1、 贵州贵州近近年真题精选年真题精选1 考点精讲考点精讲2 重难点分层练重难点分层练3贵州近贵州近年真题精选年真题精选1命题点命题点与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系(黔西南州黔西南州2023.18)1.(2023黔西南州黔西南州18题题3分分)已知已知O1和和O2的半径分别为的半径分别为m、n，且，且m、n满足满足 (n2)20，圆心距，圆心距O1O2 ，则两圆的位置关系为，则两圆的位置关系为_1m 52相交相交第2题图与切线性质有关的计算与切线性质有关的计算(黔西南州黔西南州2考，黔东南州考，黔东南州2考，考，贵阳贵阳3考考)2命题点命题点2.(2015黔西南州黔西南州6题题4分分)如图，
2、点如图，点P在在O外，外，PA、PB分别与分别与O相切于相切于A、B两点，两点，P50，则，则AOB等于等于()A.150 B.130 C.155 D.135B第3题图3.(2021贵阳贵阳9题题3分分)如图，如图，O与正五边形与正五边形ABCDE的两边的两边AE，CD相切相切于于A，C两点，则两点，则AOC的度数是的度数是()A.144 B.130 C.129 D.108A第4题图4.(2021黔西南州黔西南州23题题12分分)如图，如图，AB为为O的直径，直线的直径，直线l与与O相切于相切于点点C，ADl，垂足为，垂足为D，AD交交O于点于点E，连接，连接CE.(1)求证：求证：CADCA
3、B；直线直线l切切O于点于点C，OCl.ADl，OCAD，CADACO.OAOC，ACOCAB，CADCAB；(6分分)(1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接OC，(2)若若EC4，sinCAD ，求，求O的半径的半径13(2)如解图，连接如解图，连接BC，AB为为O的直径，的直径，BCA90.CADCAB，sinCADsinCAB ，BCEC4，AB12.O的半径为的半径为6.(12分分)13BCAB=ECBC 413AB=第4题图第5题图5.(2022三州联考三州联考22题题12分分)如图，点如图，点P在在O外，外，PC是是O的切线，的切线，C为为切点，直线切点，直线PO与与O相交于点
4、相交于点A、B.(1)若若A30，求证：，求证：PA3PB；AB是是O的直径，的直径，ACBC，PC是是O的切线，的切线，OCPC，OAOC，ACOA30，OCB90ACO60，BCP90OCB30，OCOB，OBC是等边三角形，是等边三角形，BCOB，OBC60，POBCBCP30，PBCP，BPBC，OAOBBC，OAOBBP，PA3PB；(6分分)第5题图(1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接OC，(2)AB是是O的直径，的直径，ACBC.PC是是O的切线，的切线，OCPC，ACOOCBBCP OCB，ACOBCP，OAOC，AACO，COB2A2BCP，PCOB90，P2BCP90
5、，BCP (90P)(12分分)12(2)小明发现，小明发现，A在一定范围内变化时，始终有在一定范围内变化时，始终有BCP (90P)成立请你写出推理过程成立请你写出推理过程12第5题图6.(2022贵阳贵阳23题题10分分)如图，已知如图，已知AB是是O的直径，点的直径，点P是是O上一点，上一点，连接连接OP，点，点A关于关于OP的对称点的对称点C恰好落在恰好落在O上上(1)求证：求证：OPBC；第6题图(1)证明：证明：点点A关于关于OP的对称点是点的对称点是点C，AOPCOP，OBOC，OBCOCB，AOCOBCOCB，2AOP2B，AOPB，OPBC；(4分分)(2)过点过点C作作O的
6、切线的切线CD，交，交AP的延长线于点的延长线于点D，如果，如果D90，DP1.求求O的直径的直径第6题图CD是是O的切线，的切线，CDOC，D90，ADOC，A2AOP180，由由(1)知，知，AOPB，A2B180，OAOP，AOPAAOP2AB180，由由得得AB60，AOP，COB都是等边三角形，都是等边三角形，POC60，第6题图(2)解：如解图，连接解：如解图，连接PC，OPOC，OPC是等边三角形，是等边三角形，OCPC，DCPDCOPCO906030，在在RtPCD中，中，PC2PD2，O的直径为的直径为2OC2PC4.(10分分)第6题图第7题图7.(2023贵阳贵阳23题题
7、10分分)如图，如图，AB为为O的直径，四边形的直径，四边形ABCD内接于内接于O，对角线，对角线AC，BD交于点交于点E，O的切线的切线AF交交BD的延长线于点的延长线于点F，切，切点为点为A，且，且CADABD.(1)求证：求证：ADCD；(1)证明：在证明：在O中，中，ABD与与ACD都是都是 所对的圆周角，所对的圆周角，ABDACD.CADABD，ACDCAD.ADCD；(4分分)AD(2)解：解：AF是是O的切线，的切线，AB是是O的直径，的直径，FABACBADBADF90.FADBAD90，ABDBAD90，FADABD.又又ABDCAD，CADFAD.第7题图(2)若若AB4，
8、BF5，求，求sinBDC的值的值ADAD，RtADERtADF(ASA)，AEAF，EDFD.(6分分)在在RtBAF中，中，AB4，BF5，AF3，即，即AE3.ABAF BFAD，AD .1212125第7题图在在RtADF中，中，BE5 2 .BECAED，且，且ECBEDA，BECAED，即，即BC .2222129355FDAFAD 9575BEBCAEAD=2825第7题图BDC与与BAC都是都是 所对的圆周角，所对的圆周角，BDCBAC.在在RtACB中，中，ACB90，sinBAC ，即即sinBDC .(10分分)BC725BCAB=725第7题图第8题图贵州其他地市真题贵
9、州其他地市真题8.(2022黔南州黔南州10题题4分分)如图，已知直线如图，已知直线AD是是O的切线，点的切线，点A为切点，为切点，OD交交O于点于点B，点，点C在在O上，且上，且ODA36，则，则ACB的度数为的度数为()A.54 B.36C.30 D.27D第9题图9.(2023遵义遵义12题题3分分)如图，矩形如图，矩形ABCD中，中，AB4，BC3，连接，连接AC，P和和Q分别是分别是ABC和和ADC的内切圆，则的内切圆，则PQ的长是的长是()A.B.C.D.525522 2B第10题图10.(2021遵义遵义12题题4分分)如图，如图，AB是是O的弦，等边三角形的弦，等边三角形OCD
10、的边的边CD与与O相切于点相切于点P，且，且CDAB，连接，连接OA，OB，OP，AD.若若CODAOB180，AB6，则，则AD的长是的长是()A.B.C.D.6 23 62 1313C第11题图3命题点命题点与切线判定有关的证明与计算与切线判定有关的证明与计算(黔西南州黔西南州4考，黔东南州考，黔东南州4考考)11.(2021黔东南州黔东南州23题题12分分)如图，如图，PA是以是以AC为直径的为直径的O的切线，切的切线，切点为点为A，过点，过点A作作ABOP,交交O于点于点B.(1)求证：求证：PB是是O的切线；的切线；(1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接OB，BC，设，设AB与与
11、OP的交点为的交点为D，AC为为O的直径，的直径，ABC90，ABPO，POBC.AOPC，POBOBC，OBOC，OBCC，AOPPOB，在在AOP和和BOP中，中，AOPBOP(SAS)，OBPOAP，PA为为O的切线，的切线，OAP90，OBP90，OB为为O的半径，的半径，PB是是O的切线；的切线；(6分分),OAOBAOPBOPPOPO 第11题图D(2)若若AB6，cosPAB ，求，求PO的长的长35(2)解：如解图，解：如解图，ABOP，AD AB3，cosPAB ，AP5，PD 4，PAOPDA90，APODPA，PAOPDA，即，即 ，PO .(12分分)123535ADA
12、P=22APAD PAPDPOPA=545PO=254第11题图DACBC，ADCD，OBOC，AB12，ACODCO2，ACODCO1BCD，又又BD是是O的直径，的直径，BCD90，ACO90.OC是是O的半径，的半径，AC是是O的切线；的切线；(6分分)第12题图12.(2023黔西南州黔西南州22题题12分分)如图，点如图，点A是是O直径直径BD延长线上的一点，延长线上的一点，C在在O上，上，ACBC，ADCD.(1)求证：求证：AC是是O的切线；的切线；解：解：(1)如解图，连接如解图，连接OC，21第12题图21(2)若若O的半径为的半径为2，求，求ABC的面积的面积(2)由题意可
13、知由题意可知DCO是等腰三角形，是等腰三角形，CDOA2，DOCB1，CDODOC，DCO是等边三角形是等边三角形AB1230，CDADOC2.在在RtBCD中，中，BC ，又又ACBC，AC2 .2222422 3BDCD 3如解图，作顶点如解图，作顶点C到到AB边上的高，交边上的高，交AB于点于点E，在在RtBEC中，中，B30，CE BC .ABADBD6，SABC ABCE 6 3 .(12分分)123121233第12题图21D是是 的中点，的中点，.CADDAB.OAOD，OADODA.ODACAD.ODAE.DEAC，ODDE.OD是是O的半径，的半径，直线直线DE与与O相切；相
14、切；(6分分)BCCDBD 第13题图13.(2022黔西南州黔西南州22题题12分分)如图，已知如图，已知AB为为O的直径，的直径，D是是 的中的中点，点，DEAC交交AC的延长线于的延长线于E，O的切线的切线BF交交AD的延长线于的延长线于F.(1)求证：直线求证：直线DE与与O相切；相切；BC(1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接OD，(2)已知已知DGAB且且DE4，O的半径为的半径为5，求，求tanF的值的值第13题图(2)解：解：BF是是O的切线，的切线，BFAB.DGAB，DGBF.FADG.由由(1)知知AD是是CAB的平分线，的平分线，且且DEAC，DGAB，DGDE4.
15、在在RtODG中，中，OD5，DG4，则，则OG3，AG8.tanADG 2.tanFtanADG2.(12分分)84AGDG=第14题图14.(2023黔东南州黔东南州22题题12分分)如图，如图，AB是是O的直径，点的直径，点P在在BA的延长线的延长线上，弦上，弦CDAB，垂足为，垂足为E，且，且PC2PEPO.(1)求证：求证：PC是是O的切线；的切线；PC2PEPO，.PP，PCEPOC.PCOPEC90.又又OC是是O的半径，的半径，PC是是O的切线；的切线；(6分分)PCPOPEPC=(1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接OC，(2)若若OE EA1 2，PA6，求，求O的半径
16、的半径第14题图(2)解：设解：设OCOAx，OE EA1 2，OE x.OCEPCEPCEP90，OCEP.COEPOC，OCEOPC.，即，即 .解得解得x3或或x0(舍去舍去)，O的半径为的半径为3.(12分分)13OCOEOPOC=136xxxx=第15题图15.(2023黔西南州黔西南州25题题12分分)古希腊数学家毕达哥拉斯认为：古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面一切平面图形中最美的是圆图形中最美的是圆”请研究如下美丽的圆如图，线段请研究如下美丽的圆如图，线段AB是是O的直的直径，延长径，延长AB至点至点C，使，使BCOB，点，点E是线段是线段OB的中点，的中点，DEAB交交O
17、于点于点D，点，点P是是O上一动点上一动点(不与点不与点A，B重合重合)，连接，连接CD，PE，PC.(1)求证：求证：CD是是O的切线；的切线；DE垂直平分垂直平分OB，DBDO.在在O中，中，ODOB，DBDOBO，ODB为等边三角形，为等边三角形，BDODBO60.BCBOBD，且，且DBE为为BDC的外角，的外角，BCDBDC DBO，DBO60，CDB30，ODCBDOBDC603090.又又OD是是O的半径，的半径，CD是是O的切线；的切线；(6分分)12(1)证明：如解图证明：如解图，连接，连接OD，DB，第15题图第15题图(2)小明在研究的过程中发现小明在研究的过程中发现 是
18、一个确定的值，回答这个确定的值是是一个确定的值，回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明多少？并对小明发现的结论加以证明PEPC(2)解：这个确定的值是解：这个确定的值是 .12证明：如解图证明：如解图，连接，连接OP，由已知可得由已知可得OPOBBC2OE，.又又COPPOE，OEPOPC，.(12分分)12OEOPOPOC=12PEOPPCOC=第16题图贵州其他地市真题贵州其他地市真题16.(2023毕节毕节26题题14分分)如图，已知如图，已知AB是是O的直径，的直径，O经过经过RtACD的直角边的直角边DC上的点上的点F，交，交AC边于点边于点E，点，点F是弧是弧EB的中点
19、，的中点，C90，连接连接AF.(1)求证：直线求证：直线CD是是O切线；切线；(1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接OF，OAOF，OAFOFA，点点F是是 的中点，的中点，OAFCAF，OFACAF，OFAC，C90，OFC90，即，即OFCD，OF为为O的半径，的半径，直线直线CD是是O的切线；的切线；(6分分)EBEFBF 第16题图(2)若若BD2，OB4，求，求tanAFC的值的值(2)解：由解：由(1)可知可知ACOF，OFDACD，BD2，OFOB4，OD6，AD10，AC ，CD ，OFODACAD=4 102063OF ADOD=22222010 51033ADAC 第
20、16题图ACOF，OA4，即，即 ，解得解得CF ，tanAFC .(14分分)CFCDOAAD=10 53410CF=4 5320354 53ACCF=第16题图第17题图17.(2022安顺安顺25题题12分分)如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，以，以AB为直径的为直径的O与边与边BC，AC分别交于分别交于D，E两点，过点两点，过点D作作DHAC于点于点H.(1)判断判断DH与与O的位置关系，并说明理由；的位置关系，并说明理由；OBOD，BODB，ABAC，BC，ODBC，ODAC，DHAC，ODDH，OD是是O的半径，的半径，DH与与O相切；相切；(4分分)(1)解：解：DH与与O
21、相切相切理由如下，如解图理由如下，如解图，连接，连接OD，(2)求证：点求证：点H为为CE的中点；的中点；第17题图四边形四边形ABDE是圆内接四边形，是圆内接四边形，BAED180，DECAED180，DECB，BC，DECC，DEDC，DHEC，点点H为为CE的中点；的中点；(8分分)(2)证明：如解图证明：如解图，连接，连接DE，AB是是O的直径，的直径，ADB90，ADBC，ABAC，DC BC 105，在在RtADC中，中，cosC ，AC ，在在RtDHC中，中，cosC ，HC ，由由(2)知点知点H为为CE的中点，的中点，CE2CH ，AEACEC .(12分分)121255D
22、CAC=5 555HCCD=52 53 5(3)若若BC10，cosC ，求，求AE的长的长55第17题图(3)解：如解图解：如解图，连接，连接AD，关系判定切线的性质与判定定义定理切线长三角形内切圆 圆心的名称性质角度关系点与圆的位置关系点在圆外点在圆上点在圆内圆与圆的位置关系外离外切相交内切内含确定圆条件直线与圆的位置关系与圆有关的位置关系考点精讲考点精讲【对接教材】人教：九上第二十四章【对接教材】人教：九上第二十四章P92P104；北师：九下第三章北师：九下第三章P89P96.点与圆有关的点与圆有关的位置关系位置关系点与圆的位置关系点在圆外点与圆的位置关系点在圆外d_r，如右图中点，如右
23、图中点A点在圆上点在圆上d_r，如右图中点，如右图中点B点在圆内点在圆内d_r，如右图中点，如右图中点C（设圆的半径为（设圆的半径为r，平面内，平面内,任一点到圆心的距离为任一点到圆心的距离为d）确定圆条件：不在同一条直线上的三点确定一个圆确定圆条件：不在同一条直线上的三点确定一个圆直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(设设O的半径为的半径为r，圆心，圆心O到直线到直线l的距离为的距离为d)位置关系位置关系示意图示意图d与与r的关系的关系公共点的个数公共点的个数相离相离d_r没有公共点没有公共点_d_r有且只有有且只有_个公共点个公共点相交相交dr1r2没有公共点没有公共点外切外切dr1r2有
24、且只有一个公共点有且只有一个公共点位置关系位置关系示意图示意图d与与r1和和r2之间的关系之间的关系公共点个数公共点个数相交相交r2r1dr1r2有两个公共点有两个公共点内切内切dr2r1有且只有一个公共点有且只有一个公共点内含内含dr2r1没有公共点没有公共点切线的性切线的性质与判定质与判定数量关系：圆心到切线的距离等于半径数量关系：圆心到切线的距离等于半径位置关系：切线位置关系：切线_于过切点的半径于过切点的半径若已知直线与圆有公共点，连接过这点的半径，证明这条半若已知直线与圆有公共点，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可可简述为：有切点，连半径，证垂直径与直线垂直即可可简述为：有
25、切点，连半径，证垂直若未知直线与圆的交点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线若未知直线与圆的交点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径可简述为：无切点，作垂直，证半径段的长等于圆的半径可简述为：无切点，作垂直，证半径判定判定和圆只有一个公共点的直线是圆的切线和圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义定义)经过半径的外端并且经过半径的外端并且_于这条半径的直线是圆的切线于这条半径的直线是圆的切线圆心到已知直线的距离圆心到已知直线的距离_半径长，则这条直线是圆的切线半径长，则这条直线是圆的切线满分技法满分技法垂直垂直垂直垂直等于等于切线长切线长(如如右图右图)定义：经过圆外一点作圆的一条切线
26、，这一点和切点之间的线段长度定义：经过圆外一点作圆的一条切线，这一点和切点之间的线段长度定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，如图，和圆心的连线平分两条切线的夹角，如图，PA、PB为为O的切线，的切线，A、B为切点，那么为切点，那么PAPB，且，且APOBPO三角形内切圆三角形内切圆(如右图如右图)1.圆心的名称：内心圆心的名称：内心(即三角形三个内角的即三角形三个内角的_的交点的交点)2性质：三角形的内心到三角形性质：三角形的内心到三角形_3角度关系：角度关系：BOC90 A12
27、平分线平分线三条边的距离相等三条边的距离相等拓展延伸拓展延伸如图，如图，ABC为直角三角形，则外接圆半径为直角三角形，则外接圆半径R ；内切圆半径内切圆半径 2abcr 2c重难点分层练重难点分层练例1题图例例1如图，在如图，在ABC中，中，ACB90，A60，O为为AB上一点，上一点，以以OA为半径作为半径作O，交，交AC于点于点D，交，交AB于点于点E，且，且E为为OB的中点，试判的中点，试判断断BC与与O的位置关系，并说明理由的位置关系，并说明理由突破设问突破设问1切线的判定切线的判定类型一切点不确定，作垂直，证半径类型一切点不确定，作垂直，证半径 解：解：BC与与O相切，理由如下：相切
28、，理由如下：如解图，过点如解图，过点O作作OHBC于点于点H.ACB90，OHAC，A60，HOB60，OH OB，E为为OB的中点，的中点，OE OB，OHOE，OH是是O的半径，的半径，又又OHBC，BC与与O相切相切1212例1题图HAEBD，E90，AOEBAE，ABEOAE.又又BC为为O的切线，的切线，BCO90E，BOCAOE，OBCOAEABE，又又OBOB，OBCOBF，OFOC，即，即OF是是O的半径，又的半径，又OFAB，AB为为O的切线的切线重难点分层练重难点分层练例2题图例例2如图，如图，O与与RtABC的直角边的直角边BC相切于点相切于点C，连接，连接BO交交O于于
29、点点D，过点，过点A作作AEBO交交BO的延长线于点的延长线于点E，且，且AOEBAE.求证：求证：AB为为O的切线的切线证明：如解图，过点证明：如解图，过点O作作OFAB于点于点F，F例3题图方法方法1已知角平分线，连半径构造平行，证垂直已知角平分线，连半径构造平行，证垂直例例3如图，如图，AB是是O的直径，点的直径，点C在在O上，上，CAB的平分线交的平分线交O于于点点D，过点，过点D作作AC的垂线交的垂线交AC的延长线于点的延长线于点E，求证：，求证：ED是是O的切的切线线类型二切点确定，连半径，证垂直类型二切点确定，连半径，证垂直ODOA，OADODA，AD平分平分BAC，BADCAD
30、，ODACAD，AEOD，DEAE，EDDO，OD是是O的半径，的半径，ED是是O的切线的切线证明：如解图，连接证明：如解图，连接OD.例3题图满 分 技 法满 分 技 法“角平分线角平分线”两半径组成的等腰三角形，利用角平分线性质及两半径组成的等腰三角形，利用角平分线性质及等边对等角得到的等角证得平行等边对等角得到的等角证得平行例4题图方法方法2已知中点，构造中位线，证垂直已知中点，构造中位线，证垂直例例4如图，如图，AB是是O的直径，的直径，AD是是O的弦，延长的弦，延长AD至点至点C，使，使ADDC，连接，连接BC，过点，过点D作作DEBC于点于点E.求证：直线求证：直线DE是是O的切线
31、的切线ADDC，OAOB，OD是是ABC的中位线，的中位线，ODBC，DEBC，ODDE，OD为为O的半径，的半径，直线直线DE是是O的切线的切线证明：如解图，连接证明：如解图，连接OD，满 分 技 法满 分 技 法若已知中点，则连接已知中点与圆心构造中位线，利用中位线的性质证若已知中点，则连接已知中点与圆心构造中位线，利用中位线的性质证得平行得平行方法方法3等角转换证垂直等角转换证垂直例例5如图，在如图，在ABC中，中，ACB90，C经过点经过点A，交，交BC于点于点D，点点E是是CD上一点，连接上一点，连接AE并延长交并延长交C于点于点F，连接，连接BF，且，且BFBE.求求证：证：BF是
32、是C的切线的切线例5题图例5题图BFBE，BFEBEF，BEF AEC，BFEAEC，ACB90，AECEAC90，CACF，EACCFE，BFECFE90，即，即BFC90，CF是是C的半径，的半径，BF是是C的切线的切线证明：如解图，连接证明：如解图，连接CF，例例6如图，如图，AB是是O的直径，的直径，BC是是O的弦，的弦，D为为 的中点，连接的中点，连接AD交交BC于点于点E，延长，延长BC到点到点F，且，且EFAF.求证：求证：AF为为O的切线的切线BC例6题图证明：如解图，连接证明：如解图，连接OD交交BC于点于点G.BC为为O的弦，的弦，D为为 的中点，的中点，ODBC，DEGO
33、DA90，EFAF，FAEFEA，OAOD，OADODA，又又FEADEG，FAEDEG，FAEOAD90，即，即FAB90，AB为为O的直径，的直径，AF为为O的切线的切线BCG方法方法4三角形全等证垂直三角形全等证垂直例例7如图，如图，AB是是O的直径，的直径，C是是O上一点，连接上一点，连接AC、BC，过点，过点O作作ODAC于点于点D，过点，过点A作作O的切线与的切线与OD的延长线交于点的延长线交于点E，EC、AB的延长线交于点的延长线交于点P.求证：求证：EC是是O的切线的切线例7题图证明：如解图，连接证明：如解图，连接OC，OAOC，ODAC，OD所在直线是所在直线是AC的垂直平分
34、线，的垂直平分线，EAEC.在在EAO和和ECO中，中，EAOECO(SSS)，EAOECO.又又EA是是O的切线，的切线，ECOEAO90.OC为为O的半径，的半径，EC是是O的切线的切线,EAECAOCOEOEO 例7题图方法方法1利用勾股定理利用勾股定理例例8如图，在如图，在RtABC中，中，C90，以，以BC为直径的为直径的O交交AB于点于点D，切线，切线DE交交AC于点于点E.若若AD8，DE5，求，求BC的长的长突破设问突破设问2求线段长或线段比值求线段长或线段比值例8题图DE是是O的切线，的切线，ODE90，ADEBDO90，ACB90，AB90，ODOB，BBDO，AADE，A
35、EDE.BC是是O的直径，的直径，ACB90，EC是是O的切线，的切线，EDEC，AEEC，DE5，AC2DE10，解：如解图，连接解：如解图，连接OD、DC，例8题图在在RtADC中，中，DC ，设设BDx，在，在RtBDC中，中，BC2x262，在在RtABC中，中，BC2(x8)2102，x262(x8)2102，解得解得x ，BC .226ACAD 9222915622 例8题图例9题图方法方法2利用三角函数利用三角函数例例9如图，如图，OA，OC都都是是O的半径，点的半径，点B在在OC的延长线上，的延长线上，BA与与O相切于点相切于点A，连接，连接AC，若，若AC4，tanBAC ，
36、求，求O的直径长的直径长13解：如解图，延长解：如解图，延长AO交交O于点于点D，连接，连接CD，BA与与O相切，相切，DAAB，DACBAC90.AD为为O的直径，的直径，ACD90，DACD90，DBAC.tanBAC ，tanD ，即，即 .AC4，CD12.在在RtACD中，由勾股定理得中，由勾股定理得 .131313ACDC=22224124 10ADACCD D例9题图例10题图方法方法3利用三角形相似利用三角形相似例例10如图，如图，ABC是是O的内接三角形，的内接三角形，AB是是O的直径，的直径，CD是是O的切线，过点的切线，过点B作作BDCD于点于点D，延长，延长DB交交O于
37、点于点E，连接，连接CE.若若BD2，BE4，求，求BC的长的长解：如解图，连接解：如解图，连接OC，AB是是O的直径，的直径，ACB90ACOOCB90.CD是是O的切线，的切线，OCD90，BCDOCB90，ACOBCD.OAOC，CABACO，BCDCAB.CABCEB，BCDCEB.D90，CDBEDC，.BD2，BE4，DE6，解得解得CD2 (负值已舍去负值已舍去)，BC的长为的长为4.CDBDEDCD=26CDCD=3221244BCCDBD 例10题图例例11如图，如图，AB是是O的直径，的直径，PBAB，过点，过点B作作BCOP交交 O于点于点C，垂足为，垂足为D，连接，连接
38、PC并延长与并延长与BA的延长线交于点的延长线交于点M.若若 ，求，求 的值的值=19ODDPMCCP例11题图解：如解图，连接解：如解图，连接OC、AC.OCOB，BCOP，COPBOP，OPOP，PBOPCO，OCPOBP，PBAB，ABP90，OCP90，OCPCDO90，OCDCPO，OCDOPC，OC2ODOP.OCODOPOC=例11题图 ，设设ODx，则，则PD9x，OP10 x，OC x，CD3x，AB2 x，BC6x.AC 2x.ACMACOOCDACO90，ACMOCD，ACMCPO，ACOP，ACMOPM，.19ODDP=101022ABBC 21105CMACxPMOP
39、x=14MCCP=例11题图满 分 技 法满 分 技 法运用切线的性质进行计算或证明时，常作的辅助线有连接圆心、切点和运用切线的性质进行计算或证明时，常作的辅助线有连接圆心、切点和构造直径所对的圆周角，然后利用垂直构造直角三角形解决问题；观察构造直径所对的圆周角，然后利用垂直构造直角三角形解决问题；观察题干，若题干中含题干，若题干中含30、45、60或或“等腰直角三角形等腰直角三角形”、“等边三角等边三角形形”等，则常用锐角三角函数或者勾股定理；若不含，则常用相似三角等，则常用锐角三角函数或者勾股定理；若不含，则常用相似三角形形例例12如图，如图，AB是是O的直径，的直径，BC是是O的弦，过点
40、的弦，过点C作作O的切线的切线CD，交交BA的延长线于点的延长线于点D，E是是OB的中点，过点的中点，过点E作作EFBD，交，交DC的延长的延长线于点线于点F.求证：求证：F2B.突破设问突破设问3与角度有关的问题与角度有关的问题CD是是O的切线，的切线，OCF90.EFAB，FED90，FCOB180.COBCOD180，FCOD.COD2B，F2B.证明：如解图，连接证明：如解图，连接OC.例12题图例例13如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，以，以AB为直径的为直径的O交交BC于点于点D，连接连接OD，过点，过点D作作O的切线的切线DE，交，交AC于点于点E.求证：求证：DEAC.突
41、破设问突破设问4证明线段数量、位置关系证明线段数量、位置关系例13题图证明：证明：OBOD，ABCODB.ABAC，ABCACB，ODBACB，ODAC.DE是是O的切线，的切线，OD是是O的半径，的半径，DEOD.DEAC.例14题图例例14如图，如图，AB是是O的直径，的直径，AC是是O的切线，且的切线，且ABAC，连接，连接BC、CO，过点，过点A作作ADCO于点于点D，延长，延长AD，交，交O于点于点F，连接，连接BF.求证：求证：ADBF.证明：证明：AB是是O的直径，的直径，F90.FABFBA90，AC是是O的切线，的切线，CAB90，FABCAF90.FBACAF，ABAC，F
42、CDA90，CADABF，ADBF.例15题图例例15如图，如图，ABC是是O的内接三角形，的内接三角形，AB为为O的直径，过点的直径，过点C作作O的切线，交的切线，交AB的延长线于点的延长线于点D，CE平分平分ACB交交O于点于点E，连接，连接BE.当当D30时，求证：时，求证：AB2BD.CD为为O的切线，的切线，OCD90.D30，COD60.OAOCOB，A30，OCB为等边三角形，为等边三角形，BCD30，BCBDOB.AB为为O的直径，的直径，AB2OB.AB2BD.证明：如解图，连接证明：如解图，连接OC，满 分 技 法满 分 技 法证明两线段相等的方法：证明两线段相等的方法：(1)若所证两线段相连不共线，则可以考虑将两条线段放到一个三角形若所证两线段相连不共线，则可以考虑将两条线段放到一个三角形中，利用等腰三角形或等边三角形等角对等边来证明；中，利用等腰三角形或等边三角形等角对等边来证明；(2)若所证两线段不共线但在有公共边的两个三角形中，则可以考虑利若所证两线段不共线但在有公共边的两个三角形中，则可以考虑利用全等三角形来证明；用全等三角形来证明；(3)若所证两线段平行，则可以考虑特殊四边形对边相等来证明若所证两线段平行，则可以考虑特殊四边形对边相等来证明
