1、微专题微专题微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题类型一线段问题类型一线段问题1.(2023重庆重庆A卷节选卷节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx2过点过点(1，3)，且交，且交x轴于点轴于点A(1，0)，B两点，交两点，交y轴于点轴于点C.(1)求抛物线的表达式；求抛物线的表达式；第第1题图题图解：解：(1)将点将点(1，3)，(1，0)代入抛物线代入抛物线yax2bx2，得得 解得解得该抛物线的表达式为该抛物线的表达式为y x2 x2；2320ab,ab,1232a,b,1232微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题(2)点点P是直线是直线
2、BC上方抛物线上的一动点，过点上方抛物线上的一动点，过点P作作PDBC于点于点D，过点，过点P作作y轴的平行线交轴的平行线交直线直线BC于点于点E，求，求PDE周长的最大值及此时点周长的最大值及此时点P的坐标的坐标第第1题图题图(2)当当x0时，时，y2，C(0，2).当当y0时，时，x1或或x4，B(4，0)，OC2，OB4，BC2 .直线直线BC过点过点B(4，0)，C(0，2)，5微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题直线直线BC的函数表达式为的函数表达式为y x2.PDBC，PEy轴，轴，PDEBOC90，PEDBCO，PDEBOC，DE PE，PD PE.第第1题图题图12DEPE
3、PDOCBCBO 242 5DEPEPD 552 55微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题设设P(m，m2 m2)，则则E(m，m2)(0m4).PE m2 m2(m2)(m2)22.0，当当m2时，时，PE有最大值，最大值为有最大值，最大值为2，PDE周长的最大值为周长的最大值为DEPDPE PE PEPE 2.此时点此时点P的坐标为的坐标为(2，3).第第1题图题图1232121212123212552 556 55解题关键点根据根据PDBC，PEy轴推导出轴推导出PDEBOC，得出得出DE，PE，PD之间的关系是解题的关键之间的关系是解题的关键微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题
4、第第2题图题图2.(2023济宁节选济宁节选)如图，直线如图，直线yx4交交x轴于点轴于点B，交，交y轴于点轴于点C，对称，对称轴为轴为x 的抛物线经过的抛物线经过B，C两点，交两点，交x轴负半轴于点轴负半轴于点A.P为抛物线上一为抛物线上一动点，点动点，点P的横坐标为的横坐标为m，过点，过点P作作x轴的平行线交抛物线于另一点轴的平行线交抛物线于另一点M，作，作x轴的垂线轴的垂线PN，垂足为，垂足为N，直线，直线MN交交y轴于点轴于点D.(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；32解：解：(1)在直线在直线yx4中，当中，当x0时，时，y4，当，当y0时，时，x4，B(4，0)，C(0，4)
5、.由题可设抛物线的解析式为由题可设抛物线的解析式为ya(x )2k(a0)，32微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题把把B(4，0)，C(0，4)的坐标代入可得的坐标代入可得解得解得抛物线的解析式为抛物线的解析式为y(x )2 x23x4；第第2题图题图223(4)023(0)42ak,ak,1254a,k,32254微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题(2)若若m ，设直线，设直线MN交直线交直线BC于点于点E，是否存在这样的，是否存在这样的m值，使值，使MN2ME？若存在，求出此时？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由32第第2题图题图(2)存在，
6、理由如下：存在，理由如下：点点A是抛物线是抛物线yx23x4与与x轴的另一个交点，轴的另一个交点，点点A(1，0).当当1m 时，点时，点P在在x轴的上方，轴的上方，MN2ME，点点E为线段为线段MN的中点，的中点，点点E的横坐标为的横坐标为xE ，323322mm 微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题纵坐标纵坐标yE ，点点E的坐标为的坐标为(，).又又点点E在直线在直线BC：yx4上，代入得上，代入得m23m10，解得解得m1 (舍去舍去)，m2 .当当m1时，时，P点即点即A点，此时点点，此时点E与点与点M重合，重合，不合题意不合题意当当m1时，时，点点P在在x轴下方，点轴下方，点E
7、在射线在射线NM上上设线段设线段MN的中点是点的中点是点F(，).23422MNyymm 352 第第2题图题图322342mm 352 322342mm 微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题第第2题图题图MN2ME，M为为EF的中点，的中点，点点M的横坐标为的横坐标为xm3m .纵坐标为纵坐标为ymm23m4 .点点E的坐标为的坐标为(2m，).又又点点E在在yx4上，上，代入得代入得 2m ，即即3m25m130，3222EEFxxx 234222EEFmmyyy 92239122mm 239122mm 12微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题解得解得m1 (舍去舍去)，m2 .综
8、上，存在综上，存在m使使MN2ME，m 或或m .第第2题图题图51816 352 51816 51816 解题关键点m 需分三种情况讨论：需分三种情况讨论：1m ，m 1，m1.3232微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题类型二面积问题类型二面积问题3.(2023安徽安徽)在平面直角坐标系中，点在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线是坐标原点，抛物线yax2bx(a0)经过点经过点A(3，3)，对称轴为直线，对称轴为直线x2.(1)求求a，b的值；的值；解：解：(1)由题意得由题意得 解得解得 ；14ab 22933b,aab,微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题(2)已知点已知
9、点B，C在抛物线上，点在抛物线上，点B的横坐标为的横坐标为t，点，点C的横坐标为的横坐标为t1.过点过点B作作x轴的垂线交直线轴的垂线交直线OA于点于点D，过点，过点C作作x轴的垂线交直线轴的垂线交直线OA于点于点E.()当当0t2时，求时，求OBD与与ACE的面积之和；的面积之和；(2)(i)如解图如解图，延长，延长BD与与x轴交于点轴交于点M，延长，延长CE与与x轴交于点轴交于点N，过点，过点A作作AFCE于点于点F，由由(1)知抛物线的解析式为知抛物线的解析式为yx24x，由题意知直，由题意知直线线OA的解析式为的解析式为yx，B(t，t24t)，C(t1，(t1)24(t1)，D(t，
10、t)，E(t1，t1)，第第3题题解解图图微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题OMt，BDt23t，CE(t1)23(t1)，AFt2，0t2，1t13，SOBDSACE OMBD CEAF t(t23t)(t1)23(t1)(t2)2.第第3题解题解图图12121212解题关键点用含用含t的代数式表示的代数式表示OBD和和ACE的面积再求解；的面积再求解；微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题()在抛物线对称轴右侧，是否存在点在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以，使得以B，C，D，E为顶点的为顶点的四边形四边形的面积为的面积为？若存在，请求出点？若存在，请求出点B的横坐标的横坐标t
11、的值；若不存在，请的值；若不存在，请说明理由说明理由32(ii)存在如解图存在如解图，当点，当点B在点在点D上方，即上方，即2t3时，如解图时，如解图，过点，过点D作作DQEC于点于点Q，此时此时S四边形四边形DBCE (BDEC)DQ (t23tt2t2)1t22t1，令令t22t1 ，解得，解得t1 13，t2 10)为抛物线上为抛物线上一动点，过点一动点，过点P作作PNx轴交直线轴交直线BC于点于点M，交，交x轴于点轴于点N.(1)直接写出直接写出抛物线和直线抛物线和直线BC的解析式；的解析式；【解法提示】【解法提示】(1)抛物线过点抛物线过点A(1，0)，B(2，0)，抛物线的解析式为
12、抛物线的解析式为ya(x1)(x2)，将点，将点C(0，2)的坐的坐标代入上式，得标代入上式，得22a，a1.抛物线的解析式抛物线的解析式为为y(x1)(x2)，即，即yx2x2.设直线设直线BC的解的解微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题析式为析式为ykxt，将点，将点B(2，0)，C(0，2)的坐标代入上式，得的坐标代入上式，得 解得解得 .直线直线BC的解析式为的解析式为yx2；022kt,t 12kt 第第7题图题图解：解：(1)抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx2x2，直线，直线BC的解析式为的解析式为yx2；微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题(2)当当P点在运动过程中，
13、在点在运动过程中，在y轴上是否存在点轴上是否存在点Q，使得以，使得以O，P，Q为顶点为顶点的三角形与以的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似为顶点的三角形相似(其中点其中点P与点与点C相对应相对应)，若，若存在，存在，直接写出直接写出点点P和点和点Q的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由第第7题图题图【解法提示】【解法提示】点点P与点与点C相对应，相对应，POQCBN或或POQCNB.若点若点P在点在点B左侧，左侧，则则CBN45，BN2m，CB2 .当当POQCBN，即，即POQ45时，时，直线直线OP的解析式为的解析式为yx，m2m2m，解得，解得m 或或m (舍去舍去
14、).222微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题OP2()2()24，即，即OP2.，即，即 ，解得，解得OQ 1.P(，)，Q(0，1).当当POQCNB，即即PQO45时，时，当点当点Q在点在点P上方时，上方时，PQ m，OQm2m2mm22m2，即，即 ，第第7题图题图22OPOQBCBN 22 222OQ 22222PQOQBCNB 222222 2mmmm 微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题第第7题图题图解得解得m1 (舍去舍去)或或m1 (舍去舍去).当点当点Q在点在点P下方时，下方时，PQ m，直线，直线QP的解析式为的解析式为yxm22.OQm22，即，即 ，解得，解得
15、m 或或m (舍去舍去)，OQ ，P(，)，Q(0，).若点若点P在点在点B右侧，右侧，则则CBN135，BNm2.552PQOQCBNB 22222 2mmm 1313 1133 42 139 1313 7139 42 139 微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题当当POQCBN，即，即POQ135时，时，直线直线OP的解析式为的解析式为yx，m2m2m，解得，解得m1 或或m1 (舍去舍去)，OP m ，即，即 ，解得解得OQ1.P(1 ，1 )，Q(0，1).当当POQCNB，即，即PQO135时，时，第第7题图题图32632OPOQBCBN 262 231OQ 33微专题微专题二次
16、函数综合题二次函数综合题PQ m，OQ|m2m2m|m22m2.，即，即 ，解得解得m1 或或m1 (舍去舍去).P(1 ，3 )，Q(0，2).综上所述，综上所述，P(，)，Q(0，1)或或P(，)，Q(0，)或或P(1 ，1 )，Q(0，1)或或P(1 ，3 )，Q(0，2).第第7题图题图2PQOQCBNB 222222 2mmmm 52555221313 7139 42 139 3535微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题第第7题图题图(2)存在存在P(，)，Q(0，1)或或P(，)，Q(0，)或或P(1 ，1 )，Q(0，1)或或P(1 ，3 )，Q(0，2).1313 7139
17、 42 139 3525232微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题类型七角度问题类型七角度问题8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x2bxc经过经过点点A(4，0)，B(2，0)，与，与y轴交于点轴交于点C，作直线，作直线AC.(1)求抛物线的函数表达式；求抛物线的函数表达式；12第第8题图题图解：解：(1)抛物线抛物线y x2bxc经过点经过点A(4，0)，B(2，0)，解得解得抛物线的函数表达式为抛物线的函数表达式为y x2x4；1212840220bc,bc,14b,c,微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题(2)点点M是直线是直线AC下方抛物线
18、上的一个动点，连接下方抛物线上的一个动点，连接MA，MC，BC，求四，求四边形边形ABCM面积的最大值及此时点面积的最大值及此时点M的坐标；的坐标；第第8题图题图(2)在在y x2x4中，令中，令x0，得，得y4，点点C(0，4).设直线设直线AC的函数表达式为的函数表达式为ykxc，将将A(4，0)，C(0，4)代入，代入，得得 解得解得直线直线AC的函数表达式为的函数表达式为yx4.12044kc,c,14k,c,微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题设点设点M的坐标为的坐标为(d，d2d4)，则点，则点F的坐标为的坐标为(d，d4)，MF(d4)(d2d4)d22d.A(4，0)，B(
19、2，0)，C(0，4)，OA4，AB6，OC4，SABC ABOC 6412，SACM MFOA (d22d)4d24d(d2)24.如解图如解图，过点，过点M作作MEx轴于点轴于点E，交，交AC于点于点F，12121212121212第第8题题解解图图12微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题当当d2时，时，SACM取得最大值，为取得最大值，为4.四边形四边形ABCM面积的最大值面积的最大值12416，此时点，此时点M的坐标为的坐标为(2，4)；第第8题题解解图图微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题(3)若点若点D是抛物线的顶点，点是抛物线的顶点，点P是抛物线上的一个动点，是否存在点是
20、抛物线上的一个动点，是否存在点P，使得使得ACPCAD，若存在，请直接写出点，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说的坐标；若不存在，请说明理由明理由由题意得点由题意得点D(1，)，设，设P(m，m2m4)，DG ，AG3，CH m2m4(4)m2m，PHm，分两种情况讨论：分两种情况讨论：【解法提示】如解图【解法提示】如解图，过点，过点D作作DGx轴于点轴于点G，过点，过点P作作PHy轴于轴于点点H，则，则DGACHP90.第第1题解图题解图9212129212微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题当点当点P在直线在直线AC上方时，记为上方时，记为P1，设过点，设过点P1作作P1Hy
21、轴的点轴的点H为为H1，ACP1CAD，P1CAD，易得，易得DAGCP1H1.又又DGACH1P190，DAGCP1H1，即，即 ，解得解得m0(舍去舍去)或或m5，点点P1(5，)；第第1题解图题解图111DGAGCHPH 293212mmm 72微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题第第1题解图题解图当点当点P在直线在直线AC下方时，记为下方时，记为P2，设过点，设过点P2作作P2Hy轴的点轴的点H为为H2，OAOC4，OACOCA.ACP2CAD，OACCADOCAACP2，即即DAGP2CH2.又又DGAP2H2C90，DAGP2CH2，微专题微专题二次函数综合题二次函数综合题第第1题解图题解图 ，即，即 ，解得，解得m0(舍去舍去)或或m ，点点P2(，).综上所述，存在点综上所述，存在点P，点，点P的坐标为的坐标为(5，)或或(，).222DGAGP HCH 293212mmm 10310316972103169(3)存在点存在点P，点，点P的坐标为的坐标为(5，)或或(，).72103169
