1、 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角零陵中学 邵 伟10/10/第1页 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角一、复习一、复习判断以下各组直线位置关系，若相交并求出其判断以下各组直线位置关系，若相交并求出其交点：交点：1:3120lxy2:62240lxy1:3120lxy2:230lxy1:3120lxy3:0lxy，（1）（2）（3）10/10/第2页 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角图图1图图2图图1和图和图2可用哪个角表示两直线夹角？可用哪个角表示两直线夹角？10/10/第3页 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角1.1.两条相交直线两条相交直线夹角夹角:两条相交直
2、线所成两条相交直线所成锐角或直角锐角或直角称为两条相交直线称为两条相交直线夹角夹角.2.2.假如两条直线平行或重合假如两条直线平行或重合,我们我们要求要求它们夹角为它们夹角为3.3.平面上两条直线夹角范围平面上两条直线夹角范围:0,2oxy二、两直线夹角定义及范围：二、两直线夹角定义及范围：0oxy10/10/第4页 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角coscos于是得于是得:夹角为夹角为 ;方向向量方向向量 夹角为夹角为1l、2l1d、2d 两直线两直线1d2d1l2loxy1)三、两直线夹角公式推导2l1l2)oxy1d2d1d2d若时若时:2若为钝角时若为钝角时:10/10/第5页
3、 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角解解:依据依据 与与 方程方程,取取1l2l111(,),db a 222(,)db a 为为 与与 方向向量方向向量.1l2l由向量夹角公式得由向量夹角公式得:121 21 22222121122cosd daabbd dabab 所以两直线夹角公式所以两直线夹角公式:1 21 222221122cosaabbabab问题问题:此时角此时角 是唯一确定吗是唯一确定吗?0:1111cybxal0:2222cybxal二条直线：二条直线：(其中其中 不一样时为零不一样时为零;不一样时为零不一样时为零)11ab、22ab、直线夹角直线夹角 大小大小.求两求
4、两向量推导向量推导coscos由由10/10/第6页 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角斜率推导法10/10/第7页 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角12(1):3120,:230;lxylxy例例1.1.求以下各组直线夹角求以下各组直线夹角 ：1l2l解解：（：（1）依据依据 与与 方程及两直线夹角公式可得方程及两直线夹角公式可得:22223 2 1(1)2cos2(1)312 即直线和夹角为即直线和夹角为1l2l4因为因为 ,所以所以02，4经典例题10/10/第8页 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角12(2):3120,:0;lxylx例例1.1.求以下各组直线夹角
5、求以下各组直线夹角 ：1l2l解解：（：（2）依据依据 与与 方程及两直线夹角公式可得方程及两直线夹角公式可得:22223 1 1 03 10cos10(1)310 即直线和夹角为即直线和夹角为1l2l3 10arccos10因为因为 ,所以所以02，3 10arccos10经典例题10/10/第9页 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角12(3):312,:0;lyxlxy 例例1.1.求以下各组直线夹角求以下各组直线夹角 ：1l2l依据依据 与与 方程及两直线夹角公式可得方程及两直线夹角公式可得:22223 1 1(1)5cos5(1)31(1)即直线和夹角为即直线和夹角为1l2l5a
6、rccos5因为因为 ,所以所以02，5arccos5经典例题1l解：的方程化为一般式为：3x+y-12=010/10/第10页 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角例例1.1.求以下各组直线夹角求以下各组直线夹角 ：121(4):1,:1(,0)lyaxlyxaR aa 12(5)10,0,laxylxaya 解：的一般式方程为的一般式方程为2222|1(1)|cos0,211()aaaapaa+-=+-经典例题10/10/第11页 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角例例2.已知直线已知直线l 经过点经过点P(-2,1),且与直线且与直线l0：3x-4y+5=0夹角为夹角为 ，求直
7、线，求直线l 方程。方程。3arccos52）当直线斜率存在时，设直线方程为）当直线斜率存在时，设直线方程为y-1=k(x+2),即即kx-y+2k+1=0;解解:经典例题23433cos(arccos)55251kk所以有所以有解得解得724k 由由1)、2)可知，方程为可知，方程为7x+24y-10=0 或或x=2;1）直线斜率不存在时，验证知）直线斜率不存在时，验证知x+20也满足题意也满足题意;所以直线方程为所以直线方程为7x+24y-10=0；因为两直线夹角为因为两直线夹角为 ，3arccos510/10/第12页 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角解解:经典例题法二法二:设直
8、线设直线l 一个法向量为一个法向量为 ,则直线点则直线点法向式方程为法向式方程为(2)(1)0a xb x(,)na b整理得整理得:20ax bya b 当当b=0时直线时直线l 方程为方程为x+2=0;当当 时直线时直线l 方程为方程为7x+24y-10=0;0b 所以直线所以直线l 方程为方程为x+2=0或或7x+24y-10=0;整理得整理得:22343abab即即:b(24b-7a)=0,2234359 16abab因为因为l与与l0夹角为夹角为 ,由两直线夹角公式得：由两直线夹角公式得：3arccos5例例2.2.已知直线已知直线l 经过点经过点P(-2,1),P(-2,1),且与
9、直线且与直线l0：3x-4y+5=0夹角为夹角为 ，求直线，求直线l 方程。方程。3arccos510/10/第13页 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角(2,1)Poxy例例2.2.已知直线已知直线l 经过点经过点P(-2,1),P(-2,1),且与直线且与直线l l0 0：3x-4y+5=0夹角为夹角为 ，求直线，求直线l 方程。方程。3arccos510/10/第14页 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角练习11.已知直线已知直线l经过原点，且与直线经过原点，且与直线夹角为夹角为 ，求直线，求直线l方程；方程；31yx610/10/第15页 11.3-2两条直线的夹角两条直线
10、的夹角练习22.求经过点求经过点A(1,0)，且与直线，且与直线x-y+3=0成成30o直线方程；直线方程；10/10/第16页 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角思索题思索题思索题：已知 三个顶点为 ；(1)求 中 大小;(2)求 平分线所在直线方程.ABC)5,5(),1,6(),1,2(CBAABCAA10/10/第17页 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角逐步减弱1111:0la xb yc2222:0la xb yc1.1.二条直线：二条直线：(其中其中 不一样时为零不一样时为零;不一样时为零不一样时为零)11ab、22ab、(1)(1)两直线夹角公式两直线夹角公式:12
11、1222221122cosa ab babab2.2.当直线和垂直时当直线和垂直时:1l2l121k k(2)(2)两直线斜率都存在时，两直线斜率都存在时，或一个斜率不存在，另一个斜率为零或一个斜率不存在，另一个斜率为零.1 21 20aabb(1)小结：10/10/第18页11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角作业与拓展1、已知直线、已知直线 经过原点，且与直线经过原点，且与直线 夹夹l31yx角为角为 ,则直线则直线 方程是方程是 。030l2、若直线、若直线 与与 斜率分别是二次方程斜率分别是二次方程 两个根，那么两个根，那么直线直线 与与 夹角为夹角为 。1l2l2410 xx 1l2lABC4 4、已知等腰三角形、已知等腰三角形 顶点顶点 ，底底边边 所在直线方程为所在直线方程为 ，求两腰所在，求两腰所在直线方程。直线方程。(2,1)A4arccos5B BC245 0 xy 3、若若 夹角为夹角为 ，求，求k k值值12:30,:10lxylkxy 6010/10/第19页 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角感激各位老师莅临指导！感激各位老师莅临指导！10/10/第20页
