1、4.1 正弦量4.2 相量法的基本概念4.3 电路定律的相量形式4.4 阻抗与导纳4.5 正弦稳态电路的功率4.6 互感耦合电路4.7 变压器4.8 三相电路4.9 应用实例4.10 电路设计与故障诊断习题44.1 正正 弦弦 量量4.1.1 正弦量的三要素正弦量的三要素按正弦或余弦规律随时间作周期变化的电压、电流称为正弦电压、电流，统称为正弦量(或正弦交流电)。正弦量可以用正弦函数表示，也可用余弦函数表示。本书用余弦函数表示正弦量。正弦电压、电流的大小和方向是随时间变化的，其在任意时刻的值称为瞬时值，表示为(4.1-1)cos()()cos()(imumtItitUtu式中Um(Im)、u(
2、i)是正弦量的三要素。(1)Um(Im)称为正弦电压u(电流i)的振幅，它是正弦电压(电流)在整个变化过程中所能达到的最大值，如图4.1-1所示。图 4.1-1 正弦电压与电流 (t+u)、(t+i)，反映了正弦量变化的进程，称为相位角或相位，单位为弧度(rad)或度()。(2)是相位角随时间变化的速率，即(4.1-2)(ddutt称为角频率，单位是rad/s，它反映了正弦量变化的速率。与周期T的关系是(4.1-3)T22T或为了方便，在描绘正弦量的波形时，通常取t为横坐标，如图4.1-1所示。当t=T时，t=2。由于频率f=，因此与f的关系是(4.1-4)T1fT22 频率的单位是赫兹(Hz
3、)。我国电力系统的正弦交流电其频率是50 Hz，周期为0.02 s。频率较高时，其单位常用千赫兹(kHz)、兆赫兹(MHz)和吉赫兹(GHz)表示；相应的周期单位分别为毫秒(ms)、微秒(s)和纳秒(ns)。(3)u(i)称为正弦电压(电流)的初相角，简称初相，它是正弦量t=0时刻的相角，即 (t+u)|t=0=u(t+i)|t=0=i 初相角的单位为弧度(rad)或度()，通常在-u(或i)的主值范围内取值。初相角的大小与计时起点有关，如果正弦量正最大值发生在计时起点(t=0)之前，则u(i)0，如图4.1-2(a)所示；如发生在计时起点之后，则u(或i)0，如图4.1-3(a)所示，称电压
4、u超前电流i，其相位差为；或者说，电流i落后于电压u度(或弧度)。图 4.1-3 相位差如果=1-2=0，即相位差为零，称电压u与电流i同相，如图4.1-4(a)所示；如果=1-2=,称电压u与电流i正交，如图4.1-4(b)所示；如果=1-2=,称电压与电流反相，如图4.1-4(c)所示。2图 4.1-4 同相、正交与反相不同频率的两个正弦量之间的相位差是随时间变化的，而不再是常数。我们主要关心的是同频率正弦量之间的相位差。4.1.3 正弦量的有效值正弦量的有效值 周期电压、电流的瞬时值是随时间变化的。为了简单地衡量其大小，常采用有效值。我们知道，若直流电流I通过电阻R，在一段时间(譬如由t
5、1到t2)电阻消耗的能量为 wDC=I2R(t2-t1)(4.1-7)设有一周期为T的电流i通过上述电阻R，在一个周期内消耗的能量为 wAC=tRiTd20(4.1-8)如果直流电流I 和周期电流i通过相同的电阻R，在相同的时间区间T内，电阻所消耗的能量相等，那么就平均效应(譬如热效应)而言，二者是相同的。我们称周期电流的有效值就等于该直流电流的值I。于是在式(4.1-7)中，令T=t2-t1，并令wDC=wAC，得 TtTiRTI022d于是得周期电流i的有效值(4.1-9a)TtiTI02defd1上式表示，周期量的有效值等于其瞬时值的平方在一个周期内的平均值的平方根，因此有效值又称均方根
6、值(rootmeansquare，简记为r.m.s)。同样，周期电压u的有效值 (4.1-9b)TtuTU02defd1如果周期电流为正弦量i=Im cos(t+i)，将它代入式(4.1-9a)得 ttITIiTmd)(cos1202ttITiTmd)(2cos1 21102 上式积分中的第一项等于 ；因积分区间为一个周期，故第二项积分为零。于是得正弦电流i的有效值 22TIm(4.1-10a)mmIII707.021 同样，正弦电压u的有效值 (4.1-10b)mmUUU707.021可见，对于正弦量，其最大值(Um或Im)与有效值(U或I)之间有确定的关系。因此，有效值可以代替最大值作为正
7、弦量的要素之一。引入有效值后，正弦电压、电流可写为 (4.1-11)cos(2)()cos(2)(iutItitUtu通常所说的正弦交流电压、电流的大小都是指有效值。譬如民用交流电压220 V、工业用电电压380 V等。交流测量仪表所指示的读数、电气设备的额定值等都是指有效值。但各种器件和电气设备的耐压值应按最大值考虑。4.2 相量法的基本概念相量法的基本概念4.2.1 正弦量与相量正弦量与相量 根据欧拉公式，正弦电压可写为 (4.2-1)eRe)cos()()j(utmumUtUtueReeeRejjjtmtmUUu 这样，一个余弦时间函数(它是实函数)可以用一个复指数函数来表示，式中复常数
8、(4.2-2)ummmmUUUUuujjee 的模是正弦电压的振幅Um，辐角是正弦电压的初相角u，我们称其为电压u的振幅相量。为了将相量(它也是复数)与一般复数相区别，符号Um上加“”。mUmU 相量和复数一样，它可以在复平面上用矢量表示，如图4.2-1(a)所示。这种表示相量的图称为相量图。有时为了简练、醒目，常省去坐标轴，如图4.2-1(b)所示。图 4.2-1 相量图式(4.2-1)中的ejt称为旋转因子，它是模等于1，初相为零，并以角速度逆时针旋转的复值函数。式(4.2-1)中的复指数函数ejt等于相量 乘以旋转因子ejt，称为旋转相量，称为旋转相量的复振幅。mUmU引入旋转相量的概念
9、后，可以说明式(4.2-1)对应关系的几何意义，即一个正弦量在任意时刻的瞬时值，等于对应的旋转相量同一时刻在实轴上的投影。图4.2-2画出了旋转相量ejt与正弦量Um cos(t+u)的对应关系。mU当t=0时，旋转相量=Um ，它在实轴上的投影为Um cosu，对应于正弦量u在t=0时的值；在t=t1时，旋转相量 =Um ，它在实轴上的投影为Um cos(t1+u)，对应于正弦量u在t=t1时的值。依此类推，对任意时刻t，旋转相量 mUujemU)(j1eut1jet)(jjeeutmtmUU它在实轴上的投影对应于正弦电压 u=Um cos(t+u)旋转相量的角速度就是正弦量的角频率。图 4
10、.2-2 旋转相量与正弦量 式(4.2-1)实质上是一种线性变换，这种变换也有齐次性和可加性(请参看本书末附录一式(F1-17)和式(F1-21)。对于任何正弦时间函数都有唯一的旋转相量(复指数函数)与其相对应；反之，任意旋转相量也有唯一的正弦量与其相对应。因此，可以用相量来表示正弦量。这种对应关系简单，可以直接写出。正弦电压也可用有效值表示(4.2-3)u(t)=2Ucos(t+u)=Re U2e jt 式中 (4.2-4)称为电压的有效值相量。它与振幅相量也有固定的关系 uUUUujemUU21同样地，正弦电流也可写为i(t)=Imcos(t+i)=Re mIe jt =2Icos(t+i
11、)=Re I2e jt (4.2-5)同样地，正弦电流也可写为 (4.2-6)iimmmIIIIIIiijjee分别称为电流的振幅相量和有效值相量，它们的关系为 mII214.2.2 正弦量的相量运算正弦量的相量运算在电路分析中，常常遇到正弦量的加、减运算和微分、积分运算，如果用与正弦量相对应的相量进行运算将比较简单。关于复指数函数实部的运算规则见附录一。例例4.2-1 如有两个同频率的正弦电压分别为 求u1+u2和u1-u2。u1(t)=2220cos(t)(V),u2(t)=2220cos(t 120 0)(V)解解 若令 则其所对应的相量分别为 e2Re)(j11tUtu ,e2Re)(
12、j22tUtu,V022001UV12022002Uu1、u2的和与差为 根据附录一的公式(F1-21)，上式可写为 u1 u2=Re)(221UUe jt u1 u2=Re 12Ue jt Re 22Ue jt 图 4.2-3 例4.2-1图1U2U相量 、的和与差是复数的加减运算。可以求得 其相量图如图4.2-3所示。21UU=2200 0+220120 0 =220+j0110j190.5 =110j190.5=22060o(V)21UU=2200o220120o =220+j0+110+j190.5 =330+j190.5=38130o(V)根据以上相量，可直接写出 u1(t)+u2(
13、t)=2220cos(t 60o)(V)u1(t)u2(t)=2381cos(t+30o)(V)图 4.2-4 例4.2-2图例例4.2-2 如图4.2-4所示的电路，已知R=2,L=1H，激励us(t)=8 costV，=2rad/s,求电流i(t)的稳态响应。解解 按图4.2-4所示的电路，列出其电路方程为 SuRitiLdd由第3章可知，电路i(t)的稳态响应是该微分方程的特解。当激励us为正弦量时，方程的特解是与us同频率的正弦量。设电流和激励电压分别为 i(t)=Imcos(t+i)=Re mIe jt uS(t)=USmcost=Re SmUe jt smU式中=80V。将它们代入
14、微分方程，得 根据Re的求导和数乘运算式(F1-22)、(F1-17)，上式可写为 eReeReeddjjjtSmtmtmUIRItLeReeReeRejjjjtSmtmtmUIRIL根据实部运算式(F1-21)，上式可简化为由式(F1-19)，得 eRee)jRe(jSmjmttUILRSmm)j(UILR 可见，采用相量后，以i(t)为未知量的微分方程变换为以相量为未知量的代数方程。由上式，得 mUAe222j208j045j0LRUISmm根据相量可写出图4.2-4中电流的稳态响应 mI i(t)=22cos(t 45 0)(A)4.3 电路定律的相量形式电路定律的相量形式基尔霍夫定律和
15、各种元件的伏安关系是分析电路问题的基础，为了用相量法分析正弦稳态电路，这里研究基尔霍夫定律和元件伏安关系的相量形式。4.3.1 KCL和和KVL的相量形式的相量形式KCL的时域形式为(4.3-1)tti0)(如果各支路电流都是同频率的正弦量，将它们都用相对应的旋转相量表示，则上式可写为 根据附录一式(F1-21)，上式可写为 tIt0e2RejtIIIttt0e)(2Ree2Ree2Rejjj由附录一式(F1-19)，得 式(4.3-2)称为KCL的相量形式。它表明，在正弦稳态情况下，对任一节点(或割集)，各支路电流相量的代数和等于零。0I(4.3-2)同样地，KVL的时域形式为(4.3-3)
16、如果各电压均为同频率的正弦量，则有(4.3-4)0u0U2式(4.3-4)称为KVL的相量形式。它表明，在正弦稳态情况下，对任一回路，各支路电压相量的代数和等于零。由于振幅相量是有效值相量的倍，故有(4.3-5)00mmUI4.3.2 基本元件基本元件VAR的相量形式的相量形式一二端元件的端电压u和电流i(u和i取关联参考方向)分别为(4.3-6)式中、分别是电压、电流的有效值相量。)e(juUUU)e(jiIIIe2Re)cos(2)(e2Re)cos(2)(jjtituItItiUtUtu1.电阻元件电阻元件电阻元件R(见图4.3-1(a)的伏安特性的时域形式，即欧姆定律为 u(t)=Ri
17、(t)t(4.3-7)当正弦激励时，有)cos(2)cos(2iutIRtU其波形如图4.3-1(b)所示。根据附录一式(F1-17)，上式可写为 e2Ree2Ree2RejjjtttIRIRU由附录一式(F1-18)，可得(4.3-8)IRU式(4.3-8)是电阻元件伏安关系的相量形式，根据它可画出电阻元件的相量模型，如图 4.3-1(c)所示。图 4.3-1 电阻元件UujeIije 式(4.3-8)是复数方程，考虑到=U，=I，上式可分解为(4.3-9)这表明，电阻端电压有效值等于电阻R与电流有效值的乘积，而且电压与电流同相。电阻元件的相量图如图4.3-1(d)所示。iuIRU2.电感元
18、件电感元件电感元件L(见图4.3-2(a)的伏安特性的时域形式为(4.3-10)当正弦激励时，有 tttiLtud)(d)()2cos(2)cos(2dd)cos(2iiutLItItLtU其波形如图4.3-2(b)所示。根据实部Re的运算规则附录一式(F1-22)，上式可写为 由附录一式(F1-19)得 (4.3-11)ej2Re )e2(ddRee2Redde2RejjjjttttILILtItLUILUj式(4.3-11)是电感元件伏安关系的相量形式。据此可画出电感元件的相量模型，如图4.3-2(c)所示。图 4.3-2 电感元件UIujeije考虑到=U，=I，式(4.3-11)可写为
19、 即有(4.3-12)2j(jjeejeiiuLILIU2iuLIU 这表明，电感端电压的有效值等于L与电流有效值的乘积，而且电流落后于电压/2。电感元件相量图如图4.3-2(d)所示。式(4.3-11)和(4.3-12)中的L具有电阻的量纲，称其为电抗(感抗)，用XL表示，即 XL=L (4.3-13)电抗的单位为。3.电容元件电容元件电容元件C(见图4.3-3(a)的伏安关系的时域形式为(4.3-14)tttuCtid)(d)(当正弦激励时，有)2cos(2 )cos(2dd)cos(2uuitCUtUtCtI其波形如图4.3-3(b)所示。根据附录一式(F1-22)，上式可写为 ej2R
20、e )e2(ddRe e2Redde2RejjjjttttUCUCtUtCI由附录一式(F1-18)，得 或 (4.3-15)UCIjICUj1 式(4.3-15)是电容元件伏安关系的相量形式，其相量模型如图4.3-3(c)所示。将和代入式(4.3-15)，得 UI)2j(jje1ej1eiiuICICU 这表明，电容端电压的有效值等于与电流有效值的乘积，而且电流超前于电压。电容元件的相量图如图4.3-3(d)所示。C12即有(4.3-16)21iuICU图 4.3-3 电容元件式(4.3-15)和(4.3-16)中，也具有电阻的量纲，定义其为电抗(容抗)，用XC表示，即 C1(4.3-17)
21、最后，将R、L、C伏安关系的相量形式归纳见表4-1。CXC1表表4-1 R、L、C伏安关系的相量形式伏安关系的相量形式 由上可见，KCL和KVL方程的相量形式、电路元件伏安关系的相量形式都是代数方程。这样，在分析正弦稳态电路时，各元件用相量模型表示，各激励源用相量表示，就可得到原电路图的相量模型。根据KCL、KVL以及元件的VAR就可列出电路方程，并用代数方法求得所需的电流、电压。例例4.3-1 如图4.3-4(a)所示的电路，已知i=2cos5t(A)，求电压u。2图 4.3-4 例4.3-1图解解 取电流i的相量(有效值相量)为 令未知电压相量为。由于=5 rad/s，根据各元件值可得 U
22、)A(020I jL=j52.4=j12()(8j025.05j1j1CR=4 于是可画出图4.3-4(a)电路的相量模型，如图4.3-4(b)所示。由图4.3-4(b)可得各元件电压分别为 V0802400IRURV90240212jj00ILULV9016028jj100ICUC由KVL，得 其相量图如图4.3-4(c)所示。0009016902408CLRUUUUV45288j816j24j80将电压相量变换为正弦函数形式，得)V)(455cos(16 )455cos(282)(tttu例例4.3-2 如图4.3-5(a)所示的电路，已知I1=4A，I2=3 A，求总电流I。解解 在分析
23、计算正弦稳态电路的各种问题时，要特别注意，各电流、电压均为相量。本题已知I1、I2的有效值，而初相角未知。图 4.3-5 例4.3-2图UU由于图4.3-5(a)是并联电路，我们假设电压的初相为零，即令=U0V。根据电阻和电容的伏安特性可知)A(04101URI)A(903j02UCI根据KCL，得 其相量图如图4.3-5(b)所示。于是得总电流 I=5 A A)(9.3653j4 9030400021III4.4 阻阻 抗抗 与与 导导 纳纳4.4.1 阻抗阻抗有一不含独立源的一端口电路N，如图4.4-1(a)所示。在正弦稳态情况下，其端口电压、电流将是同频率的正弦量。设其端口电压、电流(按
24、关联参考方向)分别为 u(t)=2Ucos(t+u)i(t)=2Icos(t+i)其所对应的相量分别为 iuIIUUjjee(4.4-1)图 4.4-1 阻抗 我们把有效值相量与之比定义为阻抗，用Z表示，即 UI(4.4-2)其模型如图4.4-1(b)所示。显然，它也是电压与电流的振幅相量之比，即。阻抗的单位为(欧姆)。阻抗Z是复数，但不是相量，因而不加“”。IUZdefmmIUZ式(4.4-2)可改写为 (4.4-3)它与电阻元件的伏安关系(欧姆定律)有相似的形式。阻抗是一个复数量，它可写成代数型或指数型，即(4.4-4)IZUzZZjXRZZje式中R是阻抗的实部，称为电阻；X是阻抗的虚部
25、，称为电抗；|Z|称为阻抗的模；z称为阻抗角。它们之间的关系是(4.4-5)(4.4 6)以上关系可表示为阻抗三角形，如图4.4-2所示。zzZXZRsincosRXXRZzarctan22图 4.4-2 阻抗三角形考虑到式(4.4-1)，阻抗式中(4.4-7)zZZIUIUIUZziuiuj)j(jje eeeiuzIUZ 根据以上定义，单个元件R、L和C的阻抗ZR、ZL、ZC分别为 (4.4-8)2j1jj12jjCCCLLLRXXCCZXXLZRZ 对于仅包含有R、L、C的电路，其阻抗角。当 z0时，X0，电流超前于电压，电路呈电容性；当z=0时，X=0，电流、电压同相，电路呈电阻性；当
26、00，电流落后于电压，电路呈电感性。22z2IU2引入阻抗的概念后，多个阻抗相串联的计算与电阻串联的形式相同。图4.4-3(a)所示为n个阻抗串联，其等效阻抗(见图(b)(4.4-9)各阻抗上的电压为 (4.4-10)nkkZZ1eqUZZUkkeq图 4.4-3 阻抗的串联4.4.2 导纳如一不含独立源的一端口电路N，如图4.4-4(a)所示。在正弦稳态情况下，其端口电压相量和电流相量如式(4.4-1)所示。图 4.4-4 导纳端口电流 与电压 之比定义为导纳，用Y表示，即(4.4-11)其模型如图4.4-4(b)所示。IUUIYdef导纳Y的单位是西门子(S)。式(4.4-11)也可写为(
27、4.4-12)这是导纳的伏安关系的另一种形式。UYI导纳是一个复数量，它可写成代数型或指数型，即(4.4-13)yYYjBGYyje式中G是导纳的实部，称为电导；B是导纳的虚部，称为电纳；|Y|称为导纳的模；y称为导纳角。它们之间的关系是 (4.4-14)(4.4-15)yyYBYGsincosGBBGYyarctan22考虑到式(4.4-1)，导纳 式中 (4.4-16)yuiuiYUIUIUIYj)j(jjeeeeuiyUIY 根据以上定义，单个元件R、L和C的导纳YG、YL和YC分别为 (4.4-17)CCLLGBCYBLLYGRYjjj1jj11对于由n个导纳并联的计算与电导并联形式相
28、同。图4.4-5(a)所示为n个导纳相并联，其等效导纳(见图4.4-5(b)(4.4-18)其各导纳的电流(4.4-19)nkkYY1eqIYYIkkeq图 4.4-5 导纳的并联例例4.4-1 如图4.4-6(a)所示的电路，已知G=0.4 S，L=0.1 mH，C=4 F，电流源is(t)=5 cos105t(A)，求电流iG、iL、iC和端电压u。2图 4.4-6 例4.4-1图U解解 图4.4-6(a)是并联电路，用导纳计算较为方便。取电流源的相量S=50A。令各电流的相量分别为、和，端电压相量为。根据给定的电源角频率=105rad/s，计算出各元件的导纳分别为 GILICI YG=G
29、=0.4 SYL=Lj1=j0.1(S)于是画出图4.4-6(a)的相量模型，如图4.4-6(b)所示。总导纳 Y=YG+YL+YC=0.4+j0.3=0.536.9V 根据式(4.4-12)，端电压 V9.36109.365.005000YIUS各电流分别为 A9.3649.36104.000UGIGA9.12619.36101.0jj100ULILA1.5349.36104.0jj00UCIC各电流的相量关系如图4.4-6(c)所示。端电压和各电流的瞬时值表示式分别为)A)(9.3610cos(210)(05ttu)A)(9.3610cos(24)(05ttiG)A)(9.12610cos
30、(2)(05ttiLA)(1.5310cos(24)(05ttiC4.4.3 阻抗与导纳的关系阻抗与导纳的关系如前所述，一个无源一端口电路N(见图4.4-7(a)，在正弦稳态下，用相量分析计算时，可等效为阻抗或导纳，即(4.4-20)BGYUIYXRZIUZyzjejejj 显然，对同一电路，阻抗或导纳互为倒数，即有(4.4-21)YZ1或ZY1 由式(4.4-20)可见，阻抗Z与导纳Y的模和相位角的关系是(4.4-22)zyZY1图 4.4-7 阻抗与导纳阻抗和导纳可以等效互换，由式(4.4-20)可得(4.4-23)式中 BGXRXXRRXRZYjjj112222,22XRRG22XRXB
31、同样地，式中 BGXRXXRRXRZYjjj112222,22BGGR22BGBX 例例4.4-2 RL串联电路如图4.4-8(a)所示。若电源角频率=106rad/s，把它等效成RL并联电路，如图4.4-8(b)所示。试求R和 L的大小。解解 首先计算图4.4-8(a)的阻抗 XL=L=1065010-6=50 Z=R+jXL=50+j50=70.745 图 4.4-8 例4.4-2图图4.4-8(a)电路的导纳 图4.4-(b)电路的导纳 S01.0j01.04501414.0457.701100ZYa1j1jLRBGYb为使二者等效，令Ya=Yb得 于是得,01.01RGS01.01LB
32、,1001GRH1001BL4.4.4 正弦稳态电路的计算正弦稳态电路的计算电路分析计算的基本依据是KCL、KVL和元件端口电压、电流的关系，即伏安关系(VAR)。对于线性电阻电路，有 (4.4-25)iRuui00对于正弦稳态电路，当用相量法时，其基本约束关系是KCL、KVL和元件端口VAR的相量形式，即 (4.4-26)IZUUI00例例4.4-3 如图4.4-9(a)所示的电路，已知r=10，L=20 mH，C=10 F，R=50，电源电压U=100V，其角频率=103rad/s。求电路的等效阻抗和各元件的电压、电流，并画出其相量图。图 4.4-9 例4.4-3图解解 首先求电路的等效阻
33、抗。电感和电容的电抗分别为 由图4.4-9(a)可见，R和C是并联的，其等效阻抗 XL=L=1032010 3=20 1001010101163CXC 02j40100j50)100j(50j)j(CCRCXRXRZr、L与ZRC是串联的，故总阻抗 Z=r+jXL+ZRC=10+j20+40-j20=50 设电源电压 =1000V，则电路的总电流 A0250010000ZUI电阻r和电感L上的电压分别为 由KVL，电容C和电阻R上的电压 A020021000IrUrA90400220jj00IXULL00090400200100LrRCUUUUUA6.264.8940j800电容和电阻的电流
34、各电流、电压的相量关系如图4.4-9(b)所示。A4.63894.0100j6.264.89j00CCCXUIA6.2679.1506.264.8900RUIRRCURU电流 和 也可由分流公式求得，即 电压 和 也可利用分压公式求得，即 V6.264.89 01005020j4000UZZUURCRCCIRIA4.63894.002100j5050j00IXRRICCA6.2679.10210050100j00jjIjXRXICCR例例4.4-4 求图示4.4-10电路的端口等效阻抗Zab。解解 求端口等效阻抗，实际上就是求出其端口伏安关系。我们设想在端口处加一电流源(或电压源)，求出其端口
35、电压(或电流)，则IIUUIUZab图 4.4-10 例4.4-4图而。将它代入上式，得 I)2.0)(2j()10j10(1UIIUIIIIU)8j6()2j)(2j()10j10(01.53108j6IUZab例例4.4-5 如图4.4-11(a)所示的电路，已知V，=A，求 。解法一解法一 用等效电源定理。图4.4-11(a)中把除电感支路以外的部分看做是一端口电路，如图4.4-11(b)所示。求图4.4-11(b)电路的戴维南电路或诺顿电路，实际上就是求出该一端口电路的端口伏安关系。001SU001SILI图 4.4-11 例4.4-5图 (4.4-27)设图4.4-11(b)的端口电
36、压为，端口电流为。根据KVL，有UI113j)3j(IUIUUSS对于节点a，根据KVL，有 (4.4-28)而(因该电阻为1)，将它代入式(4.4-28)，得 RSIIII112IUIR112IUIIIS于是得 将它代入式(4.4-27)，得 即 SIIUI13SSIIUUUjjjIIUUSSjj)1 j1(将(V)和A代入，可解得图4.4-11(b)电路的VAR为 001SU001SIIU21 j11由以上方程可知，开路电压 V，等效内阻抗。于是得等效电路，如图4.4-11(c)所示。根据图4.4-11(c)可得 001OCU21 j10ZA4541.11 j121 j)1 j1(2111
37、 j00ZUIOCL 当然，开路电压和等效内阻抗Z0也可分别求出。解法二解法二 用节点法。设独立节点a的电压为(参看图4.4-11(a)。可列出节点方程为OCUnaUSSnaIIUU123j)1 j113j1(1即 123j)32j1(IUIUSSna而 3j1naSUUI将它代入上式，得 naSSSnaUUUIU32j32j3j)32j1(即 V1 j1jSSnaUIUA4541.11 j11 j1 j11 j0naLUI所以 例例4.4-6 如图4.4-12所示的电路，已测得IR=5 A，IC=5 A，电压U=70.7 V，并且 与 同相，求R、XL和XC。ULI对于节点a，根据KVL，有
38、 (4.4-28)而(因该电阻为1)，将它代入式(4.4-28)，得 RSIIII112IUIR112IUIIIS图 4.4-12 例4.4-6图由于电容与电阻相并联，二者端电压是同一电压，电阻端电压与其电流同相，而电容电流超前于其电压，所以 根据KCL，有 RICI2A5j9050CIA4507.75j50CRLIII由于电压与同相，因此 另一方面，由KVL，有 ULI0A5j50457.700ULLLRLLXXRRXIRIXU5j)(5 5)5j5(jj故得 5(R-XL)+j5XL=50+j50这是一个复数方程，按复数相等的定义可得 5(R-XL)=50 5XL=50于是可得 XL=10
39、 R=20由于R和XC的端电压相同，且IC=IR，故 XC=20 例例4.4-7 为了降低小功率单相交流电动机(如风扇)的转速，可在电源和电动机之间串接一电感线圈L(线圈内阻可忽略不计)，以降低电动机的端电压，其电路如图4.4-13所示。已知电动机内阻r=190，XD=260,电源电压U=220 V，频率f=50 Hz。为使电动机端电压UD=180 V，求其所需串联的电感L。图 4.4-13 例4.4-7图解解 电动机的端电压UD=180 V，故流经电动机的电流电路的总阻抗为 A559.02601901802222DDXrUI)j(DLXXrIUZ它的模 所以电感线圈L的感抗 6.393559
40、.0220)(22DLXXrIUZ7.84260)190()6.393(2222DLXrZX27.05027.84LXL线圈的电感此题也可用相量图辅助计算。设电流的初相为零，则r上的电压与同相，而、均超前于，如图4.4-14(a)所示。同时，也可画出阻抗ZD和总阻抗Z与其实部和虚部，其与r和XD、XL的三角形关系如图4.4-14(b)所示。由于r、XD，XL是串联的，通过它们的电流是同一电流，因而各电压与有关阻抗成正比，所以图4.4-14(a)的相量图与图4.4-14(b)的阻抗三角形相似。于是有 IrUIXDULU2IDDUUZZ图4.4-14 相量图与阻抗三角形即 由图4.4-14(b)可
41、见 XL+XD=|Z|sin .6393)260()190(18022022DDZUUZ而 所以 XL+XD=|Z|sin=393.6sin61.64=344.7 XL=344.7-260=84.7 14.616.393190arccosarccosZr所以电感 例例4.4-8 如图4.4-15(a)所示的电路，已知us(t)=15+10cost+10 cos2tV，式中=103rad/s，求输出电压u(t)。7H2.05027.84LXL22图 4.4-15 例4.4-8图解解 相量法是用以分析单一频率的正弦稳态电路的方法，这时电路中各处电流、电压都是同一频率的正弦量。本例中电压源us由三项
42、不同频率的信号所组成，根据叠加定理，我们把us看做是由三个不同频率的电压源相串联组成的，而us产生的响应是三个电源单独作用所产生的响应之和。设 us(t)=us1(t)+us2(t)+us3(t)式中 uS1(t)=15 VuS2(t)=210cost (V)uS3(t)=210cos2t (V)下面分别求出us1、us2和us3产生的响应。图4.4-15(b)是对不同角频率的相量模型。(1)us1单独作用于电路。us1是直流电压源，它相当于=0。电感可看做短路，电容可看做开路，因而其响应 u1(t)=us1(t)=15 V (2)us2单独作用于电路。令us2所对应的相量为，电源角频率=10
43、3rad/s。根据图4.4-15(b)的相量模型，有 V0102SU 5005.01032LXL 5001021011632CXCR与C并联的阻抗 总阻抗 250j250500j500)500j(500j)j(222CCRCXRXRZZ2=jXL2+ZRC2=250+j 250 输出电压相量 其瞬时值为 V901010250j250250j2502222SRCUZZUu2(t)=102cos(t 90 0)=14.1cos(t 90 0)V (3)us3单独作用于电路。令us3所对应的相量为 =100V，电源角频率为 2=2103rad/s,由图4.4-15(b)的相量模型，有R与C并联的阻抗
44、 100023LXL 250213CXC 200j100250j500)250j(500j)j(333CCRCXRXRZ总阻抗 Z3=jXL3+ZRC3=100+j800 输出电压相量V3.14627.210800j100200j1003333SRCUZZU其瞬时值为 根据叠加定理，输出电压 u3(t)=2.772cos(2t 146.3 0)=3.92cos(2t 146.3 0)V u(t)=u1(t)+u2(t)+u3(t)=15+14.1cos(t 90 0)+3.92cos(2t 146.3 0)V 4.5 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.5.1 一端口电路的功率一端口电路的
45、功率如图4.5-1(a)所示的一端口电路N，设其端口电压(4.5-1)u(t)=2Ucos(t+u)其端口电流i(u与i为关联参考方向)是同频率的正弦量，设电流(4.5-2)式中，=u-i，是电压u超前于电流i的相位差。如果一端口电路N不含独立源，则就是阻抗角z。i(t)=2I cos(t+i)=2I cos(t+u)在任一瞬间，一端口电路N吸收的功率(4.5-3)由上式可见，瞬时功率有两个分量，第一个为恒定分量，第二个为正弦分量，其频率为电压或电流频率的两倍。图4.5-1(b)画出了电压u、电流i和瞬时功率p的波形。p(t)=u(t)i(t)=2UI cos(t+u)cos(t+u)=UI
46、cos+UI cos(2t+2u)图 4.5-1 瞬时功率瞬时功率也可以改写为(4.5-4)p(t)=UI cos 1+cos2(t+u)+UI sinsin2(t+u)4.5.2 平均功率、无功功率和视在功率平均功率、无功功率和视在功率瞬时功率是时间的正弦函数，使用不便。为了简明地反映正弦稳态电路中能量消耗与交换的情况，常采用以下几种功率表现形式。1.平均功率平均功率(有功功率有功功率)P平均功率又称有功功率，是瞬时功率在一周期内的平均值，即 (4.5-5)TttpTP0defd)(1式中T为电压(或电流)的周期。对于正弦量而言，将式(4.5-3)代入上式，得 由于是在一周期内积分，故上式第
47、二项积分为零，于是得平均功率(4.5-6)TTuttUITtUITP00d)22cos(1dcos1P=UI cos=21UmImcos 2.无功功率无功功率Q无功功率 (4.5-7)如果电路N中不含独立源，就是阻抗角z，式(4.5-6)可写为(4.5-8)sin21sindefmmIUUIQP=UI cosz=21UmImcosz 式(4.5 -7)可写为 (4.5-9)zmmzIUUIQsin21sin如果一端口电路N是纯电阻电路，z=0，则P=UI，Q=0，说明电阻吸收有功功率，电阻的无功功率为零。如果一端口电路N是纯电感电路，z=，则P=0，QL=UI；如果电路是纯电容电路，z=-，P
48、=0，QC=-UI。这说明电感(电容)的平均功率为零，它们不消耗能量，但与外界有能量交换。如电路N是电感性的，则z0，这时Q0；如N是电容性的，则z0，这时Q0。223.视在功率视在功率S视在功率(4.5-10)即S等于端口电压与电流有效值的乘积，其单位为伏安(VA)。mmIUUIS21def由于发电机、变压器等电器设备，其功率因数cos取决于负载情况，因而通常用视在功率S表示其容量。例如某变压器的容量为560 kVA。如果负载是纯电阻，则=cos=1，其传输功率为560 kW；如果负载是感性的，譬如=cos=0.5时，则它所传输的有功功率为280 kW。因此，对于这类设备只能用视在功率S来衡
49、量其容量。4.5.3 复功率复功率为了分析计算的方便，将有功功率P与无功功率Q组成一复数量，称为复功率，它既不同于相量()，又不同于阻抗(导纳)类型的复数，故用表示，即(4.5-11)IU,SQPSjdef将式(4.5-6)和(4.5-7)代入上式，并考虑到=u-i，可得 在用相量法分析正弦稳态电路时，式(4.5-1)中的电压u和式(.5-)中的电流i，其相量分别为和。因此电流相量的共轭值，于是，一端口电路N的复功率可写为 (4.5-12)iuiuIUUIUIUIUIQpSjj)j(jeeee sinjcosjuUUjeiIIjeiIIj*eIQPSIUSjej*对于正弦稳态电路，利用特勒根定
50、理可以证明电路中的复功率守恒，即有 (4.5-13a)这包含有(4.5-13b)(4.5 13c)0S0cosUIP0sinUIQ例例4.5-1 如图4.5-2所示的电路，求:(1)各元件吸收的功率。(2)电源供给的功率。解解(1)支路1的阻抗为Z1=2+j1()，故电流 A57.2647.41 j201011ZUISR1吸收的有功功率和L吸收的无功功率分别为var20 W04211211LLRXIQRIP图 4.5-2 例4.5-1图或者 支路2的阻抗Z2=1-j3()，故电流 AV 20j40 57.2647.4010*11IUSSA75.7116.33j1010022ZUISR2吸收的有
