1、第五章第五章 一元一次方程一元一次方程5.1 认识方程认识方程北师大版北师大版七年级上册七年级上册学习目标学习目标 素养目标素养目标1.通过对多种实际问题中数量关系的分析,感受方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，增强模型观念.2.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程，提高应用意识.3.知道一元一次方程的概念,理解方程解的意义，初步经历解一元一次方程的过程.学习重点：学习重点：能针对具体问题列出方程，理解方程解的意义.学习难点：学习难点：能针对具体问题列出方程.我国古代数学著作我国古代数学著作九章算术九章算术中，有中，有一个著名的一个著名的“鸡兔同笼鸡兔同笼”问问题：笼子题：笼
2、子里有若干只鸡和里有若干只鸡和兔兔.从上面数，有从上面数，有35个头，从下面数，有个头，从下面数，有94只只脚脚.鸡鸡和兔各有几只和兔各有几只?你能用小学学过的算术方法解决这个问题吗你能用小学学过的算术方法解决这个问题吗?解法一解法一 鸡：鸡：(354-94)2=23（只）（只）兔兔：35-23=12（只）（只）.解法二解法二 兔：兔：(94-352)2=12（只）（只）鸡：鸡：35-12=23（只）（只）创设情境，导入新课创设情境，导入新课 问题问题1：在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，学生票每张张门票，学生票每张10元，成人票每张元
3、，成人票每张15元，师生总票款为元，师生总票款为475元元.你你知道学生和老师的人数分知道学生和老师的人数分别是多少吗别是多少吗?购买学生票和成人票的票款分别是多少购买学生票和成人票的票款分别是多少?(1)这个问题涉及哪些量这个问题涉及哪些量?它们之间有怎样的等量关系它们之间有怎样的等量关系?(2)如果设学生人数为如果设学生人数为x，那么师生总票款可以用含，那么师生总票款可以用含x的代数式的代数式表示为表示为_.(3)你能得到怎样的表示量相等的式子你能得到怎样的表示量相等的式子?探究点探究点1：根据问题列方程：根据问题列方程合作交流，探究新知合作交流，探究新知问题问题1：在班级秋游活动中，全体
4、学生和老师共购买了：在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张张门票，学门票，学生票生票每张每张10元，成人票每张元，成人票每张15元，师生总票款为元，师生总票款为475元元.你知道学生你知道学生和老和老师的人数分别是多少吗师的人数分别是多少吗?购买学生票和成人票的票款分别是多少购买学生票和成人票的票款分别是多少?(1)这个问题涉及哪些量这个问题涉及哪些量?它们之间有怎样的等量关系它们之间有怎样的等量关系?涉及涉及的量：学生的量：学生人数、老师人数、学生票款、成人票款人数、老师人数、学生票款、成人票款.在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门
5、票，学生票每张门票，学生票每张张10元，成人票每张元，成人票每张15元，师生总票款为元，师生总票款为475元。你知道学生和老师的人数元。你知道学生和老师的人数分别是多少吗分别是多少吗?购买学生票和成人票的票款分别是多少购买学生票和成人票的票款分别是多少?(2)如果设学生人数为如果设学生人数为x，那么师生总票款可以用含，那么师生总票款可以用含x的代数式的代数式表示为表示为_.(3)你能得到怎样的表示量相等的式子你能得到怎样的表示量相等的式子?（2）10 x+15(45-x)（3）10 x+15(45-x)=475 问题问题2某长方形操场的面积是某长方形操场的面积是5850 m2，长比宽多，长比宽
6、多25 m.(1)这个情境涉及哪些量这个情境涉及哪些量?它们之间有怎样的等量关系它们之间有怎样的等量关系?(2)如果设这个操场的宽为如果设这个操场的宽为x m，那么操场的面积可以用含，那么操场的面积可以用含x的代数的代数式式表示为表示为_.(3)你能得到怎样的表示量相等的式子你能得到怎样的表示量相等的式子?问题问题2：某长方形操场的面积是：某长方形操场的面积是5850 m2，长比宽多，长比宽多25 m.(1)这个情境涉及哪些量这个情境涉及哪些量?它们之间有怎样的等量它们之间有怎样的等量关系关系?涉及的量涉及的量:长方形操场的长、宽、面积长方形操场的长、宽、面积问题问题2：某长方形操场的面积是：
7、某长方形操场的面积是5850 m2，长比宽多，长比宽多25 m.(2)如果设这个操场的宽为如果设这个操场的宽为x m，那么操场的面积可以用含，那么操场的面积可以用含x的代数的代数式式表示为表示为_.(3)你能得到怎样的表示量相等的式子你能得到怎样的表示量相等的式子?(2)x(x+25)(3)x(x+25)=5850问题问题3：甲、乙两地相距：甲、乙两地相距22 km，张叔叔从甲地出发到，张叔叔从甲地出发到乙地，乙地，每小时每小时比原计划多走比原计划多走1 km，因此提前，因此提前12 min到达到达乙地乙地.(1)这个情境涉及哪些量这个情境涉及哪些量?它们之间有怎样的等量关系它们之间有怎样的等
8、量关系?(2)如果设张叔叔原计划每小时走如果设张叔叔原计划每小时走x km，那么他比原计划提前，那么他比原计划提前的时间可以用含的时间可以用含x的代数式的代数式表示为表示为_.(3)你能得到怎样的表示量相等的式子你能得到怎样的表示量相等的式子?问题问题3：甲、乙两地相距：甲、乙两地相距22 km，张叔叔从甲地出发，张叔叔从甲地出发到乙到乙 地，地，每小时每小时比原计划多走比原计划多走1 km，因此提前，因此提前12 min到达到达乙地乙地.(1)这个情境涉及哪些量这个情境涉及哪些量?它们之间有怎样的等量它们之间有怎样的等量关系关系?涉及的量涉及的量:张叔叔原计划每小时走的路程、实际每小时走的路
9、张叔叔原计划每小时走的路程、实际每小时走的路程、原计划所用时间、实际所用时间程、原计划所用时间、实际所用时间问题问题3：甲、乙两地相距：甲、乙两地相距22 km，张叔叔从甲地出发到，张叔叔从甲地出发到乙地，乙地，每小时每小时比原计划多走比原计划多走1 km，因此提前，因此提前12 min到达到达乙地乙地.(2)如果设张叔叔原计划每小时走如果设张叔叔原计划每小时走x km，那么他比原计划提前，那么他比原计划提前的时间可以用含的时间可以用含x的代数式的代数式表示为表示为_.22221xx 222212160 xx(3)你能得到怎样的表示量相等的式子你能得到怎样的表示量相等的式子?注意注意：（1）方
10、程中包含两方程中包含两个要求：个要求：必须必须是是等式等式；必须必须含有未知数含有未知数.两者缺一不可两者缺一不可.（2）方程一定）方程一定是等式，但是等式，但等式不一定是方程等式不一定是方程.（3）方程中的未知数可以用）方程中的未知数可以用x 表示，也表示，也可以用其他字母表示可以用其他字母表示.（4）方程中可含）方程中可含多个多个未知数未知数.等式等式10 x+15(45-x)=475，x(x+25)=5850，都是用不同的代数式表示相等的量，像这样都是用不同的代数式表示相等的量，像这样含有未知数的表含有未知数的表示量相等的等式称为示量相等的等式称为方程方程222212=160 xx 1.
11、下列式子不是方程的是下列式子不是方程的是()A3x=4B.5x+4y=0C.2x+5D2(x-4)=3对应训练对应训练C 不是等式不是等式xx 1197解：设解：设“它它”为为 x，得，得 【选自教材选自教材P137 P137 随堂练习随堂练习 第第1 1题题】（2）某球队参加足球联赛，规定每队胜一场得）某球队参加足球联赛，规定每队胜一场得3分，平一场得分，平一场得1分，分，负负一场得一场得0分分.球队球队已比赛了已比赛了10场，并保持不败，一共得了场，并保持不败，一共得了22分分.该该球队已胜了多少场球队已胜了多少场?平了多少场平了多少场?解解:设该球队已胜了设该球队已胜了x场，则平了场，则
12、平了(10-x)场场3x+(10-x)=22（3）我国古代数学著作）我国古代数学著作九章算术九章算术中，有中，有一个著名一个著名的的“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题：笼子问题：笼子里有若干只鸡和里有若干只鸡和兔兔.从上面从上面数，有数，有35个头，从下面数，有个头，从下面数，有94只只脚脚.鸡鸡和兔各有几只和兔各有几只?解：设解：设鸡有鸡有x只，则兔有只，则兔有(35-x)只只2x+4(35-x)=94或或 设兔有设兔有x只，则鸡有只，则鸡有(35-x)只只4x+2(35-x)=94探究探究2：一元一次方程的概念与方程的解：一元一次方程的概念与方程的解一元一次方程的概念一元一次方程的概念问题问题1 观
13、察方程观察方程10 x+15(45-x)=475，2x+3=7x+4，它们，它们有什么有什么共同特点共同特点?在一个在一个方程中，只方程中，只含有含有一一个未知数，且个未知数，且方程中的代数式方程中的代数式都是都是整式整式，未知数，未知数的的次数都是次数都是1，这样，这样的方程的方程叫作叫作一元一次方程一元一次方程.未知数的个数未知数的个数 未知数的次数未知数的次数 等式左、右两边的式子等式左、右两边的式子 11整式整式方程的解与解方程方程的解与解方程问题问题2你能求出你能求出满足方程满足方程 10 x+15(45-x)=475 的未知数的未知数 x 的值吗的值吗?(1)将左边的式子将左边的式
14、子化简，你化简，你能得到什么能得到什么?10 x+15(45-x)=675-5x(2)回顾前面代数式求值的回顾前面代数式求值的有关知识，当有关知识，当x 为下面何为下面何值时，值时，675-5x与与475相等相等?x20304050675-5x当当x=40时，时，675-5x=475（3）你还有无）你还有无其他方法？其他方法？根据有理数根据有理数的运算，的运算，x=(675-475)5=40575525475425使方程左、右两边的值相等的未知数的值，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作叫作方程方程的解的解.求方程的解的过程求方程的解的过程称为称为解方程解方程.对应训练对应训练1下列式子
15、中是一元一次方程的有下列式子中是一元一次方程的有_.(填序号填序号)2.x=2是下列方程的解吗？是下列方程的解吗？（1）3x+(10-x)=20 （2）2x2+6=7x解：解：（1）把）把 x=2 代入原方程得，代入原方程得，左边左边=32（102）=14，右边右边=20，左边左边 右边，右边，所以所以 x=2 不是不是方程方程 3x（10 x）=20 的解的解.（2）把）把 x=2 代入原方程得，代入原方程得，左边左边=222 6=14，右边右边=72=14，左边左边=右边，右边，所以所以 x=2 是是方程方程 2x2 6=7x 的解的解.【选自教材选自教材P137 P137 随堂练习随堂练
16、习 第第2 2题题】（1）若）若xk-1+21=0是关于是关于x的一元一次方程，则的一元一次方程，则k=_(2)若若x|k|+21=0是关于是关于x的一元一次方程，则的一元一次方程，则k=_因为原方程因为原方程是一元一次方程，所以是一元一次方程，所以k-1=1，所以，所以k=2.因为原方程因为原方程是一元一次方程，所以是一元一次方程，所以|k|=1，所以，所以k=1或或-1.21或或-1知识升华，巩固提升知识升华，巩固提升(3)若关于若关于x的方程的方程(k-1)x|k|+21=0是一元一次方程，则是一元一次方程，则k=_因为原方程因为原方程是一元一次方程，所以是一元一次方程，所以|k|=1，
17、且，且k-10，所以，所以k=-1.-1总结：总结：已知方程已知方程是一元一次方程，求是一元一次方程，求方程中除方程中除未知数外的字母未知数外的字母的值，需的值，需注意注意两点：两点：(1)未知数的未知数的次数为次数为1；(2)未知数的未知数的系数不为系数不为0.针对练习针对练习(1)若若3xn+4=5是关于是关于x的一元一次方程，则的一元一次方程，则n=_(2)若关于若关于x的方程的方程(a-2)x2+ax+1=0是一元一次方程，则是一元一次方程，则a=_(3)若若(m-3)x|m|-2=-5是关于是关于x的一元一次方程，则的一元一次方程，则m=_21-3拓展训练拓展训练1.根据根据下列问题
18、，设下列问题，设未知数并列出方程未知数并列出方程:(1)用一根长用一根长24cm的铁丝围成一的铁丝围成一个正方形，正方形个正方形，正方形的边长是多少的边长是多少?u 根据实际问题列方程根据实际问题列方程解解:设正方形的边长设正方形的边长为为x cm.等量关系：正方形等量关系：正方形边长边长4周长周长.列方程列方程 4x=24随堂训练，课堂总结随堂训练，课堂总结(2)一台计算机已一台计算机已使用使用1700h，预计，预计每月再每月再使用使用150h，多少个，多少个月后月后这台计算机的使用时间达到规定的检修时间这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450h?解解:设设x 个月后这台计算机的使用时
19、间达到规定的检修时间个月后这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450h等量关系等量关系:已用时间再用时间检修时间已用时间再用时间检修时间.列方程列方程:1700+150 x=2450u 根据方程的解求代数式的值根据方程的解求代数式的值2.若若x=3是关于是关于x的方程的方程ax-2b=5的解，求的解，求6a-4b+3的值的值将将x=3代入代入ax-2b=5，得得3a-2b=5所以所以6a-4b+3=2(3a-2b)+3=25+3=13u 方程的实际应用方程的实际应用3.植树节甲班植树的株数比乙班少植树节甲班植树的株数比乙班少30%，甲，甲班植树的株树比乙班班植树的株树比乙班的一半多的一半多
20、10株，设株，设乙班植树乙班植树x株株(1)列两个不同列两个不同的含的含 x 的代数式表示甲班植树的株数的代数式表示甲班植树的株数.(2)根据题意列出以根据题意列出以x为未知数的方程为未知数的方程.(3)检验甲班、乙班植树的株数是不是分别为检验甲班、乙班植树的株数是不是分别为35株和株和50株株.(3)当当x=50时，方程左右两边均等于时，方程左右两边均等于35.即甲即甲班、乙班植树的株数分别为班、乙班植树的株数分别为35株和株和50株株.随堂训练随堂训练(1)解解:设这个数为设这个数为x(2)解解:设大约设大约x周后树苗长到周后树苗长到1m0.4+0.05x=1【选自教材选自教材P138 P
21、138 习题习题5.1 5.1 第第1 1题题】(3)沿一张正方形铁皮的边截去一个宽沿一张正方形铁皮的边截去一个宽2cm的长方形铁皮条，余下的长的长方形铁皮条，余下的长方形铁皮面积是方形铁皮面积是80cm2，那么原来正方形铁皮的边长是多少，那么原来正方形铁皮的边长是多少?(4)某商店规定某商店规定:购买超过购买超过15000元的物品可以采用分期付款的方式，顾客可以元的物品可以采用分期付款的方式，顾客可以先付先付3000元，以后每月付元，以后每月付1500元元，直至付清，直至付清.王叔叔王叔叔想用分期付款的方式购买想用分期付款的方式购买价值价值19500元的电器，他需要用多长时间才能付清尾款元的
22、电器，他需要用多长时间才能付清尾款?(3)解解:设原来正方形铁皮设原来正方形铁皮的边长的边长为为x cmx2-2x=80(4)解解:设他需要设他需要x月才能付清尾款月才能付清尾款3000+1500 x=195002.x=-2是下列方程是下列方程的解吗？的解吗？(1)2x+3=5x(2)(x-1)2=9解：解：(1)把把x=-2代入原方程得代入原方程得左边左边=2(-2)+3=-1，右边右边=5(-2)=-10，左边左边 右边，右边，所以所以x=-2不是方程不是方程2x+3=5x的解的解.解：解：(2)把把x=-2代入原方程得代入原方程得左边左边=(-2-1)2=9，右边右边=9，左边左边=右边
23、，右边，所以所以x=-2是方程是方程(x-1)2=9的解的解.【选自教材选自教材P138 P138 习题习题5.1 5.1 第第2 2题题】3.请用自己的年龄编写一道数学题，并列请用自己的年龄编写一道数学题，并列出方程出方程.例：今年我例：今年我12岁，多少年后我岁，多少年后我40岁？岁？解：设解：设x年后我年后我40岁岁12+x=40【选自教材选自教材P138 P138 习题习题5.1 5.1 第第3 3题题】4为营造良好的为营造良好的社区环境，七社区环境，七(1)班同学对学校周边所有社区开展班同学对学校周边所有社区开展“社区垃圾分类知识宣讲社区垃圾分类知识宣讲”综合综合实践活动，采取实践活
24、动，采取分组进社区宣讲的方分组进社区宣讲的方式，每式，每组进入一组进入一个社区个社区.若若5名同学为一组，则剩余名同学为一组，则剩余7名同学；若名同学；若7名同学为名同学为一组，则缺少一组，则缺少9名同学名同学.(1)如果设学校周边有如果设学校周边有x个社区，如何用含个社区，如何用含x的代数式表示七的代数式表示七(1)班的人数班的人数?(2)如果设七如果设七(1)班有班有y名同学，如何用含名同学，如何用含y的代数式表示社区的数量的代数式表示社区的数量?(3)由由(1)(2)，你能得到哪些方程，你能得到哪些方程?解：（解：（1）5x+7或或7x-9（2）7957yy或或（3）得到）得到5x+7=7x-9和和 两个方程两个方程【选自教材选自教材P138 P138 习题习题5.1 5.1 第第4 4题题】课堂小结课堂小结实际问题实际问题数量关系数量关系列等式列等式方程方程(一元一次方程一元一次方程)的的概念概念方程的解及解方程方程的解及解方程1.教材教材P138习题习题5.1；2.创优作业创优作业主体本部分相应主体本部分相应课时训练课时训练.课后作业课后作业
