2021年高二数学上学期期中测试卷02（人教A版）（文）.doc_163文库

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1、2020-2021 学年高二数学上学期期中测试卷 02（人教 A 版）（文）（本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟）测试范围：人教 A 版必修 5 全册+选修 1-1 第一章、第二章一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1已知Ryx，若p：422 yx ，q：2 yx，则p是q的( )。 A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充分且必要条件 D、既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】p不能推出q，当2x、3y时，满足p：422 yx ，但不满足q：2 yx， q能推出p，当2 yx时

2、，4222222222 2 yxyxyx ， p是q的必要不充分条件，选 A。 2某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比。如果在距离车站10km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )。 A、2km处 B、3km处 C、4km处 D、5km处【答案】A 【解析】设仓库建在离车站xkm处，则土地费用 x k y 1 1 (0 1 k)，运输费用xky 22 (0 2 k)，把10 x，2 1 y代入得20 1 k，把10 x，8 2 y代入得 5 4 2 k，故总费用8

3、 5 420 2 5 420 x x x x y，当且仅当x x5 420 ，即5x时等号成立，故选 A。 3已知等比数列 n a的前n项积 n T满足32 2 7 T T ，则 9 T( )。 A、128 B、256 C、512 D、1024 【答案】C 【解析】32 5 576543 2 7 aaaaaa T T ，2 5 a，512 9 59 aT，故选 C。 4关于x的不等式034 22 aaxx(0a)的解集为)( 21 xx，则 21 21 xx a xx 的最小值是( )。 A、 3 6 B、 3 32 C、 3 34 D、 3 62 【答案】C 【解析】034 22 aaxx

4、可化为0)(3(axax，解集为)( 21 xx， 0a，ax 1 ，ax3 2 ， 3 34 3 4 2 3 1 42 3 1 4 3 4 2 21 21 a a a a a a a xx a xx，故选 C。 5对于一个给定的数列 n a，把它连续的两项 1n a与 n a的比 n n a a 1 记为 n b，得到一个新的数列 n b，称数列 n b是数列 n a的一阶比数列，若数列 n a的一阶比数列是每一项均为2的常数列，则 20162018 20192021 aa aa ( )。 A、2 B、2 C、4 D、8 【答案】D 【解析】由题意可知，数列 n a满足2 1 n n n

5、b a a ，则数列 n a是等比数列，且公比2q，则8 ) 1( ) 1( 3 2 2016 2 2019 20162018 20192021 q qa qa aa aa ，故选 D。 6已知椭圆C：1 2 2 2 2 b y a x (0ba)的左、右焦点分别为)0( 1 ，cF 、)0( 2 ，cF。若椭圆上存在点P使 1221 sinsinFPF c FPF a ，则椭圆C的离心率的取值范围为( )。 A、)20( ， B、) 1312( ， C、) 112(， D、) 113(，【答案】C 【解析】如图，设mPF | 1 ，nPF | 2 ，由正弦定理得： 1221 sinsin

6、FPF n FPF m ，则e a c m n ，则men ，又anm2，则aem2)1 (， e a m 1 2 ，又camca，则ca e a ca 1 2 ，两边同除以a得e e e 1 1 2 1，解得112e，故选 C。 7 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 5 5 2 s i n C ，且A、B、C为等差数列，则 c a ( )。 A、 10 343 B、 8 5320 C、 8 433 D、 8 433 【答案】C 【解析】 5 3 5 2 1 2 sin21cos 2 C C，则 5 4 sinC，又A、B、C等差，则 3 B， 2 3 si

7、nB， 2 1 cosB， 10 433 5 4 2 1 5 3 2 3 sincoscossin)sin(sin CBCBCBA， 8 433 5 4 10 433 sin sin C A c a ，故选 C。 8在双曲线C：1 2 2 2 2 b y a x (0a，0b)的右支上存在点A，使点A与双曲线的左、右焦点 1 F、 2 F形成的三角形的内切圆P的半径为a，若 21F AF的重心G满足 21 /FFPG，则双曲线C的离心率为( )。 A、2 B、3 C、2 D、5 【答案】C 【解析】如图，由PG平行于x轴可得ayy PG ，则ayy GA 33， acAFAFacS FAF

9、29 19 D、21 【答案】BD 【解析】9 2 a，kb 4 2 ，则kc 5，则 5 4 a c ，即 5 4 3 5 k ，解得 29 19 k， ka 4 2 ，9 2 b，则5kc，则 5 4 a c ，即 5 4 4 5 k k ，解得21k，故选 BD。 10已知 Rba、，下列四个条件中，使 ba 成立的既不充分也不必要的条件是( )。 A、1 ba B、1 ba C、 22 ba D、b a 22 【答案】CD 【解析】 A 选项：baba1，但ba 不能1ba，则1 ba是ba 的充分而不必要条件，例：2a，4b，1 ba，则ba ，而2a，3b，ba ，但1 b

10、a， B 选项：1 ba不能ba ，但1baba，则1 ba是ba 的必要而不充分条件，例：1a，1b，1 ba，但ba ，而2a，3b，ba ，则1 ba， C 选项： 22 ba 不能ba ，ba 也不能ba ，则 22 ba 是ba 的既不充分也不必要条件，例：1a，2b， 22 ba ，但ba ，而2a，1b，ba ，但 22 ba ， D 选项：b a 22 不能ba ，ba 也不能b a 22 ，则b a 22 是ba 的既不充分也不必要条件，例：1a，0b，b a 22 ，但ba ，而1a，0b，ba ，但b a 22 ，综上，选 CD。 11设0cba，则当 2

11、2 2510 )( 11 2cac baaab a 取最小值时，下列说法正确的是( )。 A、2a B、22b C、 5 2 c D、23cba 【答案】AC 【解析】原式 22 25102)()( )( 11 cacabaaabbaa baa ab ab 22 2510)( )( 11 cacabaa baa ab ab 2 )5()( )( 11 cabaa baa ab ab 40)( )( 1 2 1 2 baa baa ab ab 当且仅当 ca baa ab 5 1)( 1 ，即2a， 2 2 b， 5 2 c时，等号成立，此时 10 217 cba，故选 AC。 12若数

12、列 n a通项公式为|13| nan，则满足102 191 kkk aaa的正整数k的个数为( )。 A、2 B、5 C、15 D、28 【答案】AB 【解析】由|13| nan可知，当13k时，1027020)6()12()13( 191 kkkkaaa kkk ，解得 5 43 k，不符，舍去，当13k时，)6(101)12()13( 191 kkkaaa kkk 102 2 )6)(7( 2 )14)(13( kkkk ，即0107 2 kk，解得2k或5k，符合，可取，故选 AB。三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知实数x、y满足约束条件

13、0248 01234 04 yx yx yx ，则 1 2 x y 的最大值是。【答案】2 【解析】 ) 1( 2 1 2 x y x y 表示可行域内的点)(yxP，与点)21(，D连线的斜率，当直线过点)40( ，A时，斜率取最大值，2 max k。 14在各项均为正数的等比数列 n a中，若2 10121011 aa，则 2022 2 12 2 11 2 1 logloglogaaa 的值为。【答案】1011 【解析】等比数列 n a的各项均为正数， 2 10121011 aa，2 101210112021220221 aaaaaa， )(loglogloglog 20222

14、1 2 12022 2 12 2 11 2 1 aaaaaa 1011)2(log)(log 1011 2 1 1011 20221 2 1 aa。 15已知ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c， B A B A cos2 cos1 sin sin ， 5 3 cosA，6 ABC S，则a 。【答案】4 【解析】由 B A B A cos2 cos1 sin sin 得：CBBABAsinsin)sin(sinsin2，即cba2，由 5 3 cosA得 5 4 sinA，AbcS ABC sin 2 1 6 得15bc，由余弦定理得48)( 5 3 2 2222 cbbcc

16、 kxkxk，8 DA xx， 2 2 2824 k k xx DA ， DADA xxxxCDAB425)2(4)2(|4| 2134225 DA xx，当且仅当 DA xx4，即2 A x， 2 1 D x时取等号，综上所述|4|CDAB 的最小值为213。四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 10 分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acCb2cos2。 (1)求B的大小； (2)若BD为AC边上的中线， 7 1 cosA， 2 129 BD，求ABC的面积。【解析】(1)在ABC中，CBA，

17、由正弦定理得：ACCBsin2sincossin2， 1 分则)sincoscos(sin2)sin(2sin2sincossin2CBCBCBACCB， 2 分则CBCsincos2sin，又 C0，0sinC， 3 分 2 1 cosB， B0， 3 B； 4 分 (2)在ABD中，由余弦定理得A b c b ccos 22 1 ) 2 () 2 129 ( 222 ， bc b c 7 1 44 129 2 2 ， 6 分在ABC中，由正弦定理得 B b C c sinsin ，由已知得 7 34 sinA， 7 分 14 35 sincoscossin)sin(sinBABAB

18、AC，bc 7 5 ， 9 分由解得 5 7 c b ，310sin 2 1 AbcS ABC 。 10 分 18 （本小题满分 12 分）已知数列 n a满足 2 3 1 a，对任意的 Nn均有22 1 naa nn 。 (1)证明：数列nan为等比数列； (2)记数列 n b满足 n n n ab 1 2，且数列 n b的前n项和为 n T，求 n T。【解析】(1) 2 1 ) 1( 2 2 ) 1( 1 na n na na na n n n n ，又 2 1 1 1 a， 2 分数列nan是首项为 2 1 ，公比为 2 1 的等比数列， 3 分 n n n na 2 1 )

19、2 1 (，na n n 2 1 ； 4 分 (2) 11 2 2 1 2 n n n n nab， 6 分 nnnn bbbbbbT 12321 )23 2 1 ()22 2 1 ()21 2 1 ( 210 2 2 1 2) 1( 2 1 2)2( 2 1 123 nnn nnn )22) 1(2)2(232221 2 123210 nnn nnn n 8 分 )22) 1(2)2(232221 2 12321nnn n nnnnT 10 分 2 212 2 2222222 12210 n n n nTT nnnnn nn ， 2 12) 1( n nT n n 。 12 分 19 （本小

20、题满分 12 分）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，4AC， 3 1 cosCAB，点D在线段BC上，且 CDBD 2 1 ， 3 38 AD。 (1)求c； (2)求ABD的面积。【解析】(1)点D在线段BC上，且CDBD 2 1 ，aBD 3 1 ，aCD 3 2 ， 1 分在ABC中，由余弦定理得： a ca ab cba C 8 16 2 cos 22222 ， 2 分在ACD中，由余弦定理得： a a a a CDb ADCDb C 16 16 3 4 3 16 3 64 9 4 16 2 cos 22 222 ， 3 分则 a a a ca 16 16 3

21、 4 8 16 2 22 ，化简得723 22 ca， 4 分在ABC中，由余弦定理得： 3 1 8 72316 8 16 2 cos 2222222 c cc c ac bc acb CAB， 6 分化简得013243 2 cc，十字相乘得：0)223)(6(cc，解得6c或 3 22 c(舍去)， 6c； 8 分 (2) 3 1 cosCAB， C0， 3 22 ) 3 1 (1sin 2 CAB， 9 分 28 3 22 64 2 1 sin 2 1 CABbcS ABC ， 10 分又aBD 3 1 ，aCD 3 2 ， 2 1 ACD ABD S S ， 3 28 3 1 AB

22、CABD SS。 12 分 20 （本小题满分 12 分）已知直线l与抛物线：pxy2 2 (0p)交于A、B两点，且点A、B在x轴两侧，其准线与x轴的交点为点C，当直线l的斜率为 2 1 且过抛物线的焦点时，20|AB。 (1)求抛物线的标准方程； (2)若抛物线的焦点为F，5OBOA，且ABF与ACF的面积分别为 ABF S、 ACF S，求 AC FABF SS 的最小值。【解析】(1)当直线l的斜率为 2 1 且过抛物线的焦点时，直线l的方程为 2 2 p yx， 1 分设)( 11 yxA，、)( 22 yxB，联立 pxy p yx 2 2 2 2 得：04 22 ppy

23、y， 2 分则pyy4 21 ， 2 21 pyy， 3 分 201041654)(41| 22 21 2 21 pppyyyyAB，解得2p， 4 分此抛物线的标准方程为xy4 2 ； 5 分 (2)由(1)知抛物线的方程为xy4 2 ，设直线AB：cmyx， 6 分直线AB与抛物线相交，0c， 7 分联立 xy cmyx 4 2 得：044 2 cmyy，则cyy4 21 ， 2 2 21 21 16 )( c yy xx ， 8 分则54 2 2121 ccyyxxOBOA，解得5c或1c(舍)， 9 分直线AB：5myx，恒过定点)05( ，设 21 0yy，从而)(

24、4 2 1 12 yyS ABF 、)(2 2 1 1 yS ACF ， 10 分则30462)3(2 2112 yyyySS ACFABF ， 11 分当且仅当 12 2 3 yy时不等式取等号，故 ACFABF SS 的最小值为304。 12 分 21 （本小题满分 12 分）已知等差数列 n a的前n项和 n S，满足32 2 nnSn。 (1)求的值； (2)设 n n n a b 2 ，数列 n b的前n项和为 n T，求证：5 2 3 n T。【解析】(1)由题意知，当1n时，6 11 aS， 1 分当2n时，由32 2 nnSn，3) 1(2) 1( 2 1 nnSn

25、， 2 分 -得12 1 nSSa nnn (2n)，2 1 nn aa(3n)，5 2 a， 3 分又数列 n a为等差数列，256，得3； 4 分 (2)由(1)知，12 nan，则 nn n n na b 2 12 2 ， 5 分 nn n nnT 2 1 ) 12( 2 1 ) 12( 2 1 7 2 1 5 2 1 3 132 ， 6 分 1432 2 1 ) 12( 2 1 ) 12( 2 1 7 2 1 5 2 1 3 2 1 nn n nnT， 7 分上式减下式得： 132 2 1 ) 12() 2 1 2 1 2 1 (2 2 3 2 1 nn n nT 8 分 1 1

26、2 1 ) 12( 2 1 1 ) 2 1 1 ( 4 1 2 2 3 n n n 11 2 12 2 1 1 2 3 nn n 1 2 52 2 5 n n ， 9 分 n n n T 2 52 5 ， 10 分 0 2 32 1 1 n nn n TT， n T是关于n的增函数，即 n TT 1 ， 11 分又易知5 2 52 5 n n n T，故5 2 3 n T。 12 分 22 （本小题满分 12 分）已知椭圆1 2 2 2 2 b y a x (0ba)，设P为椭圆上一点，且 60 21 PFF， 3 3 21 PFF S。 (1)求b； (2)若2a，)0(bA ，是否存在

27、以A为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，请求出共有几个？若不存在，请说明理由。【解析】(1)设mPF | 1 ，nPF | 2 ，由椭圆定义得anm2，设椭圆的半焦距为c，则 222 cba， 2 分对 21F PF由余弦定理得： mnamnnmPFFmnnmc3)2(3)(cos2)2( 22 21 222 ，解得 2 3 4 bmn ， 3 分又 2 3 3 60sin 2 1 21 bmnS PFF ，结合 3 3 21 PFF S得1b； 5 分 (2)可得椭圆的标准方程为：1 4 2 2 y x ，当AB、AC中一个斜率为零，一个斜率不存在显然不符合题意，

28、6 分设AB：1 kxy，不妨设0k，联立直线AB和椭圆方程得：08) 14( 22 kxxk， 7 分两根为0 1 x、 14 8 2 2 k k x， | 14 8 |1| 2 2 k k kAB， 8 分由ACAB ，得1 ACAB kk，把| AB中的k换成 k 1 ，可得 2 2 2 2 4 18 | 1 1 4 1 8 | 1 1| k k k k k AC ， 10 分由|ACAB ，得 2 2 2 2 4 18 | 14 8 |1 k k k k k ，结合0k化简得0144 23 kkk，整理得0) 13)(1( 2 kkk，解得1 1 k、 2 53 2 k、 2 53 3 k，均符合0k，符合条件的ABC的个数有3个。 12 分

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