2025年高考数学一轮复习-直线与圆锥曲线-专项训练(含答案).docx

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1、2025年高考数学一轮复习-直线与圆锥曲线-专项训练一、基本技能练1.椭圆1中,以点M(1,2)为中点的弦所在直线斜率为()A. B. C. D.2.抛物线y24x的焦点为F,点A在抛物线上.若|AF|3,则直线AF的斜率为()A. B.2 C. D.23.若双曲线1(a0,b0)的一条渐近线被圆x2y24y20所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为()A. B. C.2 D.4.F1,F2分别是椭圆C:1(ab0)的左、右焦点,B是椭圆的上顶点,过点F1作BF2的垂线交椭圆C于P,Q两点,若37,则椭圆C的离心率是()A.或 B.或C.或 D.或5.已知椭圆M:1(a),过焦点F的直线l与M

2、交于A,B两点,坐标原点O在以AF为直径的圆上,若|AF|2|BF|,则M的方程为()A.1 B.1C.1 D.16.(多选)已知双曲线C:1,F1,F2为C的左、右焦点,则()A.双曲线1(m0)和C的离心率相等B.若P为C上一点,且F1PF290,则F1PF2的周长为62C.若直线ytx1与C没有公共点,则tD.在C的左、右两支上分别存在点M,N,使得47.已知直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆1总有公共点,则b的取值范围是_.8.已知F1,F2为椭圆C:1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为_.9.已知双曲线1(a0,b0)的左

3、、右焦点分别是F1,F2,P(x1,y1),Q(x2,y2)是双曲线右支上的两点,x1y1x2y23.记PQF1,PQF2的周长分别为C1,C2,若C1C28,则双曲线的右顶点到直线PQ的距离为_.10.已知双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过原点的直线l与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A,B,F1AF260,四边形AF1BF2的周长p与面积S满足p2S,则该双曲线的离心率为_.11.已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,其准线与x轴交于点P,过点P作直线l与C交于A,B两点,点D与点A关于x轴对称.(1)证明:直线BD过点F;(2)若3,求l的斜率.12.已知

4、椭圆C:1(ab0)的离心率为,且经过点.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,点M是x轴上的一点,过点M的直线l与椭圆C交于A,B两点(点A在x轴的上方),若|AM|2|MB|,且直线l与圆O:x2y2相切于点N,求OMN的面积.二、创新拓展练13.在平面直角坐标系xOy中,点A(1,0),B(9,6),动点C在线段OB上,BDy轴,CEy轴,CFBD,垂足分别是D,E,F,OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的轨迹上,且OAQ120,则|AQ|()A.4 B.2 C. D.14.(多选)已知F为抛物线C:y26x的焦点,过直线x上一动点P作C的两条切线,切点分别为A,B,则下列恒为定值的是()

5、A. B.C. D.15.双曲线T:1(a0,b0)的焦距为2c,圆x2y2c2与T及T的渐近线分别在第一象限交于点M,N.若M,N关于直线yx对称,则T的离心率为_.16.在平面直角坐标系中,顶点在原点、以坐标轴为对称轴的抛物线C经过点(1,2).(1)求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C关于x轴对称,过焦点F的直线交C于A,B两点,线段AB的垂直平分线交直线AB于点P,交C的准线于点Q.若|AB|PQ|,求直线AB的方程.参考答案与解析一、基本技能练1.答案B解析设以M为中点的弦为弦AB,弦AB的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则1,1,两式相减得0,又弦AB中点为M(1,2),

6、x1x22,y1y24,即0,k.2.答案B解析由题意得F(1,0),设点A(x0,y0),则|AF|x013,故x02,y02,故点A坐标为(2,2)或(2,2),所以直线AF的斜率为2.故选B.3.答案C解析不妨设双曲线的一条渐近线方程为:bxay0,圆x2y24y20的圆心为(0,2),半径为,可得圆心到直线的距离为,整理得4a2a2b2,即4a2c2,e2,故选C.4.答案B解析由椭圆C的方程可得B(0,b),F2(c,0),F1(c,0),所以kBF2,设直线PQ的方程为y(xc),即xyc,设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立整理得(b4a2c2)y22b3c2yb4c20,

7、可得y1y2,y1y2,因为37,则3(cx1,y1)7(x2c,y2),可得y1y2代入可得y2.将y1y2代入可得y,代入可得化简,得25c425a2c24a40,即25e425e240,解得e2或e2,即e或e,故选B.5.答案A解析由题意不妨设F(c,0),因为原点O在以AF为直径的圆上,所以OAOF,可得A为椭圆M短轴的端点,则A(0,),因为|AF|2|BF|,所以B代入椭圆M方程中可得1,即a23c2,又c2a22,所以a23(a22),解得a23,所以椭圆M的方程为1,故选A.6.答案BC解析选项A:双曲线C:1的离心率e,双曲线1(m0)的离心率e,则双曲线1(m0)和C的离

8、心率不一定相等.判断错误;选项B:P为C:1上一点,且F1PF290,则有整理得|PF1|PF2|2,则F1PF2的周长为62.选项B判断正确;选项C:由可得(54t2)x28tx240,由题意可知,方程(54t2)x28tx240无解.当54t20时,方程(54t2)x28tx240有解;当54t20时,则有解之得t,故若直线ytx1与C没有公共点,则t.判断正确;选项D:根据题意,过双曲线C的左焦点F1的直线MN方程可设为xty3,令M(x1,y1),N(x2,y2),由4,可得y24y1,由可得(5t24)y230ty250,则有则有整理得19t21000,显然不成立.当过双曲线C的左焦

9、点F1的直线MN为水平直线时,方程为y0,则M(2,0),N(2,0),(1,0),(5,0),即5.综上可知,不存在分别在C的左、右两支上M,N使得4.判断错误.故选BC.7.答案1,2)解析由题意直线ykx1恒过定点N(0,1),要使直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆1总有公共点,则只需要点N(0,1)在椭圆上或椭圆内,即1,解得b1,又焦点在x轴上,b2.1b0,则1k0,故k.12.解(1)由题意知解得所以椭圆C的方程为y21.(2)设M(m,0),直线l:xtym,A(x1,y1),B(x2,y2),由|AM|2|MB|,得y12y2,由得(t24)y22mtym240.16(m2t2

10、4)0,即m20,此时点M的坐标为,在RtOMN中,|MN|,所以SOMN.二、创新拓展练13.答案A解析设P(x,y),则yCy,直线OB为yx,C,E(0,y),F,FCy轴,OPEFPC,即y24x,P的轨迹方程为:y24x(0x9),故A(1,0)为该抛物线的焦点,设Q(x0,y0),则y4x0,(x01,y0),(1,0),cosOAQ,解得x03,|AQ|x0314.故选A.14.答案BCD解析根据题意,得x为抛物线的准线,焦点为F,设P,设过点P与曲线C相切的直线方程为:yy0k(k0),由得ky26y6y09k0,由直线与曲线相切得364k(6y09k)0,整理得3k22ky0

11、30,设切线PA的斜率为k1,切线PB的斜率为k2,则k1k2,k1k21,即切线PA与PB垂直.由3k22ky030得y0并代入ky26y6y09k0,整理得k2y26ky90,解得y,再由y,y0代入yy0k,得x,所以A,B,所以kAB,kPF,所以ABPF,因为3k2k1y030,kAF,所以A,B,F三点共线(如图)所以PAB为直角三角形,PF为边AB上的高.对于A:由等面积法得SPAB|PA|PB|AB|PF|,即|PF|,由于P为动点,故|PF|不为定值,故A错误;对于B:由过焦点弦的性质(定值),B正确;对于C,由切线PA与切线PB垂直,故0,即0(定值),C正确;对于D,由题

12、知PBFAPB,所以|PF|2|AF|BF|,所以cos cos 1801(定值),故D正确,故选BCD.15.答案解析双曲线1(a0,b0),一条渐近线方程为yx,设M(x1,y1),N(x2,y2),其中x1,x2,y1,y20,联立方程组可得x2a2,xa,即M的横坐标为x1a.联立方程组整理得b2(c2y2)a2y2a2b2,即y2,解得y,即点N的纵坐标为y2.因为点M与点N关于直线yx对称可得x1y2,即a,即b2ac,c2a2ac,即e2e10,解得e或e,又双曲线离心率e1,e.16.解(1)当焦点在x轴时,设抛物线C:y22px(p0).将点(1,2)代入得p2,此时抛物线的

13、方程为y24x.当焦点在y轴时,设抛物线C:x22py(p0),将点(1,2)代入得p,此时抛物线的方程为x2y.综上,抛物线C的方程为y24x或x2y.(2)当抛物线C的焦点在x轴时,其方程为y24x,焦点坐标为(1,0),准线方程为x1.当直线AB的斜率不存在时,|AB|4,|PQ|2,不符合题意,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为yk(x1)(k0),与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y得,k2x2(2k24)xk20.16k2160,x1x2,|AB|x1x224,线段AB的中点P为,直线PQ的方程为y.令x1,得y,Q,|PQ|2.由|PQ|AB|得,24,解得k,直线AB的方程为yx或yx.

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