1、微专题微专题考情及趋势分析成都成都8年年高频点高频点考情及趋势分析考情及趋势分析考情分析考情分析年份年份题号题号分值分值表达式表达式对称轴位置对称轴位置动点情况动点情况考查设问考查设问20232510yax2cy轴轴M为为y轴上一轴上一动点动点(1)求抛物线的函数表达式；求抛物线的函数表达式；(2)已已知等腰三角形求点的坐标；知等腰三角形求点的坐标；(3)探探究两直线是否垂直究两直线是否垂直20222510yx2y轴轴(1)求直线与抛物线的两交点坐标；求直线与抛物线的两交点坐标；(2)探究面积相等；探究面积相等；(3)探究直线是探究直线是否过定点否过定点考情分析考情分析年份年份题号题号分值分值
2、表达式表达式对称轴位置对称轴位置动点情况动点情况考查设问考查设问20212812ya(xh)2k对称轴在对称轴在y轴右侧轴右侧点点B为抛物线上为抛物线上一动点一动点(1)求抛物线的函数表达式；求抛物线的函数表达式；(2)已知角度相等求点坐标；已知角度相等求点坐标；(3)探究点探究点C横坐标的取值范围横坐标的取值范围20202812yax2bxc对称轴在对称轴在y轴右侧轴右侧点点D为第四象限为第四象限抛物线上一点抛物线上一点(1)求抛物线的函数表达式；求抛物线的函数表达式；(2)求面积比最大值；求面积比最大值；(3)探究相探究相似三角形存在性问题似三角形存在性问题20192812yax2bxc对
3、称轴在对称轴在y轴右侧轴右侧点点P是抛物线上是抛物线上位于对称轴右位于对称轴右侧一点侧一点(1)求抛物线的函数表达式；求抛物线的函数表达式；(2)结合翻折求点坐标；结合翻折求点坐标；(3)探究等探究等边三角形存在性问题边三角形存在性问题考情分析考情分析年份年份题号题号分值分值表达式表达式对称轴位置对称轴位置动点情况动点情况考查设问考查设问20182812yax2bxc对称轴在对称轴在y轴右侧轴右侧(1)求抛物线的函数表达式；求抛物线的函数表达式；(2)已知已知线段比值，探究面积相等求点坐标；线段比值，探究面积相等求点坐标；(3)探究探究x轴上一点的直角问题轴上一点的直角问题20172812ya
4、x2bxc对称轴在对称轴在y轴右侧轴右侧点点P是第一象是第一象限抛物线上限抛物线上一点一点(1)求抛物线的函数表达式；求抛物线的函数表达式；(2)求字求字母取值范围；母取值范围；(3)探究正方形存在性探究正方形存在性问题问题20162812ya(x1)23对称轴在对称轴在y轴左侧轴左侧点点P位于第二位于第二象限象限(1)求抛物线系数求抛物线系数a的值及与的值及与x轴交点轴交点坐标；坐标；(2)探究面积比，求一次函数探究面积比，求一次函数表达式；表达式；(3)探究菱形存在性问题探究菱形存在性问题【考情总结】【考情总结】二次函数综合题每年一必考道，近两年均在二次函数综合题每年一必考道，近两年均在B
5、卷倒数第二题考查，其中面积问题考查卷倒数第二题考查，其中面积问题考查4次，特殊四边次，特殊四边形问题各考查形问题各考查2次，等腰三角形问题、角度问题各考查次，等腰三角形问题、角度问题各考查2次，线段问题、相似三角形问题各考查次，线段问题、相似三角形问题各考查1次次1.近两年第三问均探究与直线有关的问题；近两年第三问均探究与直线有关的问题；2.除除2022年外，题干中均给出了含参表达式，且第一问常考查利用待定系数法求出二次函数表达式，年外，题干中均给出了含参表达式，且第一问常考查利用待定系数法求出二次函数表达式，给出的表达式通常为一般式；给出的表达式通常为一般式；3.近两年二次函数图象的开口方向
6、均向下，对称轴为近两年二次函数图象的开口方向均向下，对称轴为y轴，其他年份均开口向上且图象的对称轴主要轴，其他年份均开口向上且图象的对称轴主要在在y轴右侧设置轴右侧设置.类型一线段问题类型一线段问题(2023.25)一阶一阶 设问突破设问突破例例 已知抛物线已知抛物线yx2bxc与与x轴交于轴交于A(1，0)，B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C(0，3)，连接，连接BC.(1)如图如图，点，点D是是x轴上一点，连接轴上一点，连接CD，若，若ADCD，求点，求点D的坐标；的坐标；例题图例题图【思维教练】【思维教练】设出点设出点D的坐标，线段的坐标，线段AD的长可以根据横坐标相减得到，的长可以
7、根据横坐标相减得到，线段线段CD的长可以根据的长可以根据C，D两点的坐标利用勾股定理得到，两点的坐标利用勾股定理得到，然后结合线段相等列方程求解即可然后结合线段相等列方程求解即可解：解：(1)设设D(d，0)，A(1，0)，C(0，3)，AD|d1|，OC3，CD .ADCD，|d1|，即即(d1)29d2，解得解得d4，点点D的坐标为的坐标为(4，0)；22OCOD 29d 29d 例题图例题图(2)如图如图，点，点E是抛物线对称轴上一动点，连接是抛物线对称轴上一动点，连接AE，CE，求，求AECE的的最小值；最小值；例题图例题图【思维教练】【思维教练】根据抛物线的对称性可知关于抛物线对称轴
8、对称的两根据抛物线的对称性可知关于抛物线对称轴对称的两个点到抛物线对称轴上的任意一点的距离相等，连接个点到抛物线对称轴上的任意一点的距离相等，连接BE，可知，可知AEBE，从而将问题转化成求，从而将问题转化成求BECE的的最小值，根据三点共线时线段和最短即可求解最小值，根据三点共线时线段和最短即可求解(2)将点将点A(1，0)，C(0，3)分别代入分别代入yx2bxc中，中，得得 解得解得103bc,c,23b,c,C(0，3)，OC3，OB3，BC 3 .点点E在抛物线的对称轴上，在抛物线的对称轴上，AEBE，AECEBECE.BECEBC，当当B，C，E三点共线时，三点共线时，BECE取得
9、最小值，最小值为取得最小值，最小值为BC的长的长AECE的最小值为的最小值为3 ；例题图例题图抛物线的函数表达式为抛物线的函数表达式为yx22x3(x1)24，抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x1，B(3，0).如如图图，连接，连接BE，22OBOC 22(3)如图如图，点，点P是第一象限内抛物线上一点，连接是第一象限内抛物线上一点，连接OP交交BC于点于点F.当当 时，求点时，求点P的坐标；的坐标；23PFOF 例题图例题图【思维教练】【思维教练】根据相似三角形的性质可知相似三角形对应边成根据相似三角形的性质可知相似三角形对应边成比例，过点比例，过点P作作PMy轴交轴交CB于点于点M
10、，从而将，从而将 转化成转化成 ，根据线段长的比例列出关系式求解，根据线段长的比例列出关系式求解即可即可PFOFPMOCM如图，过点如图，过点P作作PMy轴，交轴，交BC于点于点M，设，设P(t，t22t3).B(3，0)，C(0，3)，直线直线BC的表达式为的表达式为yx3，M(t，t3)，PMt22t3(t3)t23t.PMy轴，轴，OCFPMF，t23t2，解得，解得t11，t22，点点P坐标为坐标为(1，4)或或(2，3)；，PFPMOFOC 23233PFttOF 例题图例题图M【思维教练】【思维教练】由由可知可知 ，用，用 表示出表示出 ，再利用二次函数的性质即可求，再利用二次函数
11、的性质即可求解最值解最值探究探究 有最大值有最大值吗？若有，求出最大值，若没有，请说明理由；吗？若有，求出最大值，若没有，请说明理由；PFOFPFPMOFOC PMOCPFOF 有最大值理由如下：有最大值理由如下：由由知知 t2t (t )2 0，有最大值，最大值是有最大值，最大值是 ；PFOFPFOF233tt 1313323413PFOF34例题图例题图M【思维教练】【思维教练】过点过点P作作PFy轴，交轴，交BC于点于点F，根据抛物线的性质可，根据抛物线的性质可得得OBC是等腰直角三角形，从而得到是等腰直角三角形，从而得到FPQ也是等也是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形直角边与斜边的腰
12、直角三角形，根据等腰直角三角形直角边与斜边的关系，将求关系，将求PQ的最大值转化成求的最大值转化成求PF的最大值，设出点的最大值，设出点P的坐标，从而表示出点的坐标，从而表示出点F的坐标，进而表示出的坐标，进而表示出PF的长，的长，根据二次函数的性质即可求解根据二次函数的性质即可求解(4)如图如图，点，点P是第一象限内抛物线上一点，过点是第一象限内抛物线上一点，过点P作作PQBC于点于点Q，求求PQ的最大值及的最大值及此时点此时点P的坐标；的坐标；例题图例题图例题图例题图F(4)如图，过点如图，过点P作作PFy轴，交轴，交BC于点于点F，OBOC3，OCB45.PFy轴，轴，PFQOCB45，
13、PQ PF，B(3，0)，C(0，3)，直线直线BC的表达式为的表达式为yx3.设设P(n，n22n3)，则，则F(n，n3)，PFn22n3(n3)n23n，22PQ PF n2 n (n )2 ，22223 2222329 28 0，0n3，当当n 时，时，PQ取得最大值，最大值为取得最大值，最大值为 ，当当n 时，时，n22n3 ，此时点此时点P的坐标为的坐标为(，)；例题图例题图F22329 283215432154(5)若点若点P为线段为线段OC上的一动点，请求出上的一动点，请求出2APCP的最小值的最小值(5)如解图如解图，作，作OCH30，过过A点作点作AGCH于于G点，点，AG
14、交交OC于点于点P.OCH30，在在RtPCG中，中，2PGPC，2APPC2AP2PG2(APPG)2AG.根据根据A，P，G三点共线，可知此时三点共线，可知此时2APPC的的值最小，最小值为值最小，最小值为AG的长，的长，AGBC时时AG最小最小例题解图例题解图例题图例题图OPAOtan OAP ，PCOCOP3 ，AP2OP ，2APPC 3 3 ，即即2APCP的最小值为的最小值为3 .AOPCGP90，APOCPG，OAPGCP30.OA1，OC3，33332 334 333333例题解图例题解图类型二面积问题类型二面积问题(8年年4考：考：2022.25，2020.28，2018.
15、28，2016.28)方法一：直接公式法方法一：直接公式法适用于三角形的一边在坐标轴上适用于三角形的一边在坐标轴上(或平行于坐标轴或平行于坐标轴)，直接运用三角形的面，直接运用三角形的面积公式积公式S ABh求解求解满 分 技 法满 分 技 法12一阶一阶 设问突破设问突破方法二：分割法方法二：分割法适用于三角形的三边都不在坐标轴上适用于三角形的三边都不在坐标轴上(或都不平行于坐标轴或都不平行于坐标轴).SABCSABDSCBD BD(AECF)BD|yCyA|1212方法三：补全法方法三：补全法适用于三角形的三边都不平行于坐标轴适用于三角形的三边都不平行于坐标轴(或都不在坐标轴上或都不在坐标
16、轴上).SABCSACDSABDSBCD方法四：和差法方法四：和差法SBCPSOCPSOBPSOBC例例 已知抛物线已知抛物线yax2bx4与与x轴交于轴交于A(1，0)，B(4，0)两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C.(1)如图如图，点，点F是抛物线上一点，连接是抛物线上一点，连接AF，BF，若若SABF15，求点，求点F的坐标；的坐标；例例题图题图解：解：(1)将点将点A(1，0)，B(4，0)分别代入分别代入yax2bx4，得得 解得解得抛物线的函数表达式为抛物线的函数表达式为yx23x4.4016440ab,ab,13a,b,如图，过点如图，过点F作作FNx轴于点轴于点N.F是抛物线
17、上一点，是抛物线上一点，设设F(n，n23n4)，则，则N(n，0)，FN|n23n4|，SABF ABFN 5|n23n4|15，|n23n4|6，当当n23n46时，解得时，解得n2或或n5，F(2，6)或或(5，6)；当当n23n46时，解得时，解得n1或或n2，F(1，6)或或(2，6).综上所述，点综上所述，点F的坐标为的坐标为(2，6)或或(5，6)或或(1，6)或或(2，6)；例例题图题图1212N(2)如图如图，若点，若点P是抛物线上一动点，连接是抛物线上一动点，连接AC，PC，PB，则当，则当点点P的横的横坐标为坐标为1时，求四边形时，求四边形ACPB的面积；的面积；例例题图
18、题图E(2)如图，连接如图，连接BC，过点，过点P向向x轴作垂线，交直线轴作垂线，交直线BC于点于点E.抛物线的函数表达式为抛物线的函数表达式为yx23x4，A(1，0)，B(4，0)，AB5，令令x0，得，得y4，C(0，4)，设设直线直线BC的表达式为的表达式为ykxb(k0)，将点将点B，C坐标代入得，坐标代入得，解得解得例例题图题图E直线直线BC的表达式为的表达式为yx4.点点P的横坐标为的横坐标为1，P(1，6)，E(1，3)，PE3，044kb,b,14k,b,S四边形四边形ACPBSABCSPBC ABOC OBPE 54 4316；12121212(3)如图如图，点，点G是第四
19、象限内抛物线上一点，点是第四象限内抛物线上一点，点G的横坐标为的横坐标为m，连接，连接AC，AG，BC，BG，AG与与BC交于点交于点H，若，若BHG与与AHC的面积差为的面积差为1，求求m的值；的值；例例题图题图(3)点点G是第四象限内抛物线上的一点，是第四象限内抛物线上的一点，设设G(m，m23m4)，0m4.A(1，0)，B(4，0)，AB5，SBHGSABGSABH，SAHCSABCSABH，BHG与与AHC的面积差为的面积差为1，当当SBHGSAHC1时，时，SBHGSAHCSABGSABHSABCSABHSABGSABC1，5(m23m4)541，解得解得m 或或m ；121215
20、18510 1518510 当当SAHCSBHG1时，时，SAHCSBHGSABCSABHSABGSABHSABCSABG1，54 5(m23m4)1，解得解得m 或或m (不合题意，舍去不合题意，舍去).12121526510 1526510 例例题图题图综上所述，综上所述，m的值为的值为 或或 或或 ；1518510 1518510 1526510 例例题图题图【思维教练】【思维教练】求两动点的三角形面积最值，根据求两动点的三角形面积最值，根据CQBP，转化成，转化成一个动点的三角形面积最值，即一个动点的三角形面积最值，即SPBQSPBC.根据面根据面积的分割法以及二次函数求最值方法，求积
21、的分割法以及二次函数求最值方法，求SPBC面积面积最值即可最值即可(4)如图如图，点，点P为第四象限内抛物线上一点，连接为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点，过点C作作CQBP交交x轴于点轴于点Q，连接，连接PQ，求，求PBQ面积的最大值及此时点面积的最大值及此时点P的坐标；的坐标；例例题图题图(4)如图，连接如图，连接BC，PC，过点，过点P作作PTy轴交轴交BC于点于点T.TCQBP，由由(2)知知C(0，4)，OBOC4，直线，直线BC的表达式为的表达式为yx4.设点设点P的横坐标为的横坐标为m，则，则P(m，m23m4)，T(m，m4)，0m4.TPm4(m23m4)m24m，SB
22、CP TP(xBxC)(m24m)42(m2)28，20，0m4，当当m2时，时，SBCP有最大值，最大值为有最大值，最大值为8.例例题图题图T1212当当m2时，时，m23m46，P(2，6).综上所述，综上所述，PBQ面积的最大值为面积的最大值为8，此时点，此时点P的坐标为的坐标为(2，6)；例例题图题图T【思维教练】【思维教练】由由PQBC，PFx轴，易证轴，易证PEQBEF，由，由，将面积比转化成将面积比转化成 ，进而求线段之间的，进而求线段之间的关系，由题易知关系，由题易知OBC45，可表示出，可表示出BE EF，进而表示出，进而表示出PE与与EF关系即可求解关系即可求解(5)如图如
23、图，点，点P是第四象限内抛物线上一点，过点是第四象限内抛物线上一点，过点P作作PFx轴交轴交BC于点于点E，交，交x轴于点轴于点F，过点，过点P作作PQBC于点于点Q，当，当SEPQ SEBF时，求点时，求点P的坐标的坐标92例例题图题图92EPQEBFSS PEBE2(5)设点设点P(p，p23p4)，则由，则由(4)知点知点E(p，p4)，0p4，PE(p4)(p23p4)p24p，EF4p.PFx轴，轴，PQBC，BFEPQE90.PEQBEF，PEQBEF.SEPQ SEBF，()2 ，.92EPQEBFSS PEBE92PEBE3 22OBOC4，OBC45，BE EF，EF BE，
24、222 3，3 222222PEPEPEEFBEBE 例例题图题图 3，解得解得p3或或p4(舍去舍去)，当当p3时，时，p23p44，点点P的坐标为的坐标为(3，4).244ppp 例例题图题图解题关键点由由EPQ与与EBF相似以及面积比，进而得到对应边成相似以及面积比，进而得到对应边成比例是关键比例是关键解题有策略二次函数面积问题二次函数面积问题(8年年4考，其中面积相等考查考，其中面积相等考查2次，面积比的最值考查次，面积比的最值考查1次，面积比考查次，面积比考查1次，考查面积问题时，常用含参数的未知数表示出三角次，考查面积问题时，常用含参数的未知数表示出三角形的面积，再用等量关系求解形的面积，再用等量关系求解)二次函数中关于面积倍数关系的解题策略：先求出其中一个图形面积，二次函数中关于面积倍数关系的解题策略：先求出其中一个图形面积，再用含未知数的式子表示所求图形再用含未知数的式子表示所求图形(另一个图形另一个图形)的面积，根据两图形间面的面积，根据两图形间面积关系，列方程求解；或用相同的未知数分别表示两个图形的面积，再积关系，列方程求解；或用相同的未知数分别表示两个图形的面积，再用题中等量关系列方程求解用题中等量关系列方程求解请完成精练本习题请完成精练本习题
