1、专题五圆的综合题专题五圆的综合题例例 如图，在如图，在ABC中，中，ACB90，AC6，且，且tanABC ，以，以AB边上的点边上的点O为圆心，为圆心，2为半径作为半径作O，作，作OMBC，与，与O在直线在直线AB上方的部分交于点上方的部分交于点M，连接，连接AM，点，点Q为为AM的中点的中点典例精讲典例精讲一题多设问一题多设问34图(1)如图，当点如图，当点O为为AB中点时，则中点时，则SAOM_；【思维教练】在直角三角形中遇到斜边中点时，常作两种辅助线：中【思维教练】在直角三角形中遇到斜边中点时，常作两种辅助线：中位线、斜边中线位线、斜边中线在在ABC中，中，ACB90，AC6，且，且t
2、anABC ，BC8，AO BO，OF为为ABC的中位线，的中位线，OF BC 84，SAOM OMOF 244.3412121212例题解图4【解法提示】如解图，过点【解法提示】如解图，过点O作作OFBC，交，交AC于点于点F，F例题解图【思维教练】注意点【思维教练】注意点Q为为AM的中点的中点(2)如图，当点如图，当点O与点与点A重合时，连接重合时，连接BQ，则，则tanQBC_；例题图【解法提示】【解法提示】由由(1)得得BC8.在在RtBCQ中，中，CQCAAQ617，tan QBC .CQBC7878【思维教练】求圆中的弦长时，常常用到垂径定理【思维教练】求圆中的弦长时，常常用到垂径
3、定理(3)如图，当如图，当O经过点经过点B时，求时，求O被被BC截得的弦长；截得的弦长；(3)由由(1)得得BC8，AB10.如解图，当如解图，当O经过点经过点B时，延长时，延长MO交交BC于点于点H，设，设O与与BC交于交于另一个点另一个点D.在在RtOBH中，中，BO2，cosABC ，BH ，BD2BH .BHOB2BHBCAB4585165DH例题解图【思维教练】确定四边形的形状，再根据相似图形的性质求解【思维教练】确定四边形的形状，再根据相似图形的性质求解(4)当当O与与AM相切时，延长相切时，延长MO交交BC于点于点P.求四边形求四边形MPCA的周长；的周长；(4)如解图，当如解图
4、，当O与与AM相切时，相切时，OMAM.在四边形在四边形MPCA中，中，AMPMPCC90，四边形四边形MPCA是矩形，是矩形，AMBC，MAOB，AOMBAC，例题解图 ，即，即 ，解得解得AM ，四边形四边形MPCA的周长的周长2AC2AM262 12 ；OMAMACBC2AM688383163523例题解图【思维教练】直角三角形的外心为斜边中点【思维教练】直角三角形的外心为斜边中点直接写出直接写出AOM的外心与的外心与BOP的外心之间的距离；的外心之间的距离；【解法提示】【解法提示】AOM与与BOP都是直角三角形，都是直角三角形，它们的外心均为它们的外心均为斜边中点，斜边中点，两个外心之
5、间的距离为两个外心之间的距离为 OA OB (OAOB)AB 105.12121212125；例题图【思维教练】点【思维教练】点O在在AB上，上，O与与ABC的边相切，则可分两种情况的边相切，则可分两种情况讨论：与边讨论：与边BC相切，与边相切，与边AC相切，利用切线的性质与三角函数求相切，利用切线的性质与三角函数求解解(5)当当O与与ABC的边相切时，求的边相切时，求OB的长；的长；(5)如解图，当如解图，当O与与BC相切于点相切于点N时，连接时，连接ON，ONBC.在在RtOBN中，中，NO2，sinOBN ，OB .ONOB2OBACAB35103例题解图如解图，当如解图，当O与与AC相
6、切于点相切于点N时，连接时，连接ON，ONAC.在在RtOAN中，中，NO2，cosAON ，OA ，OBABOA10 ；OB的长为的长为 或或 ；ONOA2OABCAB455252152152103例题解图【思维教练】利用垂线段最短及三角函数求解【思维教练】利用垂线段最短及三角函数求解(6)连接连接CQ，直接写出，直接写出CQ长度的最小值长度的最小值【解法提示】如解图，【解法提示】如解图，过点过点M作作MRAB，垂足为，垂足为R，延长，延长MO交交BC于点于点T，过，过Q作作QSAB，交，交AB于点于点S，连接，连接CS，例题解图RTS(6)285MORBOT，90MOR 90BOT，即即O
7、MRB，cosOMR ，MR ，QS MR ，当当Q、S、C三点共线，即三点共线，即CQAB时，时，CQ有最小值，有最小值，则则CSBCsinABC8 ，CQCSQS .MROM2MR454545851235245245285温馨提示：点击即可跳转温馨提示：点击即可跳转到对应到对应gsp文件。文件。1.(2022河北河北25题题10分分)如图，点如图，点A在数轴上对应的数为在数轴上对应的数为26，以原点，以原点O为为圆心，圆心，OA为半径作优弧为半径作优弧 ，使点，使点B在在O右下方，且右下方，且tanAOB .在在优弧优弧 上任取一点上任取一点P，且能过，且能过P作直线作直线lOB交数轴于点
8、交数轴于点Q，设，设Q在数在数轴上对应的数为轴上对应的数为x，连接，连接OP.(1)若优弧若优弧 上一段上一段 的长为的长为13，求，求AOP的度数及的度数及x的值；的值；对接中考对接中考ABABABAP43第1题图备用图1.解：解：(1)根据题意，优弧根据题意，优弧 所在圆的半径所在圆的半径OA26，由弧长公式得，由弧长公式得 13，解得，解得n90，AOP90.(1分分)PQOB，PQOAOB，在在RtPOQ中，中，OQ ，x ；(3分分)26180n tanPOPQO tanPOAOB 2643392392AB第1题图(2)求求x的最小值，并指出此时直线的最小值，并指出此时直线l与与 所
9、在圆的位置关系；所在圆的位置关系；ABPQOB，OPQ90，OQPAOB，tanOQP tanAOB .设设OP4k，则，则PQ3k，由勾股定理得，由勾股定理得OQ 5k，OQ OP ，(5分分)x .(6分分)这时直线这时直线l与所在的圆的位置关系是相切；与所在的圆的位置关系是相切；(7分分)OPPQ4322OPPQ 54652652第1题解图QlP(2)点点Q在点在点O的左侧，且距离点的左侧，且距离点O最远时最远时x取得最小值，此时，取得最小值，此时，PQ与与 所在的圆相切，如解图所示，所在的圆相切，如解图所示，AB(3)若线段若线段PQ的长为的长为12.5，直接写出这时，直接写出这时x的
10、值的值 【解法提示】【解法提示】当点当点P在如解图所示的位置时，过点在如解图所示的位置时，过点P作作PMOA于点于点M，第1题解图在在RtPMQ中，中，tanPQMtanAOB ，sinPQM ，PM PQ10，MQ PQ7.5，在在RtOPM中，中，OM 24，xOMMQ247.531.5；4345453522OPPM 222610 MPQ同理可得同理可得OM24，MQ7.5，则，则OQOMMQ247.516.5，x16.5；第1题解图当点当点P在如解图所示的位置时，过点在如解图所示的位置时，过点P作作PMOA于点于点M，当点当点P在如解图所示的位置时，过点在如解图所示的位置时，过点P作作P
11、MOA于点于点M，同理可得同理可得OM24，MQ7.5，则，则OQOMMQ247.531.5，x31.5.综上所述，这时综上所述，这时x的值为的值为31.5或或16.5或或31.5.第1题解图MPQMPQ(3)x的值为的值为31.5或或16.5或或31.5.(10分分)2.如图，以如图，以BC为直径的半圆为直径的半圆O上有一动点上有一动点F，点，点E为为 的中点，连接的中点，连接BE、CF相交于点相交于点M，延长，延长CF到到A点，使得点，使得ABAM，连接，连接CE，BF.(1)判断直线判断直线AB与与O的位置关系，并说明理由；的位置关系，并说明理由；CF第2题图解：解：(1)直线直线AB与
12、与O相切相切理由：理由：点点E为为 的中点，的中点，ECFEBC，ABAM，ABMAMBEMC，CFCEEFBC为半圆为半圆O的直径，的直径，E90，ECFEMC90，EBCABM90，ABBC，OB为半圆为半圆O的半径，的半径，直线直线AB与与O相切；相切；第2题图(2)若若AFFM，试说明，试说明 的值是否为定值？如果是，求出此值，的值是否为定值？如果是，求出此值，如果不是，请说明理由；如果不是，请说明理由；BFBCBE 第2题图(2)的值是定值的值是定值BC为半圆为半圆O的直径，的直径，BFC90，即，即BFAC，AFFM，ABBM，ABAM，ABM是等边三角形，是等边三角形，BFBCB
13、E 3ABFFBE30，点点E为为 的中点，的中点，EBCFBE30，在在RtBCE中，中，BEBCcos30 BC，FCBBAF90，BAFABF90，FCBABF30，在在RtBFC中，中，BFBCsin30 BC，；BFBCBE CF321232BCBCBC 12第2题图(3)若若tanACB ，BM10.求求EC的长的长512第2题图(3)由由(2)得得ACBABF.tanACB ，tanABF ，设设AF5k，则，则BF12k，AB 13k，ABAM，AM13k，FMAMAF13k5k8k，BM10，在，在RtBFM中，中，BF2FM2BM2，即，即(12k)2(8k)2102，k
14、，5125125 132622AFBF BF ，FM ，在在RtBFC中，中，tanACB ，CF ，CMCFFM ，FMBEMC，FBMECM，FBMECM，即，即 ，EC12.51230 131320 131372 13134 13104 13BFCFECFBCMBM30 1313EC第2题图类型二旋转问题类型二旋转问题典例精讲典例精讲例例 如图，延长如图，延长O的直径的直径AB，交直线，交直线DG于点于点D，且且BD AB10，ADG60.射线射线DM从从DG出发绕点出发绕点D逆时针旋逆时针旋转，旋转角为转，旋转角为；同时，线段；同时，线段OC从从OB出发绕点出发绕点O逆时针旋转，旋转角
15、逆时针旋转，旋转角为为2，直线，直线AC与射线与射线DM相交于点相交于点H，与直线，与直线DG相交于点相交于点F，其中，其中00)，用含，用含x的代数式表示的代数式表示BN的长，并求的长，并求x的取值范围；的取值范围；拓展拓展ANOBNM，OANMBN，OANMBN，即，即 .解得解得BN .(10分分)如解图，当点如解图，当点Q落在落在BC上时，上时，x取最大值，取最大值，过点过点K作作QFAD于点于点F.则则BQAF AO 12 1，x的取值范围是的取值范围是0 x2 1；(11分分)OAMBANBN1x1BNBN 1xx 22OQQF 2231 22第2题解图探究当半圆探究当半圆K与矩形
16、与矩形ABCD的边相切时，求的边相切时，求sin的值的值(2)在在OQ旋转旋转过程中，简要说明过程中，简要说明是多少时，点是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最间的距离最小？并指出这个最小值；小值；探究当半圆探究当半圆K与与BC相切时，设切点为相切时，设切点为T，如解图，设直线，如解图，设直线KT与与AD和和OQ的初始位置所在直线分别相交于点的初始位置所在直线分别相交于点S、O，则，则KSOKTB90，过点，过点Q作作KGOO于点于点G，由，由(3)得得KPTKKQ .OKOQKQ ，SKSTTK .在在RtOSK中，中，OS 2，12523222OKSK 2253()()22 第2题解
17、图在在RtOSO中，中，SOOStan602 ，KO2 ，在在RtKGO中，中，O30，KG KO .在在RtOGK中，中，sin ；(12分分)333212334KGOK33452 4 3310 第2题解图当半圆当半圆K与与AD相切时，设切点是相切时，设切点是T，如解图，同理可得：，如解图，同理可得：sin ；(13分分)当半圆当半圆K与与CD相切时，点相切时，点Q与点与点D重合，且为切点，重合，且为切点，60，sinsin60 .综上所述，综上所述，sin的值是的值是 或或 或或 .(14分分)KGOK1252OT1()252OTKT 22511()()322256 2110 32326
18、2110 4 3310 第2题解图类型三动圆问题类型三动圆问题典例精讲典例精讲例例 如图，线段如图，线段AB3，射线，射线AMAB，点，点O是射线是射线AM上的一个动点上的一个动点(不与点不与点A重合重合)，以点，以点O为圆心，为圆心，OA为半径，为半径，在在AM上方作半圆上方作半圆O交交AM于另一点于另一点C，过点，过点B作作BD与半圆与半圆O相切于点相切于点D，射线射线BD交射线交射线AM于点于点E，过点，过点E作作EFBO交交BO的延长线于点的延长线于点F，连，连接接OD.(1)BD_；(10年年3考：考：2023.26，2022.25，2022.25)一题多设问一题多设问3例题图(1)
19、【思维教练】运用切线长定理求解【思维教练】运用切线长定理求解【解法提示】【解法提示】AMAB，AB为半圆为半圆O的切线的切线BD为半圆为半圆O的切线，的切线，BDBA3.例题图(2)求证：求证：AOBFEB；(2)【思维教练】根据两个角相等的三角形为相似三角形证明【思维教练】根据两个角相等的三角形为相似三角形证明(2)证明：证明：AMAB，AB为半圆为半圆O的切线的切线BD为半圆为半圆O的切线，的切线，ABOFBE.又又BAOBFE90，AOBFEB；例题图(3)若若tan AOB ，求，求sin ACB；【思维教练】利用三角函数与勾股定理求解【思维教练】利用三角函数与勾股定理求解32(3)解
20、：在解：在RtAOB中，中，AB3，tanAOB ，即，即 ，AO2，AC2AO4.在在RtABC中，中，BC 5，sin ACB ；3222ABAC 2234 ABBC35ABAO323AO32例题图(4)如图，当如图，当ABE60时，设时，设OB交半圆交半圆O于点于点N，连接，连接AN，DN.判断四边形判断四边形AODN的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；【思维教练】利用等边三角形判断【思维教练】利用等边三角形判断例题图(4)解：四边形解：四边形AODN是菱形是菱形理由：由理由：由(2)得得ABO ABE30，AON90ABO60.又又OAON，AON为等边三角形同理可得，为等边三角形
21、同理可得，DON为等边三角形为等边三角形ANOAODDN，四边形四边形AODN是菱形；是菱形；12设设AON的内心为的内心为P，DON的外心为的外心为Q，连接，连接PQ，判断，判断PQ与与EF的位置关系，并证明你的结论；的位置关系，并证明你的结论；【思维教练】运用菱形对角线的性质判断【思维教练】运用菱形对角线的性质判断例题解图PQEF；证明：如解图，连接；证明：如解图，连接AD，由得，四边形由得，四边形AODN是菱形，是菱形，AD平分平分OAN，且垂直平分，且垂直平分ON.AON的内心为的内心为P，DON的外心为的外心为Q，AON与与DON均为等边均为等边三角形，三角形，点点P，Q都在都在AD
22、上，且上，且PQBF.EFBF，PQEF；(5)如图，若线段如图，若线段EF与与O有公共点有公共点OA的最大值为的最大值为_；【思维教练】要想线段【思维教练】要想线段EF与与O有公共点，则当有公共点，则当O与与EF相切于点相切于点F时为临界状态时为临界状态EFOF，EF为为O的切线的切线由切线长定理，得由切线长定理，得ABODBO，FEODEO.AF90，AOBFOE，ABOFEO，ABODBODEO.例题解图【解法提示】如解图，当点【解法提示】如解图，当点F在在O上时，上时，FOEAOBDBODEO2ABO，AOB2ABO，A90，ABO 9030，OAABtan 303 .当当O 的半径的
23、半径OA满足满足0OA 时，线段时，线段EF与与O有公共点，有公共点，OA的最大值为的最大值为 .1333333例题解图3直接写出阴影部分的面积直接写出阴影部分的面积S的取值范围的取值范围【思维教练】运用和差法求解阴影部分面积【思维教练】运用和差法求解阴影部分面积【解法提示】【解法提示】由得，当点由得，当点F在在O上时，上时，ODOA ，DEOABO30.BE为为O的切线，的切线，ODE90.DOE90DEO60，DEODtan 60 3，333例题图SDOE ODDE 3 ，S扇形扇形COD ，SSDOE S扇形扇形COD .观察图形可知，观察图形可知，S随随OA的减小而减小，的减小而减小，
24、S的取值范围为的取值范围为0S .3123 32 2603360 2 3 322 2 3 3200)，点，点E在数轴上对应的数为在数轴上对应的数为x.(1)用含用含t的式子表示的式子表示OC的长为的长为_，当点，当点E与点与点C重合时，重合时，x_；第1题图第1题图【解法提示】如解图，连接【解法提示】如解图，连接CD，由题意可知，由题意可知OFt，则，则OD2t，OD是半圆是半圆F的直径，的直径，OCD90，tan AOB ，cos AOB ，即，即 ，OC t；由题意可知，；由题意可知，AE2t，则，则OE162t，当点，当点C与点与点E重重合时，合时，OCOE162t，OC t，t162t
25、，解得，解得t5，OE162t6，即点，即点E在数轴上对应的数为在数轴上对应的数为6，x6.433535352OCt656565OCOD第1题解图(1)665t,(2)若若DE与半圆与半圆F相切，求相切，求x；(2)如解图，如解图，DE与半圆与半圆F相切，相切，DEFD，即，即ODE90，ODEOCD.DOECOD，ODEOCD，.OE162t，OC t，OD2t，解得，解得t3，OE162t10，即点即点E在数轴上对应的数为在数轴上对应的数为10，x10.OEODODOC1622tt 265tt65第1题解图(3)如图，当如图，当t 时，半圆时，半圆F与与DE的另一个交点为的另一个交点为G，
26、求，求OED的的度数及度数及 的长；的长；103CG当当t 时，则时，则OE162t ，OC t4，FO ，CEOEOC 4 ，OD是半圆是半圆F的直径，的直径，OCDDCE90，10310328365283163(3)如解图，连接如解图，连接CD，FG，FC，第1题图tan AOB ，即，即 ，DC ，DCCE，OEDCDE45，CFG2CDE90，的长为的长为 .43DCOC43434DC163CG10903180 53第1题图(4)若半圆若半圆F与线段与线段DE只有一个公共点，直接写出只有一个公共点，直接写出x的取值范围的取值范围 【解法提示】由【解法提示】由(2)知，当知，当DE与半圆
27、与半圆F相切时，相切时，t3，当当0t3，即，即10 x16时，半圆时，半圆F与线段与线段DE只有一个公共点；当只有一个公共点；当DEOA时，此时时，此时C与与E重合，由重合，由(1)知知t5，当当5t8，即，即0 x6时，半圆时，半圆F与线段与线段DE只有一个公共点只有一个公共点；综上所述，当半圆；综上所述，当半圆F与线段与线段DE只有一个公共点时，只有一个公共点时，x的取值范围为的取值范围为0t6或或10 x16.(4)0 x6或或10 x16.温馨提示：点击即可跳转温馨提示：点击即可跳转到对应到对应gsp文件。文件。2.(2023河北河北25题题10分分)如图和，如图和，ABCD中，中，
28、AB3，BC15，tanDAB .点点P为为AB延长线上一点，过点延长线上一点，过点A作作O切切CP于点于点P，设，设BPx.(1)如图，如图，x为何值时，圆心为何值时，圆心O落在落在AP上？若此时上？若此时O交交AD于点于点E，直，直接指出接指出PE与与BC的位置关系；的位置关系；43 【解法提示】【解法提示】AP为为O的直径，的直径，AEP90，即，即PEAD，ADBC，PEBC.解：解：(1)圆心圆心O落在落在AP上，即上，即AP为为O的直径，的直径，四边形四边形ABCD为平行四边形，为平行四边形，ADBC，第2题图DABCBP,tanCBPtanDAB ，CP为为O的切线，的切线，BP
29、C90，BPx，tanCBP ，CP x，在在RtCBP中，中，BP2PC2BC2，即即x2(x)2152，解得，解得x9(负值舍去负值舍去)；即即x为为9时，圆心时，圆心O落在落在AP上；上；(2分分)垂直；垂直；(4分分)43CPBPCPx434343图(2)当当x4时，如图，时，如图，O与与AC交于点交于点Q，求，求CAP的度数，并通过的度数，并通过计算比较弦计算比较弦AP与劣弧与劣弧 长度的大小；长度的大小；PQ(2)如解图，过点如解图，过点C作作CMAB交交AB的延长线于点的延长线于点M，过点，过点O作作OFAB交交AB的延长线于点的延长线于点F，连接，连接OP，OQ，由由(1)可知
30、可知BM9，CM 912，AB3，AMABBM12CM，CAP45，POQ2CAP90，x4，43第2题图FM PM5，AP7，在在RtCPM中，中，CP 13，OFAP，PF AP ，CP为为O的切线，的切线，OPCP，OPFCPM90，PCMCPM90，OPFPCM，RtOPFRtPCM，22CMPM 221215 1272第2题解图FM ，即，即 ，解得解得OP .l ，7，l 0.由由(1)得，当得，当增大到增大到30时，点时，点A在优弧在优弧 上，上，(8分分)当当030时，点时，点A在在 O内，线段内，线段BA与优弧与优弧 只有一个公共只有一个公共点点B；由由(2)知，知，增大到增
31、大到60时，时，BA与与O相切，即线段相切，即线段BA与优弧与优弧 只有只有一个公共点一个公共点B，当，当继续增大时，点继续增大时，点P逐渐靠近点逐渐靠近点B，点点P，B不重合，不重合，(9分分)OBP90.ABABAB第1题解图OBAOBP，OBA30，120.(10分分)当当60120时，线段时，线段BA与优弧与优弧 只有一个公共点只有一个公共点B，综上所述，综上所述，的取值范围是的取值范围是030或或60120.(11分分)AB第1题解图2.已知，在半径为已知，在半径为2的扇形的扇形AOB中，中，AOBm(0m180)，点，点C是是 上的一个动点，直线上的一个动点，直线AC与直线与直线O
32、B相交于点相交于点D.(1)如图，当如图，当0m90，BCD是等腰三角形时，求是等腰三角形时，求D的大小的大小(用用含含m的代数式表示的代数式表示)；AB解：解：(1)点点C在在 上，上，OBC为锐角，为锐角，CBD为钝角，为钝角，则则BCD是等腰三角形时，仅有是等腰三角形时，仅有BCBD这一种情况，这一种情况，DBCD，AB第2题图如解图，连接如解图，连接OC，则，则OAOCOB，OACOCA，OCBOBC，OBCDBCD2D，在在OCB中，中，COB2D2D180，COB1804D.AOCmCOBm4D180，OAC (180AOC)180 2D，在在AOD中，中，mOADD180，180
33、 D180，D ；122m 2m 2m 第2题解图(2)如图，当如图，当m90，点，点C是是 的中点时，连接的中点时，连接AB，求，求 的值；的值；ABABDABCSS AOB90，AOBO.OABOBA45.C为为 的中点，的中点，ACBC，AOCBOC，BACABC.AB(2)如解图，过点如解图，过点D作作DMAB交交AB的延长线于点的延长线于点M，连接，连接OC与与AB交于点交于点N，第2题图NMOAOCOB，OACOCAOCBOBC，ACOBCO (36090)135，BCD45，45ODAABCABO45ABC，ABCADOBAC，BDAB 2 ，1222DAOB 2第2题图NMMB
34、DOBA45，BMDM2，AMABBM2 2，AN AB ，又又CNAB，DMAB，ANCAMD，2 ；2212CNDMANAMABDABCSS ANAM2第2题图NM(3)将将 沿沿AC所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与OB所在的直线相所在的直线相切于点切于点E，且，且OE1时，求线段时，求线段AD的长的长AC当点当点E在点在点O的右侧时，的右侧时，点点A、E、C在半径为在半径为2的另一个圆上，的另一个圆上，OE2，OE1，OO ，又又OAOC2，OAOC2，四边形四边形AOCO是菱形，是菱形，5第2题解图(3)如解图，如解图，ACOO，垂足为点，垂足为点P，且，且AC、OO互相平分，且互相平分，且OOE共角，共角，OOEDOP，且，且OP OO ，OPOP .DP ，AP ，ADAPPD .当点当点E在点在点O的左侧时，同理可得的左侧时，同理可得AD .综上所述，综上所述，AD的长为的长为 或或 .DPO EOPOE125252522O AO P 2542 1121121121121125555第2题解图
