1、2024年高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知，则( )ABCD2若函数，在区间上任取三个实数，均存在以，为边长的三角形，则实数的取值范围是（ ）ABCD3已知函数是奇函数，则的值为（ ）A10B9C7D14已知等差数列an，则“a
2、2a1”是“数列an为单调递增数列”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5已知平面向量满足与的夹角为，且，则实数的值为（ ）ABCD6已知为定义在上的奇函数，若当时，（为实数），则关于的不等式的解集是（ ）ABCD7执行如图所示的程序框图，若输出的，则处应填写（ ）ABCD8若复数，其中是虚数单位，则的最大值为( )ABCD9定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）f（x），当x3，2时，f（x）x2，则（ ）ABf（sin3）f（cos3）CDf（2020）f（2019）10已知变量x，y间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为，则表中数
3、据m的值为（ ）变量x0123变量y35.57A0.9B0.85C0.75D0.511第24届冬奥会将于2023年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P，某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10，宽为6的长方形奥运会旗内随机取N个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为n个，已知圆环半径为1，则比值P的近似值为( )ABCD12已知向量，且与的夹角为，则（ ）AB1C或1D或9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数的部分图象如图所示，则的值为_. 14某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1
4、桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是_元.15数列的前项和为 ，则数列的前项和_16已知椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于点、.则内切圆面积的最大值是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，.（1）若不等式的解集为，求的值.（2）若当时，求的取值范围.18（12分）如图，在四棱锥中，底面，底面
5、是直角梯形，为侧棱上一点，已知.（）证明:平面平面；（）求二面角的余弦值.19（12分）已知的内角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的周长的最小值.20（12分）在四棱椎中，四边形为菱形，分别为，中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.21（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形（1）求椭圆C的方程；（2）假设直线l：与椭圆C交于A，B两点若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且，求OB的长；若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求OAB的面积S的范围
6、22（10分）市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款）.已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004.（1）若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算小张该笔贷款的总利息；（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平
7、均月收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）；（3）对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式.参考数据：.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和做对比，即可判断.【详解】由于，故.故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.2、D【解析】利用导数求得在区间上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得的取值范围.【详解】的定义域为，所以在上递减，在上递增，在处取得极小值也即是最
8、小值，所以在区间上的最大值为.要使在区间上任取三个实数，均存在以，为边长的三角形，则需恒成立，且，也即，也即当、时，成立，即，且，解得.所以的取值范围是.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.3、B【解析】根据分段函数表达式，先求得的值，然后结合的奇偶性，求得的值.【详解】因为函数是奇函数，所以，.故选：B【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力.4、C【解析】试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解：在等差数列an中，若a2a1，则d0，即数列an为
9、单调递增数列，若数列an为单调递增数列，则a2a1，成立，即“a2a1”是“数列an为单调递增数列”充分必要条件，故选C考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断5、D【解析】由已知可得，结合向量数量积的运算律，建立方程，求解即可.【详解】依题意得由，得即，解得.故选:.【点睛】本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题.6、A【解析】先根据奇函数求出m的值，然后结合单调性求解不等式.【详解】据题意，得，得，所以当时，.分析知，函数在上为增函数.又，所以.又，所以，所以，故选A.【点睛】本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.7、B【解析】模
10、拟程序框图运行分析即得解.【详解】；.所以处应填写“”故选：B【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8、C【解析】由复数的几何意义可得表示复数，对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解.【详解】由复数的几何意义可得，复数对应的点为，复数对应的点为，所以，其中，故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型.9、B【解析】根据函数的周期性以及x3，2的解析式，可作出函数f（x）在定义域上的图象，由此结合选项判断即可.【详解】由f（x+2）f（x），得f（x）是周期函数且周期为2，先作出f（x）在x3
11、，2时的图象，然后根据周期为2依次平移，并结合f（x）是偶函数作出f（x）在R上的图象如下，选项A，所以，选项A错误；选项B，因为，所以，所以f（sin3）f（cos3），即f（sin3）f（cos3），选项B正确；选项C，所以，即，选项C错误；选项D，选项D错误.故选：B.【点睛】本题考查函数性质的综合运用，考查函数值的大小比较，考查数形结合思想，属于中档题.10、A【解析】计算，代入回归方程可得【详解】由题意，解得故选：A.【点睛】本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点11、B【解析】根据比例关系求得会旗中五环所占面积，再计算比值.【详解】设会旗中五环所占面
12、积为，由于，所以，故可得.故选：B.【点睛】本题考查面积型几何概型的问题求解，属基础题.12、C【解析】由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求的值.【详解】解：由题意可得，求得，或，故选：C.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由图可得的周期、振幅，即可得，再将代入可解得，进一步求得解析式及.【详解】由图可得，所以，即，又，即，又，故，所以，.故答案为：【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值，考查学生识图、计算等能力，是一道中档题.14、1元【解析】设分别生产甲乙两种产品为 桶，桶，利润为元则根据题意可得
13、目标函数 ，作出可行域，如图所示作直线 然后把直线向可行域平移，由图象知当直线经过 时，目标函数 的截距最大，此时 最大，由 可得，即 此时 最大 ，即该公司每天生产的甲4桶，乙4桶，可获得最大利润，最大利润为1【点睛】本题考查用线性规划知识求利润的最大值，根据条件建立不等式关系，以及利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键15、【解析】解： 两式作差，得 ，经过检验得出数列的通项公式，进而求得 的通项公式， 裂项相消求和即可【详解】解：两式作差，得 化简得 ，检验：当n=1时， ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列； ，令 故填： 【点睛】本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的
14、前n项和，解题过程中需要注意n的范围以及对特殊项的讨论，侧重考查运算能力16、【解析】令直线：，与椭圆方程联立消去得，可设，则，可知，又，故三角形周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，则内切圆半径，其面积最大值为故本题应填点睛：圆锥曲线中最值与范围的求法有两种：()几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法()代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法，判别式法，重要不等式及函数的单调性法等三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（
15、1）；（2）【解析】试题分析：（1）求得的解集，根据集合相等，列出方程组，即可求解的值；（2）当时，恒成立，当时，转化为，设，求得函数的最小值，即可求解的取值范围.试题解析：（1）由，得，因为不等式的解集为，所以，故不等式可化为，解得，所以，解得.（2）当时，恒成立，所以.当时，可化为，设，则，所以当时，所以.综上，的取值范围是.18、（）证明见解析；（）.【解析】() 先证明，再证明平面，利用面面垂直的判定定理，即可求证所求证；()根据题意以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的向量，利用公式即可求解.【详解】()证：由已知得又 平面，平面，而故，平面 平面，平面平面()由()知，
16、推理知梯形中，有，又，故所以相似，故有，即所以，以为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，设平面的法向量为，则令，则，是平面的一个法向量设平面的一个法向量为 令，则 是平面的一个法向量= 又二面角为钝二面角，其余弦值为.【点睛】本题考查线面、面面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.19、（1）（2）【解析】（1）因为，所以，由余弦定理得，化简得， 可得，解得，又因为，所以.（6分）（2）因为，所以，则（当且仅当时，取等号）. 由（1）得（当且仅当时，取等号），解得.所以（当且仅当时，取等号），所以的周长的最小值为.20、（1
17、）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明，得到平面，得到证明.（2）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.【详解】（1）因为四边形是菱形，且，所以是等边三角形，又因为是的中点，所以，又因为，所以，又，所以，又，所以平面，所以，又因为是菱形，所以，又，所以平面，所以.（2）由题意结合菱形的性质易知，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则：，据此可得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则：，据此可得平面的一个法向量为，平面与平面所成锐二面角的余弦值.【点睛】本题考查了线线垂直，二面角，意在考
18、查学生的计算能力和空间想象能力.21、（1）；（2）；.【解析】（1）根据椭圆的几何性质可得到a2，b2；（2）联立直线和椭圆，利用弦长公式可求得弦长AB，利用点到直线的距离公式求得原点到直线l的距离，从而可求得三角形面积，再用单调性求最值可得值域【详解】（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以，又由右准线方程为，得到，解得，所以 所以，椭圆的方程为 （2）设，而，则， ， 因为点都在椭圆上，所以，将下式两边同时乘以再减去上式，解得， 所以 由原点到直线的距离为，得，化简得： 联立直线的方程与椭圆的方程：，得设，则，且 ，所以的面积，因为在为单调减函数，并且当时，当时，所
19、以的面积的范围为【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围22、（1）289200元；（2）能够获批；（3）应选择等额本金还款方式【解析】（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每
20、月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的前n项和公式求得其还款总额，减去本金即为还款的利息；（2）根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小张每月还款额为元，由等比数列求和公式及参考数据，即可求得其还款额，与收入的一半比较即可判断；（3）计算出等额本息还款方式时所付出的总利息，两个利息比较即可判断.【详解】（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为，表示数列的前项和，则，则，故小张该笔贷款的总利息为元.（2）设小张每月还款额为元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，则，所以，即，因为，所以小张该笔贷款能够获批.（3）小张采取等额本息贷款方式的总利息为：，因为，所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金还款方式.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列求和公式的综合应用，数列在实际问题中的应用，理解题意是解决问题的关键，属于中档题.
