1、第六章第六章 互感与理想变压器互感与理想变压器 6.1 耦合电感元件耦合电感元件 6.2 耦合电感的去耦等效耦合电感的去耦等效 6.3 含互感电路的相量法分析含互感电路的相量法分析 6.4 理想变压器理想变压器 6.5 实际变压器模型实际变压器模型 6.1 耦合电感元件耦合电感元件 6.1.1耦合电感的基本概念耦合电感的基本概念 图6.1-1是两个靠得很近的电感线圈，第一个线圈通电流i1，它所激发的磁通为11(自磁通)，其中一部分磁通21,它不但穿过第一个线圈，同时也穿过第二个线圈。同样，若在第二个线圈中通电流i2，它激发的磁通为22。22中的一部分12，它不但穿过第二个线圈，也穿过第一个线圈
2、。把另一个线圈中的电流所激发的磁通穿越本线圈的部分称为互磁通。如果把互磁通乘以线圈匝数，就得互磁链，即 2122112112NN(6.1-1a)(6.1-1b)图 6.1-1耦合电感元件 2121212121iMiM仿照自感系数定义，我们定义互感系数为(6.1-2a)(6.1-2b)(6.1-2a)式表明穿越第二个线圈的互磁链与激发该互磁链的第一个线圈中电流之比，称为线圈1对线圈2的互感系数。(6.1-2b)式表明穿越第一个线圈的互磁链与激发该互磁链的第二个线圈中电流之比，称为线圈2对线圈1的互感系数。可以证明 2112MM21LLM 所以，后面我们不再区分M12与M21，都用M表示。若M为常
3、数且不随时间、电流值变化，则称为线性时不变互感，我们只讨论这类互感。互感的单位与自感相同,也是亨利(H)。这里应当明确，两线圈的互感系数一定小于等于两线圈自感系数的几何平均值，即(6.1-3)这是因为 1222,2111，所以 21222211111212212112121221122LLiNiNiNiNiiMMM21LLkM 21LLMk 21LL故(6.1-3)式得证。此式仅说明互感M比 小(最多相等)，它并不能说明M比小到什么程度，为此我们引入耦合系数k，把互感M与自感L1,L的关系写为 21LL上式也可写为(6.1-4)式中系数k称为耦合系数，它反映了两线圈耦合松紧的程度。由(6.1-
4、3)、(6.1-4)式可以看出0k1,k值的大小反映了两线圈耦合的强弱，若k=0，说明两线圈之间没有耦合；若k=1，说明两线圈之间耦合最紧，称全耦合。图 6.1-2 耦合系数k与线圈相互位置的关系 6.1.26.1.2耦合电感线圈上的电压、电流关系耦合电感线圈上的电压、电流关系当有互感的两线圈上都有电流时，穿越每一线圈的磁链可以看成是自磁链与互磁链之和。当自磁通与互磁通方向一致时，称磁通相助，如图6.1-3所示。在这种情况下，交链线圈1、2的磁链分别为 1222122221112111MiiLMiiL(6.1-5a)(6.1-5b)上式中，11、22分别为线圈1、2的自磁链；12、21分别为两
5、线圈的互磁链。图 6.1-3 磁通相助的耦合电感 dtdiMdtdiLdtdu21111dtdiMdtdiLdtdu12222设两线圈上电压、电流参考方向关联，即其方向与各自磁通的方向符合右手螺旋关系，则(6.1-6a)(6.1-6b)如果自磁通与互磁通方向相反，称磁通相消，如图6.1-4所示。这种情况，交链线圈1、2的磁链分别为 2122212111图 6.1-4 磁通相消的耦合电感 dtdiMdtdiLdtdudtdiMdtdiLdtdu1222221111所以(6.1-7a)(6.1-7b)由上述分析可见，具有互感的两线圈上的电压，在设其参考方向与线圈上电流参考方向关联的条件下，它等于自
6、感压降与互感压降的代数和，磁通相助取加号，磁通相消取减号。当电流分别从两线圈各自的某端同时流入(或流出)时，若两者产生的磁通相助，则这两端称为两互感线圈的同名端，用标志“”或“*”表示。如果再设线圈上电压、电流参考方向关联，那么两线圈上电压分别为 dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu12222111(6.1-8a)(6.1-8b)图图6.1-5 互感线圈的同名端互感线圈的同名端 如果像图6.1-6所示那样，设i1仍是从a端流入，i2不是从c端流入，而是从c端流出，就认为(判定)磁通相消。由图6.1-6可见，两互感线圈上电压与其上电流参考方向关联，所以 dtdiMdtdiLudtdiMd
7、tdiLu12222111(6.1-9a)(6.1-9b)对于已标出同名端的互感线圈模型(如图6.1-5(b)、6.1-6所示)，可根据所设互感线圈上电压、电流参考方向写出互感线圈上电压、电流关系。上面已讲述了关于互感线圈同名端规定的含义，那么，如果给定一对不知绕向的互感线圈，如何判断出它们的同名端呢?这可采用一些实验手段来加以判定。图 6.1-6磁通相消情况时的互感线圈模型 图6.1-7 互感线圈同名端的测定 关于耦合电感上电压、电流关系这里再强调说明两点：(1)耦合电感上电压、电流关系式的形式有多种，它与耦合电感的同名端位置有关，与两线圈上电压、电流参考方向设的情况有关。若互感两线圈上电压
8、、电流都设成关联参考方向，磁通相助时可套用(6.1-8)式，磁通相消时可套用(6.1-9)式。若非此两种情况，不可乱套用上述两式。(切记!)(2)如何正确书写所遇各种情况的耦合电感上的电压、电流关系是至关重要的。通常，将耦合线圈上电压看成由自感压降与互感压降两部分代数和组成。先写自感压降：若线圈j(j=1,2)上电压、电流参考方向关联，则其上自感电压取正号，即；反之取负号，即。tiLjjddtiLjjdd再写互感压降部分：观察互感线圈给定的同名端位置及所设两个线圈中电流的参考方向，若两电流均从同名端流入(或流出)，则磁通相助，互感压降与自感压降同号，即自感压降取正号时互感压降亦取正号，自感压降
9、取负号时互感压降亦取负号；若一个电流从互感线圈的同名端流入，另一个电流从互感线圈的同名端流出，磁通相消，互感压降与自感压降异号，即自感压降取正号时互感压降取负号，自感压降取负号时互感压降取正号。只要按照上述方法书写，不管互感线圈给出的是什么样的同名端位置，也不管两线圈上的电压、电流参考方向是否关联，都能正确书写出它们电压、电流之间的关系式。例例6.1-1 图6.1-8(a)所示电路，已知R1=10，L1=5H,L2=2H,M=1H，i1(t)波形如图6.1-8(b)所示。试求电流源两端电压uac(t)及开路电压ude(t)。图6.1-8 例6.1-1用图 解解 由于第2个线圈开路，其电流为零，
10、所以R2上电压为零，L2上自感电压为零，L2上仅有电流i1在其上产生的互感电压。这一电压也就是d,e开路时的电压。根据i1的参考方向及同名端位置，可知 dttdiMtude)()(1dttdiLtubc)()(11dttdiLtiRtututubcabac)()()()()(1111由于第二个线圈上电流为零，所以它对第一个线圈不产生互感电压，L1上仅有自感电压 电流源两端电压 在0t1 s时 Atti10)(1(由给出的i1(t)波形写出)VdttddtdiMtuVttututuVtdtddtdiLtuVtttiRtudebcabacbcab10)10(1)(50100)()()(50)10(
11、5)(1001010)()(11111所以 在1t2s时 Atti2010)(1VdttddtdiMtuVttututuVtdtddtdiLtuVtttiRtudcbcabacbcab10)2010(1)(150100)()()(50)2010(5)(200100)2010(10)()(11111所以 在t2s时0)(1ti0,0,0,0deacbcabuuuu015010050100)(VtVttuac01010)(VVtude其余stst2110其余stst2110(由观察i1(t)波形即知)例例6.1-2 图 6.1-9所示互感线圈模型电路，同名端位置及各线圈电压、电流的参考方向均标示在
12、图上，试列写出该互感线圈的电压、电流关系式(指微分关系)。图 6.1-9 例6.1-2用图 解解先写第一个线圈L1上的电压u1。因L1上的电压u1与i1参考方向非关联，所以u1中的自感压降为 。观察本互感线圈的同名端位置及两电流i1、i2的流向，可知i1从同名端流出，i2亦从同名端流出，属磁通相助情况，u1中的互感压降部分与它的自感压降部分同号，即为 。将L1上自感压降部分与互感压降部分代数和相加，即得L1上电压 dtdiL11tiMdd1tiMtiLudddd2111 再写第二个线圈L2上的电压u2。因L2上的电压u2与电流i2参考方向关联，所以u2中的自感压降部分为 。考虑磁通相助情况,互
13、感压降部分与自感压降部分同号，所以u2中的互感压降部分为 。将L2上自感压降部分与互感压降部分代数和相加，即得L2上电压 tiLdd22tiMdd1tiMtiLudddd1222tiMtiLutiMtiLudddddddd12222111此例是为了给读者起示范作用，所以列写的过程较详细。以后再遇到写互感线圈上电压、电流微分关系，线圈上电压、电流参考方向是否关联、磁通是相助或是相消的判别过程均不必写出，直接可写出(对本互感线圈)6.2 耦合电感的去耦等效耦合电感的去耦等效 6.2.1 耦合电感的串联等效耦合电感的串联等效 图6.2-1 互感线圈顺接串联 由所设电压、电流参考方向及互感线圈上电压、
14、电流关系，得 dtdiLdtdiMLLdtdiMdtdiLdtdiMdtdiLuuuab)2(212121MLLLab221式中(6.2-1)(6.2-2)称为两互感线圈顺接串联时的等效电感。由(6.2-1)式画出的等效电路如图6.2-1(b)所示。MLLLab221 图6.2-2(a)所示为两互感线圈的反接串联情况。两线圈相连的端钮是同名端，类似顺接情况，可推得两互感线圈反接串联的等效电路如图6.2-2(b)所示。图中(6.2-3)图6.2-2 互感线圈反接串联 6.2.2耦合电感的耦合电感的T型等效型等效1.同名端为共端的同名端为共端的T型去耦等效型去耦等效图6.2-3(a)为一互感线圈，
15、由图便知L1的b端与L2的d端是同名端(L1的a端与L2的c端也是同名端，同名端标记只标在两个端子上)，电压、电流的参考方向如图中所标，显然有 dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu12222111(6.2-4)(6.2-5)经数学变换，改写(6.2-4)式与(6.2-5)式，得 dtiidMdtdiMLdtdiMdtdiMdtdiMdtdiLu)()(2111211111dtiidMdtdiMLdtdiMdtdiMdtdiMdtdiLu)()(2122122222(6.2-6)(6.2-7)图6.2-3 同名端为共端的T型去耦等效 2.异名端为共端的异名端为共端的T型去耦等效型去耦等效
16、 图6.2-4(a)所示互感线圈L1的b端与L2的d端是异名端，电流、电压参考方向如图中所标，显然有 dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu12222111(6.2-8)(6.2-9)dtiidMdtdiMLdtdiMdtdiMdtdiMdtdiLu)()(2111211111dtiidMdtdiMLdtdiMdtdiMdtdiMdtdiLu)()(2122122222经数学变换，改写(6.2-8)式与(6.2-9)式，得(6.2-10)(6.2-11)图6.2-4 异名端为共端的T型去耦等效 以上讨论了耦合电感的两种主要的去耦等效方法，它们适用于任何变动电压、电流情况，当然也可用于正弦
17、稳态交流电路。应再次明确，无论是互感串联二端子等效还是T型去耦多端子等效，都是对端子以外的电压、电流、功率来说的，其等效电感参数不但与两耦合线圈的自感系数、互感系数有关，而且还与同名端的位置有关。例例6.2-1 图6.2-5(a)为互感线圈的并联，其中a,c端为同名端，求端子1、2间的等效电感Leq。图6.2-5 互感线圈并联 解解应用互感T型去耦等效，将(a)图等效为(b)图(要特别注意等效端子，将(a),(b)图中相应的端子都标上)。应用无互感的电感串、并联关系，由(b)图可得 MLLMLLMLLMLMLMMLMLMLeq22)()/()(21221212121MLLMLLLeq22122
18、1(6.2-12)式为图6.2-5(a)所示的同名端相连情况下互感并联时求等效电感的公式。若遇异名端相连情况的互感并联，可采用与上类似的推导过程推得求等效电感的关系式为(6.2-13)(6.2-12)例例6.2-2 如图6.2-6(a)所示正弦稳态电路中含有互感线圈，已知us(t)=2cos(2t+45)V，L1=L2=1.5H,M=0.5 H，负载电阻RL=1。求RL上吸收的平均功率PL。图6.2-6 含有互感的正弦稳态电路 AjjjjUIsmm02245214522)2(1/)21(AjjIjjjjjImLm1352022111212121W212212122LLmLRIP解解应用T型去耦
19、等效将(a)图等效为(b)图，再画相量模型电路如(c)图。对(c)图，由阻抗串、并联关系求得 由分流公式，得 所以负载电阻RL上吸收的平均功率 例例6.2-3 图6.2-7(a)所示正弦稳态电路，已知L1=7H,L2=4H,M=2H，R=8,us(t)=20 cost V，求电流i2(t)。图 6.2-7 例6.2-3用图 AjjjUIsmm9.3629.36100202/258AIjjjImLm9.3619.36221222Atti)9.36cos()(2解解应用耦合电感T型去耦等效，将(a)图等效为(b)图。考虑是正弦稳态电路，画(b)图的相量模型电路如(c)图。在(c)图中，应用阻抗串、
20、并联等效关系，求得电流 应用阻抗并联分流关系求得电流 故得 6.3 含互感电路的相量法分析含互感电路的相量法分析 6.3.16.3.1含互感电路的方程法分析含互感电路的方程法分析对原电路(即不作去耦等效变换)一般用回路法比较方便。为了讨论问题简便，假定电路中只含一对互感，而且我们着眼于两相耦合电感所在的两个回路，对于不含互感的回路，列写方程的方法如前所述。如图 6.3-1所示，一般称与激励源相连的线圈为初级线圈，与负载相连的线圈为次级线圈。对图6.3-1电路，设出各回路电流参考方向，并认为各元件上的电压与电流参考方向关联，则由KVL得 0)(1222221111dtdiMdtdiLiRRudt
21、diMdtdiLiRLs(6.3-1)图6.3-1 两个回路的互感电路 0)()(22212111ILjRRIMjUIMjILjRLs如果激励是任意的时间函数，那么求解电流i1，i2就需要在时间域里解(6.3-1)式所给出的联立微分方程组。含互感的电路大多使用于正弦稳态情况。由(6.3-1)式可得相量代数方程为(6.3-2)0222121212111IZIZUIZIZs令Z11=R1+jL1，称为初级回路自阻抗；Z22=R2+RL+jL2，称为次级回路自阻抗；Z12=Z21=jM，称为初、次级回路间互阻抗。将Z11、Z22、Z12和Z21代入(6.3-2)式，则可写出包含一对互感线圈，具有初、
22、次级回路的电路的方程一般形式(6.3-3)解(6.3-3)式得 222211211222112112221222221122211222112222211211221210MZZUMjZZZZUZIZZIMZZUZZZZZUZZZZZZZUIsssss(6.3-3)(6.3-4)222211221)()(MLjRRLjRULjRRILsL2222112)(MLjRRLjRUMjILs对于图6.3-1所示的具体电路，将本电路的Z11、Z22代入(6.3-4)、(6.3-5)式，得(6.3-6)(6.3-7)有了I1、I2就容易求解出电路中的电压、功率等。这就是应用回路法分析含互感的原型电路的基本
23、过程。.6.3.26.3.2含互感电路的等效法分析含互感电路的等效法分析 等效法实质上是在方程法的基础上找出求解的某些规律，把它归纳总结成公式或定理，遇到类似问题灵活套用来求解电路。像串、并联等效，先求得总电压、总电流，然后再分压、分流求解电路的方法就是如此。下面介绍由方程法归纳总结出的初、次级等效电路。首先讨论分析初级等效电路。2222111ZMZUIs22221ZMZf1111fsZZUI将(6.3-4)式分子、分母同除Z22，得(6.3-8)令 代入(6.3-8)式，得(6.3-10)(6.3-9)图 6.3-2 初级等效电路 设次级回路自阻抗 222222jXRZ11222222222
24、2222222222222222222221fffjXRXRXMjXRRMjXRMZMZ2222222222122222222221XXRMXRXRMRff将Z22代入到(6.3-9)式，得 上式中(6.3-11)(6.3-12)从初级端看的输入阻抗 22221111111ZMZZZIUZfin2212122212ZIMjIIZZI 应当清楚，该等效电路必须在求得了初级电流 的前提下才可应用来求电流 ,特别应注意的是，等效源的极性、大小及相位与耦合电感的同名端、初,次级电流参考方向有关。1I2I(6.3-13)其次，再来讨论分析次级等效电路。由(6.3-5)式可知 对于图6.3-1所示的互感耦
25、合电路，Z21=jM，代入上式得次级电流(6.3-14)图6.3-3 次级等效电路如果直接对含互感的原电路应用戴维宁定理，亦可得到次级另一种等效电路。为了说明问题简便，同时也为便于比较次级等效电路的两种形式，我们仍用图6.3-1电路，并限定在正弦稳态情况来讨论。根据戴维宁定理分析电路的3个步骤，首先自cd断开次级电路，设出开路电压Uoc，如图6.3-4所示。由图可求得.10ocjIMU式中 1110j LRUIs(6.3-15)图6.3-4 求开路电压用图 是次级开路时的初级电流。然后再求等效内阻抗Z0。将图6.3-1中理想电压源Us短路，在断开端子c、d间外加电源U，如图6.3-5所示。这相
26、当于将原来的次级当做初级，原来的初级当做次级情况，参照式(6.3-13)得.22112221122220fZLjLjRMLjZMZZ(6.3-16)式中 11222fZMZ(6.3-17)称为初级回路向次级回路的反映阻抗，它与Zf1具有类似的性质。图6.3-5求等效内阻抗用图图6.3-6 次级等效电路 例例6.3-1 互感电路如图6.3-7(a)所示，使用在正弦稳态电路中，图中L1、L2和M分别为初级、次级的电感及互感。将互感电路的次级22短路，试证明该电路初级端11间的等效阻抗 211211)1(LLMkLkjZ其中 图6.3-7 例6.3-1用图 证明证明(一一)由图可知 222111,L
27、jZLjZ22222221LMjZMZf2121221111111LLMLjLMjLjZZZf1211)1(LkjZ反映阻抗 由(6.3-13)式得初级端11间的等效阻抗(6.3-18)考虑耦合系数 ,代入(6.3-18)式，得 21/LLMk 21222122221221211112)()/()(LLMLLLLMMLMLLLMMLMLMMLMLMMLZ1211)1(LkL 证明证明(二二)应用T型去耦等效将图6.3-7(a)等效为图6.3-7(b)，显然11端的等效电感 考虑 ，所以 21/LLMk 1211)1(LkjZ设角频率为，则得11端的等效阻抗 例例6.3-2 图6.3-8(a)所
28、示互感电路，已知R1=7.5,L1=30,=22.5,R2=60,L2=60,M=30,=150V。求电流 R2上消耗的功率P2。11CsU,21II图6.3-8 例6.3-2用图 解解 5.75.75.22305.7111111jjjCjLjRZ60602222jLjRZ5.75.7606030222221jjZMZfAjjZZUIfs015.75.75.75.70151111画初级等效电路如图6.3-8(b)所示。由(b)图得 AjjZIMjI45225.0606001302212WRIP5.760)225.0(22222根据(a)图所给同名端位置及所设电流参考方向，可画次级等效电路(二)
29、如图6.3-8(c)所示(注意(c)图中等效源为 ,不带负号，想想看，为什么?),由(c)图求得 1jIMR2上消耗功率 例例6.3-3 图6.3-9(a)所示电路，已知 =100V，=106 rad/s，L1=L2=1mH,C1=C2=1 000pF,R1=10,M=20H。负载电阻RL可任意改变，问RL等于多大时其上可获得最大功率，并求出此时的最大功率PL max及电容C2上的电压有效值UC2。sU图6.3-9 例6.3-3用图 解解 自22处断开RL,所以 AZUIZZZZZMZjjCjLjZCLRZsfff0110010)(40400)(4010)1020()10(0101000101
30、101101101000j1000j101jj11102222026261122212636222211111纯阻纯阻VICUWRIPjRZIMjICLLL25025.010100010115.240)25.0(9025.0404001102010126222222max660102次级等效电路(二)如图6.3-9(b)所示，图中Z22=Z22+RL=RL。根据共轭匹配条件可知RL=40 时其上可获得最大功率。此时 顺便说及一点实际知识，如果要选择元件装配本例题的电路，对于选择C2电容，除使电容量为1000pF外，还应能耐压在250V以上，否则有被击穿的可能，造成电路不能正常工作。6.4 理理
31、 想想 变变 压压 器器 6.4.1 理想变压器的三个理想条件理想变压器的三个理想条件 理想变压器多端元件可以看作为互感多端元件在满足下述3个理想条件极限演变而来的。条件1：耦合系数k=1,即全耦合。条件2：自感系数L1,L2无穷大且L1/L2等于常数。由(6.1-4)式并考虑条件1，可知 也为无穷大。此条件可简说为参数无穷大。21LLM 条件3：无损耗。这就意味着绕线圈的金属导线无任何电阻，或者说，绕线圈的金属导线材料的导电率。做芯的铁磁材料的导磁率。由以上3个条件，我们可以看出3个条件一个比一个苛刻，在工程实际中永远不可能满足。可以说，实际中使用的变压器都不是这样定义的理想变压器。但是在实
32、际制造变压器时，从选材到工艺都着眼于这3个条件作为“努力方向”。譬如说，选用良金属导线绕线圈，选用导磁率高的硅钢片并采用叠式结构做成芯，都是为尽可能地减小损耗。再如，采用高绝缘层的漆包线紧绕、密绕、双线绕，并采取对外的磁屏蔽措施，都是为使耦合系数尽可能接近1。又如，理想条件2要求参数无穷大固然难于做到，但在绕制实际铁芯变压器时也常常用足够的匝数(有的达几千匝)为使参数有相当大的数值。6.4.2理想变压器的主要性能理想变压器的主要性能为便于讨论，以图6.4-1(a)示意图来分析理想变压器的主要性能。图中N1、N2既代表初、次级线圈，又表示它们各自的匝数。由(a)图可判定a、c端是同名端。设i1、
33、i2分别从同名端流入(属磁通相助情况)，并设初、次级电压u1、u2与各自线圈上i1、i2参考方向关联。若11、22分别为穿过线圈N1和线圈N2的自磁通；21为第一个线圈N1中电流i1在第二个线圈N2中激励的互磁通；12为第二个线圈N2中电流i2在第一个线圈N1中激励的互磁通。由图6.4-1(a)可以看出与线圈N1,N2交链的磁链1,2分别为)()(212222122222121111211111NNNNNN(6.4-1a)(6.4-1b)图 6.4-1 变压器示意图及其模型 11222122221112112211NN考虑全耦合(k=1)的理想条件，所以有12=22,21=11，则(6.4-2
34、a)(6.4-2b)将(6.4-2)式代入(6.4-1)式，得(6.4-3a)(6.4-3b)1.变压关系变压关系 dtdNdtdudtdNdtdu222111nNNuu2121(6.4-4)所以有 若u1、u2参考方向的“+”极性端都分别设在同名端，则u1与u2之比等于N1与N2之比。若u1,u2参考方向的“+”极性端都分别设在同名端，则u1与u2之比等于N1与N2之比。nNNuu2121(6.4-5)在进行变压关系计算时是选用(6.4-4)式或是选用(6.4-5)式决定于两电压参考方向的极性与同名端的位置，与两线圈中电流参考方向如何假设无关。图 6.4-2 变压关系带负号情况的模型 2.变
35、流关系变流关系考虑理想变压器是L1、L2无穷大且L1/L2为常数，k=1的无损耗互感线圈，这里我们从互感线圈的电压、电流关系着手，代入理想条件，即得理想变压器的变流关系式。由图6.4-3互感线圈模型写得 dtdiMdtdiLu2111(6.4-6)设电流初始值为零并对(6.4-6)式两端作0t的积分，得)()(1)(210111tiLMduLtit(6.4-7)参见图6.4-1(a)，联系M、L1定义，并考虑k=1条件，所以 1211111112111112121NNiNiNiNiNLM(6.4-8)将(6.4-8)式代入(6.4-7)式并考虑L1=,于是得)()(2121tiNNti所以有
36、nNNtiti1)()(1221(6.4-9)图 6.4-3变流关系带负号情况的模型 nNNtiti1)()(1221在进行变流关系计算时是选用(6.4-9)式还是选用(6.4-10)式取决于两电流参考方向的流向与同名端的位置，与两线圈上电压参考方向如何假设无关。(6.4-10)若假设i1、i2参考方向中的一个是从同名端流入，一个是从同名端流出，如图6.4-4所示，则这种情况的i1与i2之比为 图 6.4-4变流关系不带负号时的模型 0)()(1)()()()()()()(11112211tnituntitutitutitutp 理想变压器不消耗能量，也不贮存能量，所以它是不耗能、不贮能的无记
37、忆多端电路元件。由理想变压器的变压关系式(6.4-4)、变流关系式(6.4-9)，并考虑(1.24)式，得理想变压器从初级端口与次级端口吸收的功率和为 3.3.变换阻抗关系变换阻抗关系理想变压器在正弦稳态电路里还表现出有变换阻抗的特性。如图6.4-5所示的理想变压器，次级接负载阻抗ZL，由(6.4-4)、(6.4-9)式代数关系式可知，在正弦稳态电路里，理想变压器的变压、变流关系的相量形式也是成立的。对图6.45所示电路，由设出的电压、电流参考方向及同名端位置可得 21212211INNIUNNU(6.4-12)(6.4-13)图6.4-5 推导理想变压器变换阻抗关系用图 2222212122
38、2111IUNNINNUNNIUZinLLinZnZNNZ2221由初级端看，输入阻抗 因负载ZL上电压、电流参考方向非关联，,代入上式即得 22/IUZL(6.4-14)理想变压器次级短路相当于初级亦短路；次级开路相当于初级亦开路。(1)理想变压器的3个理想条件：全耦合、参数无穷大、无损耗。(2)理想变压器的3个主要性能：变压、变流、变阻抗。(3)理想变压器的变压、变流关系适用于一切变动电压、电流情况，即便是直流电压、电流，理想变压器也存在上述变换关系。(4)理想变压器在任意时刻吸收的功率为零，这说明它是不耗能、不贮能、只起能量传输作用的电路元件。例例6.4-1 图6.4-6(a)所示正弦稳
39、态电路，已知 (1)若变比n=2,求电流 以及RL上消耗的平均功率PL;(2)若匝比n可调整，问n=?时可使RL上获最大功率，并求出该最大功率P L max。解解(1)Vcos82)(ttus1I1111111111111jjCjLjRYZLabab从变压器初级看去的输入阻抗 41222abinZnZ图6.4-6 例6.4-1用图 4ininZRARRUIins04.04160811WRIPinL64.044.0221即 初级等效电路相量模型如图6.4-6(b)所示。所以 因次级回路只有RL上消耗平均功率，所以初级等效回路中Rin上消耗的功率就是RL上消耗的功率 (2)改变变比n以满足最大输出
40、功率条件 LLinRRnR241161LRRnWRUPsL116484212max所以 即当变比n=4时负载RL上可获得最大功率，此时 例例6.4-2 图6.4-7(a)所示电路，理想变压器匝比为2，开关S闭合前电容上无贮能，t=0时开关S闭合，求t0+时的电压u2(t)。图 6.4-7 例6.4-2用图 412222RnRinsVuuCC1,10)(,0)0(Vetutc1 10)(解解这个问题并不涉及正弦稳态电路，但因负载是纯电阻，所以可以把负载电阻折算到初级，即 初级等效电路如图6.4-7(b)所示，它是一阶RC动态电路，利用三要素法求得 所以 AeedttduCtittC5.21025
41、.0)()(1Ae55.22)()(12ttetniti05)5(1)()(222tVeetiRtutt由变压器变流特性得(a)图中 再应用欧姆定律，得 例例6.4-3图6.4-8电路，求ab端等效电阻Rab。解解设各电压电流参考方向如图中所标。由图可知 uuiuuuu412,21,2321由欧姆定理及KCL，得 uuuiiiuuuuui1216141613213432214uuuiiiuuii2452416124112121211421由变流关系及KCL,得 8.4524245uuiuRab所以 图 6.4-8 例6.4-3用图 6.5 实际变压器模型实际变压器模型 6.5.1空芯变压器空芯
42、变压器 1.1.全耦合空芯变压器全耦合空芯变压器在对含有空芯变压器实际电路问题的分析中，为了简化，常假定空芯变压器的损耗可忽略，线圈是密绕的，认为耦合系数k1，只是参数是有限值的，这种互感线圈常称为全耦合空芯变压器。它的互感线圈形式的模型如图6.5-1所示。若与理想变压器3个理想条件对照，全耦合空芯变压器只是不满足参数无限大这个条件，其它两个理想条件认为都是满足的。由图6.5-1中所标示的同名端位置及所设出的电压、电流参考方向并考虑全耦合时条件，写端口电压、电流关系为 21LLM dtdiLLdtdiLdtdiMdtdiLudtdiLLdtdiLdtdiMdtdiLu1212212222211
43、12111(6.5-1)(6.5-2)改写(6.5-1)式得 dtdiLLdtdiLLLu12122211(6.5-3)将(6.5-2)式代入(6.5-3)式得 2211uLLu 所以 2121LLuu(6.5-4)因耦合系数k=1，所以有12=22，再联系互感、自感系数定义，M=N112/i2=N1 22/i2,L2=N2 22/i2,所以有 21212122222221221NNuuNNiNiNLMLL(6.5-5)将(6.5-5)式代入(6.5-4)式，得(6.5-6)图6.5-1互感线圈形式模型)()(1)(2120111tiLLduLtit设电流的初始值为零，对(6.5-1)式两端作
44、从0t之积分，得 将(6.5-5)式代入上式得)()()()()()(1)(12122120111tititiNNtitiNNduLtit(6.5-7)()()(1)(2121011tiNNtiduLtit式中(6.58)(6.5-9)图6.5-2 全耦合空芯变压器模型 2.非全耦合空芯变压器非全耦合空芯变压器一类空芯变压器两线圈间的耦合并非很紧密，这种情况就不能再按k1去作分析，否则所建立的模型与实际所表现出的性能差别太大，就失去了分析的意义。非全耦合空芯变压器仍设定为没有损耗。但是，全耦合、参数无限大这两个理想条件它都不满足，从与理想变压器的3个理想条件对照来看，这类空芯变压器的非理想程度
45、比全耦合空芯变压器(它只有一个理想条件不满足)严重。为了讨论问题叙述方便，我们画出结构示意图，如图6.5-3所示。图中s1、s2分别为初、次级的漏磁通。s1的含义为线圈1中的电流i1所激发磁通11中的未再交链第二个线圈的那部分磁通(漏掉了)。s2的含义与s1类似。根据自磁通、互磁通的概念，显然有 2122212111ss(6.5-10a)(6.5-10b)令初、次级漏磁链为 222111ssssNN(6.5-11a)(6.5-11b)图6.5-3 非全耦合空芯变压器示意图 222111iLiLssss类似自感系数定义，我们这里定义漏感系数(6.5-12a)(6.5-12b)显然，漏感系数Ls1
46、、Ls2的单位也是亨利(H)。1121111111sNNN由图6.5-3及(6.5-10)式可知自磁链 2221111112111111sMsMsLLLLLiNiNiL自感系数 同理(6.5-13)(6.5-14)(6.5-13)式中的LM1、(6.5-14)式中的LM2称为等效全耦合电感。即是说本来线圈L1与L2之间耦合不是全耦合，通过上述推导，我们把交链两线圈磁通的部分抽出来作为全耦合，所对应的电感系数，称等效全耦合电感系数。引入漏感与全耦合等效电感后，非全耦合空芯变压器模型可用全耦合空芯变压器模型在其初、次级上分别串联漏感Ls1、Ls2构成。图图 6.5-4 非全耦合空芯变压器模型非全耦
47、合空芯变压器模型 6.5.26.5.2铁芯变压器铁芯变压器在电力供电系统中，在各种电气设备电源部分的电路中以及在其他一些较低频率的电子电路中使用的变压器大多是铁芯变压器。这类变压器中的铁芯提供了良好的磁通通路，有聚集磁力线的作用，这使漏磁通少，从而使漏感小、耦合度k值大(比较接近1)，并且在足够匝数的条件下，使L1、L2、M可达非常大的数值。应该说许多实际的铁芯变压器虽然不能严格满足理想变压器的3个理想条件，但从耦合度、参数值、损耗3个方面综合考虑，它们接近理想条件的程度还是较好的。所以在一些低频电子电路工程概算中，把铁芯变压器的变压、变流、变换阻抗关系近似看作为理想变压器的变压、变流、变换阻
48、抗关系。但在较高频率的电子电路中，有时需要研究实际铁芯变压器的频率特性及功率损耗，需用铁芯变压器较精确一些的电路模型。这里给出实际铁芯变压器一般模型，即认为变压器是非全耦合的，参数也非无穷大，并且也是有损耗的，也就是3个理想条件均不满足的实际铁芯变压器模型。图6.5-5 实际铁芯变压器模型 非全耦合空芯变压器已是两个理想条件不满足的非理想变压器，它仅满足无损耗这一个理想条件。若在非全耦合空芯变压器模型的基础上在初、次级上分别再串联体现损耗的初、次级绕线电阻R1、R2(仅考虑绕线电阻损耗)就得到了3个理想条件均不满足的实际铁芯变压器模型，如图6.5-5所示，(a)图虚线框部分为3个理想条件均不满
49、足的非理想变压器；(b)图中虚线框部分为非全耦合空芯变压器(它不满足参数无限大、全耦合两个理想条件)；(c)图中虚线框部分为全耦合空芯变压器(它不满足参数无限大一个理想条件)；(d)图中虚线框部分为理想变压器模型。例6.5-1 图6.5-6(a)所示电路包含有全耦合空芯变压器，已知=160V，电源角频率=2rad/s。(1)如ab端开路，求 及 ;(2)如将ab端短路，求 及 。解解将(a)图中全耦合空芯变压器用理想变压器模型并联激磁电感L1表示，如(b)图所示。(b)图中，匝比 sU1IabU1IabI21421LLn图6.5-6 例6.5-1用图(1)ab开路，虚线框理想变压器初级亦开路，
50、所以 VUnUVjILjUAjLjRUIabs452445282114528452424524280161111111由理想变压器变压关系，得 AIIARUIabs040222028016111 （)ab短路，理想变压器初级亦短路。初级等效电路如(c)图所示，所以 由理想变压器变流关系，得次级短路电流 例例6.5-2 图6.5-7(a)所示正弦稳态电路中，已知is(t)=2 costA，求电压u1(t)，电流i2(t)。解解本题就按含互感电路的问题求解。次级回路自阻抗 24522212j2222jLRZ次级回路对初级回路的反映阻抗 114524522212222221jZMZf图6.5-7 例
