病的重要依据，通过提取病人的血液样本进行检测，样本的某一指标会呈现阳性或阴性.若样本指标呈阳性，说明该样本携带病毒；若样本指标呈阴性，说明该样本不携带病毒.根据统计发现， 每个疑似病例的样本呈阳性(即样本携带病毒)的概率均为p(0p1).现有4例疑似病例，分别对其进行血液样本检测.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可
6、以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要携带病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性.若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下两种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验.在该疾病爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.(1)若p，求这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列；(2)若将该4例疑似病例样本进行化验，且方案二比方案一更“优”，求p的取值范围.二、创新拓展练13.(多选)已知随机变量X服从二项分布B(4，p)，其数学期望E(X)2，随机变量Y服从正态分布N(p，4)，且P(X3)P(Ya)1，
7、则()A.p B.pC.P(Y1a) D.P(Y1a)14.(多选)下列命题中，正确的命题的选项为()A.已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)30，D(X)20，则pB.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C.设随机变量服从正态分布N(0，1)，若P(1)p，则P(10)pD.某人在10次射击中，击中目标的次数为X，XB(10，0.8)，则当X8时概率最大15.(多选)在某独立重复试验中，事件A，B相互独立，且在一次试验中，事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为1p，其中p(0，1).若进行n次试验，记事件A发生的次数为X，事件B发生的次数为Y，事件AB发生的次
8、数为Z，则下列说法正确的是()A.E(X)E(Y) B.D(X)D(Y)C.E(Z)D(X) D.nD(Z)D(X)D(Y)16.春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：2010：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9：209：40记作区间20，40)，9：4010：00记作40，60)，10：0010：20记作60，80)，10：2010：40记作80，100，例如：10点04分，记作时刻64.(1)估计这600辆车在9：2010：40时间段内通过该收
9、费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)为了对数据进行分析，现采用分层随机抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X为9：2010：00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望；(3)由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N(，2)，其中可用这600辆车在9：2010：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，2可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，已知大年初五全天共有1 000辆车通过该收费点，估计在9：4610：40之间通过的车辆数(结果保留到整数).参考数据：若TN(，2)，
10、则P(T)0.682 7，P(2T2)0.954 5，P(3T3)0.997 3.参考答案与解析一、基本技能练1.答案D解析可取0，1，2，P(0)，P(1)，P(2)，E()012，故选D.2.答案B解析因为随机变量XN(3，2)，所以曲线关于x3对称，且令P(X0)P(X6)t，t20.04，t0.2，即P(X0)P(X6)0.2，P(0X3)0.5P(X0)0.3，故选B.3.答案A解析由题意可得，P(X1)1P(X0)1C(1p)2，解得p，则D(X)np(1p)2，D(Y)32D(X)4.故选A.4.答案D解析根据正态分布曲线关于直线x1对称，且P(X0)P(Xa)，可得a2，则，通
11、项为Tr1C()6r(2)rCx，若此项为常数项，则63r0，解得r2，所以常数项为(2)2C60，故选D.5.答案B解析因为大米质量N(10，2)，且P(9.9810.02)0.98，则P(10.02)0.01，所以大米质量在10.02 kg以上的袋数大约为2 0000.0120.故选B.6.答案ABC解析随机变量X服从两点分布，其中P(X0)，P(X1)，E(X)01，D(X)，在A中，P(X1)，故A正确；在B中，E(3X2)3E(X)2324，故B正确；在C中，D(3X2)9D(X)92，故C正确；在D中，D(X)，故D错误.7.答案解析由题意可得X的可能取值为0，1，2，3，则P(X
12、0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，E(X)0123.P(A)P(X1)P(X2).8.答案22解析根据题意，取出的三个球中恰好有一个白球的概率为P(1)，解得m2.所以袋中有2个红球，4个白球，则取出的三个球中白球个数的可能取值为1，2，3，所以P(1)，P(2)，P(3)，E()1232.9.答案0.18解析由题意知，甲队以32获胜，则甲队第五场必胜，前四场“主客主主”中胜两局，有两种情况：一种为三个主场胜两场，一种为客场胜一场主场胜一场，其概率为C0.620.40.50.5C0.60.420.50.50.18.10.答案18解析继续再进行80次投掷试验，出现点数为1的次数X服从二项
13、分布XB，由k(n1)p8113.5，结合题中的结论可知，当k13时，概率最大，即后面80次中出现13次点数1的概率最大，加上前面20次中的5次，所以出现18次的概率最大.11.解(1)由题意知：的可能取值为3，4，5.则P(3)0.630.430.28；P(4)C0.40.63C0.60.430.374 4；P(5)C0.420.620.345 6.则的分布列为345P0.280.374 40.345 60.374 40.345 60.28，进行四局比赛的可能性最大.(2)作为甲队领队，希望甲队最终获胜；若采用五局三胜制，甲队获胜的概率为p10.63C0.40.63C0.420.620.50
14、.648；若采用三局两胜制，甲队获胜的概率为p20.62C0.40.60.50.6；p1p2，作为甲队领队，希望采用五局三胜制.12.解(1)由题意知，XB，则P(X0)C；P(X1)C；P(X2)C；P(X3)C；P(X4)C.则这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列为X01234P(2)方案一中，逐个化验，化验次数为4，期望为4.方案二中，设化验次数为Y，则Y的所有可能取值为2，4，6.每组两个样本化验呈阴性的概率为(1p)2，设x(1p)2.则P(Y2)x2；P(Y4)Cx(1x)；P(Y6)(1x)2.所以E(Y)2x24Cx(1x)6(1x)264x.若方案二比方案一更“优”，则
15、E(Y)64x4，解得x，即x(1p)2，解得0p1.所以当0p1时，方案二比方案一更“优”.二、创新拓展练13.答案BD解析由题意知E(X)np4p2，即p，P(X3)C，P(Ya)，由于YN，对称轴x，所以P(Y1a)P(Ya).故选BD.14.答案BCD解析对于A，解得A错误；对于B，方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，B正确；对于C，服从正态分布N(0，1)，P(10)P(01)P(1)p，C正确；对于D，XB(10，0.8)，则P(Xk)C0.8k0.210k，由解得k，因为kN*，所以k8.D正确.15.答案B
16、C解析因为E(X)np，E(Y)n(1p)，即A错误；因为D(X)np(1p)，D(Y)n(1p)p，即B正确；因为A，B相互独立，所以P(AB)p(1p)，所以E(Z)np(1p)D(X)，即C正确；因为nD(Z)n2p(1p)1p(1p)，D(X)D(Y)n2p2(1p)2，即D错误.故选BC.16.解(1)这600辆车在9：2010：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为(300.005500.015700.020900.010)2064，即10：04.(2)结合频率分布直方图和分层随机抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在20，60)这一区间内的车辆数，即(0.0050.015)20104，所以X的可能取值为0，1，2，3，4.所以P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以X的分布列为X01234P所以E(X)01234.(3)由(1)得64，2(3064)20.1(5064)20.3(7064)20.4(9064)20.2324，所以18，估计在9：4610：40之间通过的车辆数也就是在46，100)通过的车辆数，由TN(64，182)，得P(6418T64218)0.818 6，所以估计在9：4610：40之间通过的车辆数为1 0000.818 6819(辆).
