1、第二章 插值法2.1 引言2.2 Lagrange插值法2.3 Newton插值法2.4 Hermite插值法2.5 分段低次插值法2.6 样条插值法2.7 二元函数插值方法一维插值二维插值函数解析式未知函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据通过实验观测得到的一组数据,即在某个即在某个区间区间a,b上上给出一系列点的函数值给出一系列点的函数值 yi=f(xi)或者给出函数表或者给出函数表y=f(x)xx0 x1x2xnyy0y1y2yn 求解：求解：y=f(x)在在 a,b 上上任一点任一点处函数值的近似值？处函数值的近似值？2.1 引言引言引例引例机翼下轮廓线yx求机翼下轮廓线上一点的近
2、似值求机翼下轮廓线上一点的近似值插值法插值法(本章本章),(iiyx()iiiyxix)(x拟合法拟合法(下一章下一章)就是考虑到数据不一定准确，不要求近似表达式就是考虑到数据不一定准确，不要求近似表达式 经过所有的点经过所有的点 ，而只要求在给定的，而只要求在给定的 上误差上误差 （i=0，1，n）按某种标准最小。若记）按某种标准最小。若记=(1,2,n)T，就是要求向，就是要求向量量的的范范数数|最小。最小。根据根据 f(x)在在n+1个已知点的值，求一个足够光个已知点的值，求一个足够光滑又比较简单的函数滑又比较简单的函数p(x)作为作为 f(x)的近似表达式，的近似表达式，插插值值法法然
3、后计算然后计算 p(x)在在a,b 上点上点x 处的函数值作为原来处的函数值作为原来函数函数 f(x)在此点函数值的近似值。在此点函数值的近似值。代数多项式、三角多项式、有理函数或样条函数代数多项式、三角多项式、有理函数或样条函数解决思路解决思路0y1y*y1xnx0 xoxy*x(1.2)式称为式称为插值条件插值条件，x2 xn b 点上的值点上的值 y0,y1,yn.若存在一简单若存在一简单 函数函数 p(x),使得使得 p(xi)=yi i =0,1,2,n (1.2)(1.2)1、定义定义f(x)称为称为被插函数被插函数，a,b 称为称为插值区间插值区间，称为称为插值节点插值节点，求求
4、 p(x)的方法就是的方法就是插值法插值法。设函数设函数 f(x)在在a,b上有定义，且已知在上有定义，且已知在 a x0 x1成立成立,则称则称 p(x)为为 f(x)的的插值函数插值函数。nxxx,10 近似计算近似计算f(x)的值、零点、的值、零点、极值点、导数、积分，极值点、导数、积分，oxyab0()f x1()f x()nf x0 x1xnx()S x 插值函数插值函数p(x)u在在n+1个互异插值节点个互异插值节点xi(i=0,1,n)处与处与f(xi)相等相等,u在其它点在其它点 x 就用就用p(x)的值作为的值作为f(x)的近似值。的近似值。这一过程称为这一过程称为插值插值，
5、点，点 x 称为插值点。称为插值点。换句话说换句话说,插值插值就是根据被插函数给出的函数表就是根据被插函数给出的函数表“插插出出”所要点的函数值。用所要点的函数值。用p(x)的值作为的值作为f(x)的近似值的近似值,不仅不仅希望希望p(x)能较好地逼近能较好地逼近f(x),),而且还希望它计算简单而且还希望它计算简单。最常用的插值函数是最常用的插值函数是?代数多项式代数多项式u 用代数多项式作插值函数的插值称为用代数多项式作插值函数的插值称为多项式插值多项式插值本章主要讨本章主要讨论的内容论的内容插值函数的类型有很多种插值函数的类型有很多种插值问题插值问题插值法插值法插值函数插值函数分段函数分
6、段函数三角多项式三角多项式u 多项式和分段多项式多项式和分段多项式计算简单，在工程计算计算简单，在工程计算中使用最多中使用最多.x0 x1x2x3x4 xf(x)p(x)曲线曲线 P(x)近似近似 f(x)研究问题：研究问题：（1）满足插值条件的）满足插值条件的P(x)是否是否存在唯一存在唯一？（2）若满足插值条件的）若满足插值条件的P(x)存在，存在，如何构造如何构造P(x)？（3）如何）如何估计估计用用P (x)近似替代近似替代 f(x)产生的产生的误差误差？多项式多项式01()nnnP xaa xa x插值插值存在？存在？唯一？唯一？()()(0,1,2,)niiiP xf xyin20
7、102000201 12111201222222012nnnnnnnnnnnnaa xa xa xyaa xa xa xyaa xa xa xyaa xa xa xy20002111222221111nnnnnnnxxxxxxxxxxxx0()ijj i nxx 0范德蒙行列式定理定理1.1.1(存在唯一性存在唯一性)：已知函数 在 上的()f x,a b()(0,1,2,),if xin则存在唯一的插值多项式 2012()nnnP xaa x a xa x使得 ()(),(0,1,2,).niiP xf xin个互异节点 处的函数值(0,1,2,)ixin1n 注注1：只要：只要n+1个节点
8、互异，满足插值条件的个节点互异，满足插值条件的n次插值多项式是次插值多项式是唯一存在的。唯一存在的。注注2：如果不限制多项式的次数，插值多项式不唯一或不存在。：如果不限制多项式的次数，插值多项式不唯一或不存在。基本思想基本思想：在：在n n次多项式空间次多项式空间Pn中找一组合适的基函数中找一组合适的基函数 0 0(x),),1 1(x),),n n(x),),使使pn(x)=a0 0(x)+a1 1(x)+an n（x)不同的基函数的选取导致不同的不同的基函数的选取导致不同的插值方法插值方法Lagrange插值插值Newton插值插值u存在唯一性存在唯一性说明，满足插值条件的多项式说明，满足
9、插值条件的多项式存在存在，并且，并且插值多项式与构造方法无关插值多项式与构造方法无关。u待定系数法：待定系数法：直接求解方程组的方法，计算复杂直接求解方程组的方法，计算复杂，工，工作量大。作量大。01()nnnP xaa xa x2.2.1 2.2.1 线性插值线性插值（n=1，一次插值），一次插值）求解求解 L1(x)=a1 x+a0使得使得 L1(xi)=yi.(i=0,1)10100101yxxxxyxxxx 点斜式点斜式)()(0010101xxxxyyyxL 2.2 拉格朗日插值法拉格朗日插值法O)(1xLy )(xfy 0 x1xxy已知已知ixiy0 x1x0y1y令令10100
10、101yxxxxyxxxx 点斜式点斜式)()(0010101xxxxyyyxL 10 01 1()()()()f xL xy l xy l x则称则称 为节点为节点 上的上的线性插值基函数线性插值基函数。01(),()lx l x01,x x 为为f(x)的的线性插值函数线性插值函数。1()L x1010)(xxxxxl 0101)(xxxxxl 0)(,1)(1000 xlxl1011()0,()1l xl x节点上的节点上的线性插值基线性插值基函数：函数：只与节点有关只与节点有关L1(x)是两个线性函数是两个线性函数的线性组合的线性组合2.2.2 2.2.2 抛物线插值抛物线插值（n=2
11、，二次插值），二次插值）求解求解 L2(x)=a2x2+a1 x+a0使得使得 L2(xi)=yi ,i=0,1,2.0 x已知已知ixiy1x0y1y2x2y10 01 1()()()()f xL xy l xy l x 0)(,1)(1000 xlxl1011()0,()1l xl x仿照线性插值函数的构造方法仿照线性插值函数的构造方法抛物插值抛物插值L xlx yl x ylx y2001122()()()()满足满足lx 00()1 lx 01()0lx 10()0 lx 11()1lx 02()0lx 12()0lx 20()0 lx 21()0lx 22()1其中要求其中要求 均为
12、二次多项式。均为二次多项式。(),0,1,2il x i 设设lxA xxxx012()()()即即由由求求Alx 00()1A xxxx0102()()1Axxxx 01021()()xxxxlxxxxx 1200102()()()()()构造构造L2(x)是三个二次是三个二次函数的线性组合函数的线性组合故故同理同理xxxxlxxxxx 1200102()()()()()xxxxlxxxxx 0211012()()()()()xxxxlxxxxx 0122021()()()()()L xlx yl x ylx y2001122()()()()xxxxyxxxx 1200102()()()()
13、xxxxyxxxx 0211012()()()()xxxxyxxxx 0122021()()()()插值多项式插值多项式抛物插值多项式的求法抛物插值多项式的求法抛物插值多项式抛物插值多项式例例1求抛物插值函数，并求求抛物插值函数，并求x=1.5处值。处值。已知已知 的函数表的函数表 yf x ()13x12y2 1解：解：L x2()12(1)xx(3)(2)xx2519822(13)(12)xx(1)(2)(31)(32)xx(1)(3)(21)(23)xx22.59.582(1.5)(1.5)0.625fL Joseph-Louis Lagrange 17361813法国数学家、物理学家
14、分析分析ik nnnLxlx yl x ylx y0011()()()()L其中其中满足满足kklx()1 kilx()02.2.3 n2.2.3 n次插值（次插值（拉格朗日插值多项式）拉格朗日插值多项式）nkkklx y 0()多项式可使用上述类似方法。多项式可使用上述类似方法。由由 组不同数据组不同数据 构造构造 次次n 1n0(,)1,，iixy in L上述多项式上述多项式 称为称为n次拉格朗日插值多项式次拉格朗日插值多项式。nL x()01110111()()()()()()()()()()()kknkkkkkkkknxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxx LLLL先求插值基函
15、数先求插值基函数然后构造插值多项式然后构造插值多项式定理定理1（Lagrange）插值多项式插值多项式,),(),.,1,0()(,()(jixxnixfxxfyjiii 当当函函数数表表设设的的插插值值多多项项式式为为，则则满满足足插插值值条条件件).1,0()()(nixfxLiin nkkknxlxfxL0)()(）),.1,0()(0nkxxxxxlnkjjjkjk 其其中中通常次数通常次数=n,但特殊情形次数可但特殊情形次数可 n,如：过三点的二次插值多项式如：过三点的二次插值多项式x0 x1 xi xi+1 xn-1 xny=f(x)y=L(x)ab在插值区间在插值区间 a,b 上
16、用上用插值多项式插值多项式L(x)近似代替近似代替f(x),除了在插值节除了在插值节点点xi上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。若记若记 R(x)=f(x)L(x),则则 R(x)就是用就是用 L(x)近似代替近似代替 f(x)时的时的截断误差截断误差,或称插值余项或称插值余项.我们可根据后面的定理来估计它的大小我们可根据后面的定理来估计它的大小.2.2.42.2.4 插值余项和误差估计插值余项和误差估计nnnnfRxf xLxxn (1)1()()()()()(1)!设设f(x)在在a,b有有n+1阶导数，则满足插值条件的阶导数，则满足插值条件
17、的n次次定理定理2插值项式插值项式 对任意对任意 ，有插值余项，有插值余项nL x()xa b ,x且依赖于且依赖于 .其中其中ab nniixxx 10()(),证明：证明：xa b,固 定。ixixn(0,1,)若为 某 一 个 节 点，niniRxx 1()0()0则，结 论 成 立。插值余项和误差估计插值余项和误差估计 x当不 是 节 点 时，nnRxnxxx011,(,)因 为有个 零 点，nnRxKxxxxxxx01()()()()()可 设 Kx()求 出 待 定 的，nntRtKxtxtxtx 01()()()()()()作 辅 助 函 数 nnxxtxx 012,(),则至
18、少 有个 相 异 零 点。n2将 这个 零 点 从 小 到 大 的 顺 序 排 列，n1并 应 用次 罗 尔 定 理 得，a b(,)至 少 存 在 一 点，使 得 nnfnKx (1)(1)()()(1)!()0 nfKxn(1)()()(1)!故 nnnnfRxf xLxxn (1)1()()()()()(1)!nnnnfRxf xLxxn (1)1()()()()()(1)!注意注意u余项表达式仅当余项表达式仅当 存在时才能应用，且是唯一的。存在时才能应用，且是唯一的。)()1(xfn u 在在(a,b)内的具体位置通常不能给出。内的具体位置通常不能给出。u 若若 ,则截断误差限则截断误
19、差限 1)1()(max nnbxaMxf.)(!)1()(11xnMxRnnn un次插值多项式对次数不高于次插值多项式对次数不高于n次的多项式完全精确。次的多项式完全精确。若若f(x)为次数不高于为次数不高于n次的多项式次的多项式,从而从而Rn(x)=0.则则f(n+1)()=0,=0,),(!)1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnn y 0 x)(xf)(1xLxk xk+1 0P1P111()()()()()()(,)2!kkR xf xL xfx xx xa b余项为01111,()(),()(),kkP PL xf xf xL xxxx用通过两点的直线来代替即 线性
20、插值：线性插值：n=1,2 时的插值余项时的插值余项：y 0 x2211()()()()()()()3!(,)kkkR xf xL xfx xx xx xa b余项为012211,(),()(),kkP P Pf xf xLxxxx用通过三点抛物线近似代替即 抛物线插值：抛物线插值：)(xfxk-1 xk xk+1 0P1P2P)(2xLnniixxx 10()(),2.1():已 知的 一 组 数 据 见 下 表，用 抛 物 插 值 法计 算的 近 似 值，并 估例计2误 差。xfxee xi1 2 3yi0.3679 0.1353 0.0183xxx0121,2,3解：记，0.3679 0
21、.13530.0183yyy012,则 eL2.12(2.1)由 插 值 公 式 得 xxxxxxLyyyxxxxxxxxxxxx0201122012010210122021(2.1)(2.1)(2.1)(2.1)(2.1)(2.1)(2.1)()()()()()()0.36790.13530.01830.1(0.9)1.1(0.9)1.10.10.11842(1)2 xxxxRe 21(1)(2)(3)6()误 差 函 数 exxx 1(1)(2)(3),(1,3)6 R20.36790.0990.00607016(2.1)故 作业作业5：1、课堂小结；、课堂小结；2、课后作业第、课后作业第1、2、4、5、6、13题；题；3、数值实验题第、数值实验题第2、4题。题。
