1、第2章 平面力系u 2.1 平面汇交力系平面汇交力系u 2.2 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系u 2.3 平面任意力系平面任意力系u 2.4 考虑摩擦力的平衡问题考虑摩擦力的平衡问题u 思考与练习题思考与练习题为了便于研究，通常将力系按作用线的分布情况进行分类。各力作用线都在同一平面内的力系称为平面力系。各力作用线不在同一平面内的力系称为空间力系。在这两种力系中，作用线交于一点的称为汇交力系，作用线相互平行的称为平行力系，作用线既不完全交于一点又不完全平行的称为一般力系。按由简单到复杂，由特殊到一般的认识规律，首先研究平面力系。如图2-1(a)和(b)所示为起重机的吊钩所受钢丝绳的拉力F1、
2、F2和F3的作用，如图2-1(c)所示为在砖砌基座上的锅炉受重力G和反力FNA和FNB的作用，这些都是平面汇交力系的工程实例。图2-1 平面汇交力系的工程实例2.1.1 力的分解力的分解由上一章知道，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是惟一的；但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。因为按力的平行四边形公理FF1F2，其中每个矢量都包含大小和方向两个要素，则上式中就有六个要素，必须已知其中四个才能确定其余两个。即在已知合力的大小和方向的条件下，还必须给出另外两个条件：2.1 平面汇交力系平面汇交力系如两分力的方向，或两分力的大小，或一个分力的大小和方向，
3、或一个分力的大小和另一分力的方向等。所以要使问题有确定的解，必须附加足够的条件。在工程中常会遇到要将一个力沿已知方向分解，求两分力大小的问题。2.1.2 力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影设力F作用在物体上的A点，如图2-2所示。在力F作用线所在平面内取直角坐标系Oxy。从力F的两端A和B分别向x轴作垂线，得垂足a、b，线段ab称为力F在轴x上的投影，用Fx表示。同样，从A和B分别向y轴作垂线，得垂足a1、b1，线段a1b1称为力F在轴y上的投影，用Fy表示。必须注意，力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b(或由a1到b1)的趋向与x轴(或y轴)的正向一致时，则力F的投影Fx(或Fy
4、)取正值；反之，取负值。图2-2 力在平面直角坐标系内的投影若已知力F的大小为F，它和x轴的夹角为(取锐角)，则力在坐标轴上的投影Fx、Fy可以按下式计算：(2-1)若已知力F在直角坐标轴上的投影Fx、Fy、则该力的大小和方向为(2-2)sincosFFFFyxFFFFFFFyxyxcoscos222.1.3 合力投影定理合力投影定理合力投影定理是用解析法求解平面汇交力系合成与平衡问题的理论依据。若刚体在平面上的一点作用着n个力F1，F2，Fn，按两个力合成的平行四边形法则依次类推，从而得出力系的合力等于各分力的矢量和，即FF1F2FnF 则其合力的投影FxF1xF2xFnxFx FyF1yF
5、2yFnyFy 式(2-3)表明，合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。这就是合力投影定理。(2-3)2.1.4 平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系的平衡条件由式(2-2)和式(2-3)可以看出，平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。显然，如果合力等于0，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态，由此可以得出结论：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于0。即(2-4)022xxFFFF 而要使式(2-4)成立，则必须同时满足(2-5)由此可知：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系中所有力在任选两个坐标轴上投影的代数和均为0。式(2-5)
6、为平面汇交力系平衡的解析条件，也称为平面汇交力系的平衡方程。在列平衡方程时，由于坐标轴是可以任意选取的，因此可以列出任意数目的平衡方程。但是，独立的平衡方程只有两个，因此对于一个具体的平面汇交力系，只能求解两个未知量。00yxFF例例2-1 如图2-3(a)所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F12000 N，水平向左；F25000 N，与水平成30角；F33000 N，铅直向下。试求合力大小。解解 以作用于吊环上的三力交点为坐标原点，建立如图2-3(b)所示的坐标系。首先分别计算各力的投影。F1xF12000 N F2xF2cos3050000.866 N4330 N F3x0F1y0
7、F2yF2sin3050000.5 N2500 NF3yF33000 N图2-3 吊环 由式(2-2)和式(2-3)可得FxFx(200043300)N6330 N FyFy(025003000)N5500 N 由于Fx、Fy都是负值，因此合力应在第三象限(如图2-3(b)所示)。N8386N)5500()6330(2222 yxFFF417548.083866330cosFFx 例例2-2 如图2-4(a)所示为一简易起重机装置，重量G2 kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢
8、丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。图2-4 简易起重机装置解解 因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力都可以通过其对滑轮的反力求出。因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图，并以其中心为原点建立直角坐标系，如图2-4(b)所示。由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有Fy0，FNACsin30Fcos30G0得kN46.7kN5.0866.02230sin30cosNFGFAC再由Fx0，FNABFNACcos30Fsin300可得 FNAC为负值，表明FNAC的实际指向与假设方向相反，即AC杆为受压杆件。kN46.5kN5.02866.
9、0)46.7(30sin30cosNNFFFACAB通过以上例题，我们可以看出静力学分析的方法在求解静力学平衡问题中的重要性。下面就将有关静力学平衡问题的一般方法和步骤作以总结：(1)选择研究对象。所选研究对象应与已知力(或已求出的力)、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力。在分析构件受力时，应先以受力简单并能由已知力求得未知力的构件作为研究对象，然后再以受力较复杂的构件作为研究对象。(2)画受力图。根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。(3)建立坐标系，根据平衡条件列解平衡方程。在建立坐标系时，最好有一轴与一个未知力垂直。根据平衡
10、条件列解平衡方程时，要注意各力投影的正负号。如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反。2.2.1 力对点之矩力对点之矩1.力对点之矩的概念力对点之矩的概念在长期的生产活动中人们认识到，力不仅能使物体产生移动，还能使物体产生转动。例如，在利用扳手拧螺母时，扳手连同螺母一起绕螺母的中心线转动。由经验可知，松紧螺母的效应不仅与作用力的大小和方向有关，而且还与力的作用线到螺母中心线的相对位置有关。2.2 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系图2-5 扳手工作简图在工程中将表述力使物体产生转动效应的物理量称为力矩。如图2-5所示为扳手及其所受力在垂直于螺母中心线的平面上的投影。图中螺母中心
11、线在平面上的投影点O称为力矩中心(简称矩心)，力的作用线到力矩中心O点的距离d称为力臂，力使扳手绕O点的转动效应取决于力F的大小与力臂d的乘积及力矩的转动方向。力对点之矩用MO(F)来表示，即MO(F)Fd(2-6)力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。一般规定为：力使物体绕矩心作逆时针方向动时，力矩取正号；反之，取负号。力矩的单位是Nm。由力矩的定义可知：(1)若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。(2)若F0，则MO(F)0；若MO(F)0而F0，则必须是d0，即力F通过O点。所以，力矩等于零的条件是：力等于零或
12、力的作用线通过矩心。2.合力矩定理合力矩定理在力矩的计算过程中，有时力臂的计算较烦琐，所以经常利用分力对某点之矩和合力对该点之矩的关系来计算，即下面要讨论的合力矩定理。定理定理1 平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和，即(2-7)该定理不仅适用于正交的两个分力系，对任何有合力的力系均成立。niiOOMM1)()(FR3.力对点之矩的求法力对点之矩的求法通常在求平面内力对某点的矩时，一般采用以下两种方法：(1)用力矩的定义式，即力和力臂的乘积求力矩。这种方法的关键在于确定力臂d。需要注意的是，力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。(2)
13、运用合力矩定理求力矩。在工程实际中，有时力臂的几何关系较复杂，不易确定时，可将作用力正交分解为两个分力，然后应用合力矩定理求原力对矩心的力矩。图2-6 例2-3图例例2-3 如图2-6所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为，又知OBl，BCh，求力F对O点的力矩。解解(1)利用力矩的定义进行求解。如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点，则力臂d即为线段Oa。再过B点作力线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则有)cossin()()(hlFabObFFdMOF(2)利用合力矩定理求解。由于力F的力臂d的几何关系较为复杂，不易直接求出，因此可以利用合力矩定理求力矩
14、。如图，可先将力F分解成一对正交的分力FCx、FCy。则力F的力矩就可以用这两个分力对点O的力矩的代数和求出。即)cossin(sincos)()()(hlFFlFhMMMCyOCxOOFFF2.2.2 力偶及其性质力偶及其性质1.力偶的定义力偶的定义在工程实践中，常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的作用，而使物体产生转动的事例。例如，用手拧水龙头、转动方向盘等，如图2-7所示。在力学研究中，我们将作用在物体上的一对大小相等、方向相反、作用线相互平行的两个力称为力偶。记作(F，F)。图2-7 力偶实例力偶是一个基本的物理量，具有一些独特的性质，它既不平衡，也不能合成为一个合力
15、，只能使物体产生转动效应。力偶两个力所在的平面，称为力偶作用面，两力作用线之间的垂直距离，叫作力偶臂，以d来表示，力偶使物体转动的方向称为力偶的转向。力偶对物体的转动效应，取决于力偶中的力与力偶臂的乘积，称为力偶矩。记作M(F，F)或M，即(2-8)FdM),(FF 力偶同力矩一样，是一代数量。其正负号只表示力偶的转动方向。通常规定，力偶逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。力偶矩的单位是Nm或 kNm。力偶矩的大小、力偶的转向和力偶的作用平面称为力偶的三要素。2.力偶的性质力偶的性质(1)力偶无合力。力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡，力偶只能用力偶来平衡。由于力偶中的两个力是等值、
16、反向的，它们在任意坐标轴上的投影的代数和恒为0，因此，力偶对物体只有转动效应而无移动效应。从而，力偶对物体的作用效果不能用一个力来代替，也不能用一个力来平衡。可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。图2-8 力偶(2)力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩，而与矩心的位置无关。如图2-8所示，一力偶M(F，F)Fd，对于平面任意一点O的力矩，可用组成力偶的两个力分别对O点力矩的代数和度量，记作MO(F，F)Fd，即 (3)力偶的等效性。作用在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，力偶的转向相同，则这两个力偶是等效的。这称为力偶的等效性。),()(),(FFFFMFdxFx
17、dFM根据力偶的等效性，可以得出两个推论：推论推论1 力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的转动效应，即力偶对物体的转动效应与它在作用面内的位置无关。推论推论2 在保持力偶矩大小和力偶转向不变的情况下，可以同时改变力偶中力的大小和力臂的长短，而不会改变力偶对物体的转动效应。值得注意的是，力偶的等效性仅适用于刚体，不适用于变形体。2.2.3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡作用在刚体上同一平面内的多个力偶组成一个平面力偶系。1.平面力偶系的合成平面力偶系的合成从力偶的性质可知，力偶对物体只产生转动效应，而且转动效应的大小完全取决于力偶矩的大小及转向。那么，对于物体内某一平面内
18、受多个力偶组成的力偶系作用时，也只能使物体产生转动效应。显然，其力偶系对物体转动效应的大小等于各力偶转动效应的总和，即平面力偶系可以合成为一个合力偶，其力偶矩等于分力偶矩的代数和。合力偶矩用M表示为(2-9)MMMMMn212.平面力偶系的平衡平面力偶系的平衡既然平面力偶系合成的结果为一个合力偶，因而要使力偶系平衡，就必须使合力偶矩等于0，即M0(2-10)可见，平面力偶系平衡的充分必要条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于0。例例2-4 梁AB受一主动力偶作用(如图2-9(a)所示)，其力偶矩M100 Nm，梁长l5 m，梁的自重不计，求两支座的约束反力。解解(1)以梁为研究对象，进行受力分析
19、并画出受力图，如图2-9(b)所示。作用于梁上的有矩为M的力偶，两支座的约束反力为FA、FB。由活动铰支座的约束性质可知，FB的方位可定，而FA的方位不定。由于不计梁的自重，根据力偶只能用力偶来平衡的性质，可知FA必须与FB组成一个力偶，即力FA必须与FB大小相等、方向相反、作用线平行。图2-9 梁(2)列解平衡方程。由得 0M20m5mN1000lMFFMlFBAB例例2-5 电机轴通过联轴器与工件相联接，联轴器上四个螺栓A、B、C、D的孔心均匀地分布在同一圆周上，如图2-10所示，此圆周的直径d150 mm，电机轴传给联轴器的力偶矩M2.5 kNm，求每个螺栓所受的力。图2-10 联轴器解
20、解 以联轴器为研究对象。作用于联轴器上的有电动机传给联轴器的力偶矩M、四个螺栓的约束反力。假设四个螺栓的受力均匀，则F1F2F3F4F，其方向如图所示。由平面力偶系平衡条件可知，F1与F3、F2与F4组成两个力偶，并与电动机传给联轴器的力偶矩M平衡。据平面力偶系的平衡方程，有解之得kN33.8kN15.025.220,0dMFFdFdMM如果作用在物体上的各力的作用线都在同一平面内，既不相交于一点又不完全平行，则这样的力系称为平面任意力系。如图2-11所示为起重机横梁AB受平面任意力系的作用。2.3 平面任意力系平面任意力系图2-11 起重机横梁2.3.1 平面任意力系的简化平面任意力系的简化
21、1.力的平移定理力的平移定理由力的可传性原理可知，作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动，而不改变其对刚体的作用效应。但如果将力平行于其作用线移动到刚体内另一位置，则它对刚体的作用效应将会改变。如何才能使力平移后对物体的作用不变？如图2-12所示，欲将作用在刚体上A点的力F平行移动到刚体内任意一点O，按加减平衡公理，可在O点加上一对平衡力F、F，并且使F F F。F和F 为一对等值、反向、不共线的平行力，组成了一个力偶，称为附加力偶，其力偶矩为)(),(FFFOMFdM 图2-12 力的平移上式表示，附加力偶矩等于原力F对平移点的力矩。于是，在作用于刚体上平移点的F和附加力偶M的共同作用下，
22、其作用效应就与力F作用在A点时的等效。由此可以得出：作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。此即为力的平移定理。力的平移定理在理论和实际应用方面都具有重要意义，它不仅是力系向一点简化的理论依据，而且还可以直接用来解决许多工程实际问题。但是，这一定理只适用于刚体，对变形体一般不适用。2.平面任意力系向平面内任一点简化平面任意力系向平面内任一点简化如图2-13所示，在刚体上作用有一平面任意力系F1，F2，Fn，分别作用于点A1，A2，An。在力系所在平面内任取一点O作为简化中心，将力系中所有力分别平移到简化中心O处，且各附加一力偶，这样就将
23、平面任意力系简化为作用于简化中心O的平面汇交力系与一个由各附加力偶组成的附加平面力偶系，如图2-13(b)所示。由平面汇交力系理论可知，作用于简化中心O点的平面汇交力系可合成为一个力FR，称为平面任意力系的主矢，其作用线过简化中心点O，如图2-13(c)所示。主矢FR的大小、方向为(2-11)xyyxyxRFFaFFFFFtan)()()()(2222附加力偶M1，M2，Mn组成的平面力偶系的合力偶矩MO，称为平面任意力系的主矩。由平面力偶系的合成可知，主矩等于各附加力偶矩的代数和。由于每一个附加力偶矩等于原力对平移点的力矩，因此主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上，
24、如图213(c)所示。图2-13 平面任意力系的简化综上所述，平面任意力系向平面内一点简化，得到一个主矢FR和一个主矩MO。主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再开方，作用在简化中心上。其大小和方向与简化中心的选择无关。主矩等于原力系各分力对简化中心力矩的代数和，其值一般与简化中心的选择有关。3.简化结果分析简化结果分析平面任意力系向平面内任一点简化，得到一个主矢FR 和一个主矩MO，但这不是力系简化的最终结果，如果进一步分析简化结果，则有下列情况：(1)若FR 0，MO0，则原力系简化为一个力和一个力偶。在这种情况下，根据力的平移定理，这个力和力偶还可以继续合成为一个合力FR，其作用线离
25、O点的距离为利用主矩MO的转向来确定合力F的作用线在简化中心的哪一侧。RFMdO(2)若FR 0，MO0，则原力系简化为一个力。在这种情况下，附加力偶系平衡，主矢FR即为原力系的合力FR，作用于简化中心。(3)若FR 0，MO0，则原力系简化为一个力偶，其矩等于原力系对简化中心的主矩。在这种情况下，简化结果与简化中心的选择无关，即无论力系向哪一点简化都是一个力偶，且力偶矩等于主矩。(4)若FR 0，MO0，则原力系是平衡力系。2.3.2 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡1平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件由上面内容可知，当平面任意力系简化后所得的主矢、主矩同时为0，即FR 0，M
26、O0时，平面任意力系处于平衡。同理，如果力系是平衡力系，则该力系向平面内任意一点简化后所得的主矢、主矩必然为0。因此平面任意力系平衡的必要与充分条件为：FR 0，MO0，即0)(,0)()(22RFMMFFFOOyx由此可得平面任意力系的平衡方程为(2-12)上式为平面任意力系平衡方程的基本形式，也称为矩式方程。由于这是一组三个独立方程，因此只能求解出三个未知量。000OyxFFF2平面平行力系的平衡条件平面平行力系的平衡条件如果平面力系中各力的作用线互相平行，则称该平面力系为平行力系。如图2-14所示为刚体上作用一平面平行力系F1，F2，Fn，如果取坐标系中Oy轴与各力平行，则无论该力系是否
27、平衡，各力在x轴上的投影恒等于0，即Fx0。因此，平面平行力系的平衡方程为(2-13)0)(0FMFOy图2-14 平行力系即平面平行力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力在与其平行的坐标轴上的投影的代数和等于0。需要注意的是，式中的y轴与各力平行，或(2-14)式中A、B两点连线不能与各力的作用线平行。由此可见，平面平行力系只有两个独立的平衡方程，因此只能求出两个未知量。0)(0)(FMFMBA例例2-6 已知一塔式起重机的结构简图如图2-15所示。设机架重量G500 kN，重心在C点，与右轨相距a1.5m。最大起吊重量P250 kN，与右轨B最远距离l10m。平衡物重力为Gt，与左轨A相距
28、x6m，两轨相距b3m。试求起重机在满载与空载时都不至翻倒的平衡重物Gt的范围。解解 取起重机为研究对象。作用于起重机上的力有主动力G、平衡重物Gt、起吊重量P及约束反力FNA、FNB，这些力组成一平面平行力系。图2-15 塔式起重机要保障满载时机身平衡而不向右翻倒，则这些力必须满足平衡方程MB(F)0，在此状态下，A点将处于离地与不离的临界状态，即有FNA0。这样求出的Gt值是它应有的最小值。kN361kN36102505.15000)(,0)(mintmintbxPlGaGPlGabxGFMB 要保障满载时机身平衡而不向左翻倒，则这些力必须满足平衡方程MA(F)0，在此状态下，B点将处于离
29、地与不离的临界状态，即有FNB0。这样求出的Gt值是它应有的最大值。因此，平衡重力Gt之值的范围为361 kNG1375 kN。kN375kN6)35.1(500)(0)(,0)(mintmaxtxbaGGbaGGFMA例例2-7 加料小车由钢索牵引沿倾角30的轨道上匀速上升，如图2-16(a)所示，C为小车的重心。已知小车的重量G40 kN，a0.2m，b1.7m，e0.2m、h0.6m，若不计小车与斜面的摩擦力，试求钢索拉力FT和轨道作用于小车的约束反力。解解(1)取小车为研究对象，画出受力图，如图2-16(b)所示。(2)本题有两个未知力FNA、FNB互相平行，所以可如图216(b)取x
30、轴与轨道平行，y轴垂直于轨道，建立坐标系。图2-16 小车工作力学模型列解平衡方程：0cossin)(,0)(kN20kN5.040sin0sin,0TNTTGaaGehFbaFFMGFGFFBAxbaaehaaGFBsin)(cosN86.7kN7.12.030sin)2.06.0(30cos2.040又故0cos0NNGFFFBAykN78.26kN7.12.030sin)2.06.0(30cos2.04030cos40sin)(coscosNbaehaGGFA3.物体系统的平衡条件物体系统的平衡条件在工程中，我们经常遇到的工程机械和结构都是由多个构件通过一定的约束组成的系统，我们将这样的
31、系统称为物体系统，简称为物系。在求解物系的平衡问题时，不仅要考虑系统外物体对物系的作用力，同时还要考虑系统内部各构件之间的相互作用力。系统外部物体对系统的作用力称为物系外力；系统内部各构件之间的相互作用力称为物系内力。物系的外力和内力只是一个相对的概念，它们之间没有严格的区别。当研究整个系统平衡时，由于其内力总是成对出现、相互抵消的，因此可以不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡问题时，系统内其他构件对它们的作用力就又成为这一研究对象的外力，因此，必须予以考虑。若整个物系处于平衡，则组成这一物系的所有构件也处于平衡。在求解有关物系的平衡问题时，既可以以整个系统为研究对象，也可以取单个构
32、件为研究对象。对于每一种选取的研究对象，一般情况下都可以列出三个独立的平衡方程。所以，对于由n个构件组成的物系平衡时，最多可以列出3n个独立的平衡方程，解出3n个未知量。下面举例说明物系平衡问题的解法。例例2-8 如图2-17(a)所示为一三铰拱桥。左右两半拱通过铰链C联接起来，通过铰链A、B与桥基联接。已知G40 kN，P10 kN。试求铰链A、B、C三处的约束反力。图2-17 三铰拱桥解解(1)取整体为研究对象，画出受力图，并建立如图2-17(b)所示的坐标系。列平衡方程：得 又得 kN5.47011912,0NNByByAFGGPFMkN5.4202,0NNNAyByAyyFGPFFF(
33、2)取左半拱为研究对象，画出受力图，并建立如图2-17(c)所示的坐标系。列平衡方程：得 又得 得kN2.90656,0NNNAxAyAxCFFGFMkN2.90,0NNNCxCxAxxFFFFkN5.20,0NNNCyAyCyyFFGFF(3)取整体为研究对象，列平衡方程：得kN2.90,0NNNBxBxAxxFFFF例例2-9 如图2-18(a)所示为柱塞式水泵的平面力学简图。齿轮在力偶MO的驱动下，通过齿轮及连杆AB带动柱塞在刚体内往复运动。已知齿轮的压力角为，两齿轮分度圆半径分别为r1、r2，曲柄O2Ar3，连杆AB5r1，柱塞的阻力为F。如不计各构件自重及摩擦力，当曲柄O2A处于铅垂
34、位置时，试求驱动力偶MO的值。图2-18 柱塞式水泵解解(1)分别取齿轮、齿轮、柱塞B为研究对象，画出受力图，如图2-18(b)、(c)和(d)所示。(2)在图2-18(d)中，柱塞受平面汇交力系作用，只有FAB、FB两未知力是可解的。列平衡方程:cos0cos,0FFFFFABABx(3)因为FAB已解出，所以图2-18(c)变得可解，列平衡方程：(4)由图2-18(b)，列平衡方程:arFrrrFFrFrFMABABOcoscoscos0coscos,0)(2323N2N32F2311N1N1cos0cos,0)(rrFFMFMMrrOrOOF 综合以上例题可以得出解平面力系平衡问题的方法
35、和步骤：(1)明确题意，正确选择研究对象。(2)分析研究对象的受力情况，画出受力图。这是解题的关键一步，尤其在处理物系平衡问题时，每确定一个研究对象就必须单独画出它的受力图，不能将几个研究对象的受力图都画在一起，以免混淆。另外，还要注意作用力、反作用力，外力、内力的区别，在受力图上不画出内力。(3)建立坐标系，列平衡方程。建立坐标系的原则是应使每个方程中的未知量越少越好，最好每个方程中只有一个未知量。(4)解平衡方程，求未知量。在计算结果中，负号表示预先假设的指向与实际的指向相反。在运算中应连同负号一起代入其他方程中继续求解。(5)讨论并校核计算结果。2.4.1 摩擦现象摩擦现象摩擦是自然界普
36、遍存在的现象。在前面的章节里，我们在讨论物体平衡问题时，总是假定两物体间的接触表面是绝对光滑的，将摩擦忽略不计，但绝对光滑的表面事实上是不存在的。工程实际中，在许多问题上摩擦力对物体的平衡与运动起着主要作用。因此必须考虑摩擦力。例如，皮带靠摩擦力传递运动，制动器靠摩擦力刹车，车床的卡盘靠摩擦力夹固工件等，如图2-19所示。2.4 考虑摩擦力的平衡问题考虑摩擦力的平衡问题图2-19 摩擦现象示例以上例子都反映了摩擦有利的一面。而另一方面，摩擦也有其不利之处。由于摩擦的存在，给各种机械带来多余的阻力，从而消耗了能量，加剧了机件的磨损，降低了传动的精度和效率，缩短了机件的寿命。因此，研究摩擦的目的是
37、为了掌握摩擦现象的客观规律，最大限度地利用其有利的一面，减少和限制它不利的一面。按照物体表面的相对运动情况，摩擦可分为滑动摩擦和滚动摩擦。按接触表面是否有润滑，可分为干摩擦和湿摩擦。本节主要介绍静滑动摩擦以及考虑摩擦时物体的平衡问题。2.4.2 滑动摩擦滑动摩擦两物体接触表面间产生相对滑动或具有相对滑动趋势时所具有的摩擦，称为滑动摩擦。两物体表面间只具有滑动趋势而无相对滑动时的摩擦，称为静滑动摩擦，简称为静摩擦；接触表面间产生相对滑动时的摩擦，称为动滑动摩擦，简称动摩擦。1.静滑动摩擦静滑动摩擦为了分析物体间产生静滑动摩擦的规律，可通过如图2-20所示的实验进行说明。当水平力FT很小时，B盘没
38、有滑动而只具有滑动趋势，此时物系将保持平衡。由平衡方程知，接触表面间的摩擦力Ff与主动力FT大小相等。图2-20 摩擦力实验当水平力FT逐渐增大，Ff也随之增加。这时Ff具有约束反力的性质，随主动力的变化而变化。但不同的是，当FT的值增加到某一临界值Fmax时，就不会再增大；如果继续增大水平力FT，B盘将开始滑动。因此，静摩擦力随主动力的不同而变化，其大小由平衡方程决定，但介于0与最大值之间，即0FfFmax(2-15)大量实验证明，最大静摩擦力的方向与物体相对滑动趋势方向相反，大小与接触面法向反力(正压力)FN的大小成正比，即Fmaxf FN(2-16)式(2-16)称为静摩擦定律。式中比例
39、常数f称为静摩擦系数，f的大小与两物体接触面的材料及表面情况(粗糙度、干湿度、温度等)有关，而与接触面积的大小无关。一般材料的静摩擦系数可在工程手册上查到。常用材料的f值见表2-1。表表2-1 常用材料滑动摩擦系数常用材料滑动摩擦系数掌握了上述摩擦规律之后，我们便可知道若要增大摩擦力，就可通过加大正压力或增大摩擦系数来实现。如在皮带传动中，可用张紧轮或V形带来增加正压力以增加摩擦力。若要减小摩擦力，则可通过减小摩擦系数来实现，如提高接触表面的光洁度、加入润滑剂等。2.动滑动摩擦动滑动摩擦继续上述实验，当水平力FT的值超过Fmax时，盘B开始加速滑动，此时盘B所受到的摩擦阻力已由静摩擦力转化为动
40、摩擦力Ff。大量实验证明，动摩擦力Ff的大小与接触表面间的正压力FN的值成正比，即 Ff fFN(2-17)此式称为动摩擦定律。式中比例常数f 称为动摩擦系数，其大小除了与两接触物体的材料及表面情况有关外，还与两物体的相对速度有关。常见材料的f 值见表2-1，通过表21可以看出：f f。2.4.3 摩擦角与自锁现象摩擦角与自锁现象在研究物体平衡时如果考虑静摩擦，物体接触面就受到正压力FN和静摩擦力Ff的共同反作用，若将这两力合成，其合力FR就代表了物体接触面对物体的全部约束反力，称为全约束反力，简称全反力。如图2-21所示，全反力FR与接触面法线的夹角为j，显然j随静摩擦力的增大而增大，当静摩
41、擦力达到最大时，夹角j也达到最大值jmax，jmax称为摩擦角。由此可知(2-18)fFFfFFfNNNmaxmaxtanj 上式表示摩擦角的正切值就等于摩擦系数。摩擦角表示全反力与法线间的最大夹角。如果物体与支承面的静摩擦系数在各个方向都相同，则这个范围在空间就形成为一个锥体，称为摩擦锥，如图2-21(c)所示。若主动力的合力FQ作用在锥体范围内，则约束面必产生一个与之等值、反向且共线的全反力FR与之平衡。但无论如何增加力FQ，物体总能保持平衡。全反力作用线不会超出摩擦锥的这种现象称为自锁。由此可见，自锁条件为jmax(2-19)式中，为全反力与接触面法线之间的夹角。图2-21 摩擦角2.4
42、.4 考虑摩擦的平衡问题考虑摩擦的平衡问题在求解考虑摩擦时构件的平衡问题时，与不考虑摩擦时构件的平衡问题的解法基本相同。不同的是在画力图时要画出摩擦力，并需要注意摩擦力的方向与滑动趋势方向相反，不能随意假定。由于F是一个范围值，因此问题的解答也是一个范围值，称为平衡范围。要确定这个范围可采取两种方式，一种是分析平衡时的临界情况，假定摩擦力取最大值，以FFmaxf FN作为补充条件，求解平衡范围的极值：另一种是直接采用Ff FN，以不等式进行运算。例例2-10 如图2-22(a)所示，一重G的物块放在倾角为的斜面上，物块与斜面之间的摩擦系数为f，且 f tan。求要维持物块静止时的水平推力F的大
43、小。解解 要使物块维持在斜面上静止，力F既不能太大，也不能太小。力F过大，物块将沿斜面上滑；力F过小，物块则会沿斜面下滑。因此，F的数值必须在某一范围内。图2-22 例2-10图(1)先考虑物块处于下滑趋势的临界状态，即力F为最小值Fmin，且刚好维持物块不致下滑的临界平衡状态。以物块为研究对象，画出受力图并沿斜面建立坐标系，如图2-22(b)所示。列平衡方程：又解之得0cossin,00sincos,0minNmaxfminGFFFFGFFyxNmaxfFfFGffFsincoscossinmin (2)然后考虑物块处于上滑趋势的临界状态，即力F为最大值Fmax且刚好维持物块不致上滑的临界平
44、衡。画出此状态下物块的受力图，如图2-22(c)所示。列平衡方程及补充方程为又解之得GffFsincoscossinmaxNmaxfFfF0cossin,00sincos,0maxNmaxfmaxGFFFFGFFyx 所以，使物块在斜面上处于静止时的水平推力F的取值范围为GffFGffsincoscossinsincoscossin 例例2-11 制动器的构造如图2-23(a)所示。已知制动块之间的静摩擦系数f，鼓轮上所挂重物重量为G。求制动所需最小的力F1。解解 先由平衡方程求出F和FN。(1)取制动轮为研究对象，受力图如图2-23(c)所示，列平衡方程：解之得 GRrFFRGrFMO0,0
45、)(图2-23 制动器(2)再取制动杆为研究对象，受力图如图2-23(b)所示，列平衡方程：解之得aFRCrGbFGRrFFFFaFCFbFFMA1NNN1N1,0,0)(设制动轮与制动块处于临界平衡状态，列补充方程：Ff FN将前面两步所得结果代入上式，即可求得制动所需力 当，则F1为正值，必能制动。当，则F1为负值，说明即使不加制动力，轮也能保持静止。CfbaRGrF10Cfb0Cfb 2-1 如图2-24所示，力F相对于两个不同的坐标系，试分析力F在这两个坐标系中的投影有何不同，分力有何不同。2-2 如图2-25所示，力偶不能用一个力来平衡，为什么图中的轮子又能平衡呢？思考与练习题思考与
46、练习题图2-24图2-25图2-262-3 如图2-26所示，起吊机鼓轮受力偶M和力F作用处于平衡，则轮的状态表明()。A.力偶可以用一个力来平衡 B.力偶可以用力对某点的矩来平衡C.力偶只能用力偶来平衡D.一定条件下，力偶可以用一个力来平衡2-4 如图2-27所示，能否将作用于AB杆上的力偶搬迁到BC杆上？为什么？图2-27图2-28图2-292-5 摆锤重力为G，重心A到悬挂点O的距离为l。试求在如图2-28所示的三种状态时，力G对O点之矩。2-6 如图2-29所示四个力偶，其中有三个在Oyz平面内，有一个在Oxy平面内。各力偶中力的单位为N，长度单位为cm，试分析这些力偶哪些是等效的，哪
47、些是不等效的？2-7 如图2-30所示，求各梁支座的约束反力。已知F2 kN，T1.5 kNm，a2m。图2-302-8 如图2-31所示为铁路起重机(除平衡锤)，重重G1000 kN，重心C在两铁轨的对称面内，最大起重力F400 kN。为保证起重机在空载和满载时都不致翻倒，求平衡重力G及其距离x。尺寸如图2-31所示。2-9 如图2-32所示，构架由AC和CD组成，滑轮B上挂一重量为G40 kN的重物，不计各杆件和滑轮的重力。求支座A处的反力及CD杆所受的力。图2-31图2-322-10 如图2-33所示，桥由AB、AC构成，G1G220 kN，载荷F40 kN，尺寸如图所示。试求铰A、B、C处的反力。2-11 如图2-34所示，已知G200N，30，物块与斜面间摩擦系数f0.38，f 0.37，求物块与斜面间的摩擦力。试问物块在斜面上是静止、下滑还是上滑？如果要使物块上滑，求作用在物块并与斜面平行的力F至少应多大？图2-33图2-342-12 如图2-35所示绞车，它的鼓轮半径r15 cm，制动轮半径R25 cm，重物G4000 N，a100 cm，b40 cm，c50 cm，制动轮与制动块间的摩擦系数f0.6，试求当绞车吊着重物时，要刹住车使重物不致落下，加在杆上的力F至少应为多大？图2-35
