1、 考点精讲考点精讲1 重难点分层练重难点分层练2 内蒙古中考真题及拓展内蒙古中考真题及拓展3正方形的性质与判定概念性质判定面积公式中点四边形平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系从边、角的角度看从对角线的角度看正方形考点精讲考点精讲【对接教材】北师：九上第一章【对接教材】北师：九上第一章P20P25；人教：八下第十八章人教：八下第十八章P58P63.1考点考点 正方形的性质与判定正方形的性质与判定概念概念有一组邻边相等，并且一个角是直角的平行四边形叫做正方形有一组邻边相等，并且一个角是直角的平行四边形叫做正方形性质性质1.边：边：(1)四条边都四条边都_；(2)两组对边分别平行；两组对边分别平行
2、；2.角：四个角都是直角；角：四个角都是直角；3.对角线：对角线对角线：对角线_，每条对角线平分一组对角；，每条对角线平分一组对角；4.对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形，有对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形，有4条对称轴，对称条对称轴，对称轴是两条对角线所在直线及两组对边的垂直平分线，对称中心是对角线轴是两条对角线所在直线及两组对边的垂直平分线，对称中心是对角线的交点的交点相等相等互相垂直平分且相等互相垂直平分且相等判定判定1.有一组有一组_相等的矩形是正方形；相等的矩形是正方形；2.有一个角是有一个角是_的菱形是正方形；的菱形是正方形；3.对角线对角线_的矩形是正方形；的矩形是
3、正方形；4.对角线对角线_的菱形是正方形的菱形是正方形面积公式面积公式Sa2 l2(a为正方形的边长，为正方形的边长，l表示正方形对角线的长表示正方形对角线的长)12邻边邻边直角直角(或或90)互相垂直互相垂直相等相等2考点考点 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系从边、角从边、角的角度看的角度看从对角线从对角线的角度看的角度看相等相等直角直角(或或90)直角直角(或或90)相等相等3考点考点 中点四边形中点四边形概念概念依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形原图形原图形任意四边形任意四边形矩形矩形菱形菱形正方形
4、正方形中点四边形形状中点四边形形状平行四边形平行四边形菱形菱形矩形矩形正方形正方形原图形原图形对角线相等的四对角线相等的四边形边形对角线垂直的四对角线垂直的四边形边形对角线垂直且相对角线垂直且相等的四边形等的四边形 中点四边形形状中点四边形形状菱形菱形矩形矩形正方形正方形【满分技法】连接特殊四边形中点的四边形面积是原图形的一半【满分技法】连接特殊四边形中点的四边形面积是原图形的一半重难点分层练重难点分层练回顾必备知识回顾必备知识例例1一题多设问一题多设问如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，对角中，对角线线AC，BD相交于点相交于点O，满足：，满足：AOBO，ACBD，ABBC，AB
5、C90.从上述条件中，任意选取两个条件，证明平行四边形从上述条件中，任意选取两个条件，证明平行四边形ABCD是正方形是正方形例1题图【解法一】选择条件：【解法一】选择条件：_(填序号填序号)；证明：证明：【判定依据】用到的正方形的判定定理为【判定依据】用到的正方形的判定定理为 _.例1题图 ABBC，平行四边形平行四边形ABCD是菱形是菱形AOBO，ACBD，平行四边形平行四边形ABCD是正方形；是正方形；对角线相等的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形【解法二】选择条件：【解法二】选择条件：_(填序号填序号)；证明：证明：【判定依据】用到的正方形的判定定理为【判定依据】用到的正方形的判定定理
6、为_.ACBD，平行四边形平行四边形ABCD是菱形是菱形又又ABC90，平行四边形平行四边形ABCD是正方形是正方形有一个角为直角的菱形是正有一个角为直角的菱形是正方形方形例1题图例例2一题多设问一题多设问如图，正方形如图，正方形ABCD的对角线的对角线AC与与BD交于点交于点O.例2题图(1)AOD的度数为的度数为_；(2)若若AB2，则，则AC_；(3)若若AC5 ，则正方形，则正方形ABCD的面积的面积为为_；(4)若若OBC的面积为的面积为4，则正方形，则正方形ABCD的周长为的周长为_902 225162提升关键能力提升关键能力一题多设问一题多设问例例3在边长为在边长为4的正方形的正
7、方形ABCD中，点中，点E是边是边BC上一点，点上一点，点F是边是边CD上一点，上一点，连接连接AE、BF相交于点相交于点G，连接，连接AF.例3题图例3题图(1)如图如图，连接，连接EF，若，若CECF1，则，则AEF的面积为的面积为 _，点，点E到到AF的距离为的距离为_；【解法提示】【解法提示】四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，BCCD4，CECF1，BEDF3，SAEFS正方形正方形ABCDSABESADFSCEF442 43 11 ；121272例3题图如解图如解图，过点，过点E作作EHAF于点于点H，H在在RtADF中，中，AF 5，SAEF AFEH ，22ADDF 127
8、2727255 EH ，点点E到到AF的距离为的距离为 .757275解：解：，；(2)如图如图，若，若CEDF.求证：求证：ABEBCF；例3题图(2)证明：证明：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABBCCD，ABCBCF90.CEDF，BECF.在在ABE和和BCF中，中，,ABBCABEBCFBECF ABEBCF(SAS)；例3题图若若CEDF1，则，则GF的长为的长为_；135【解法提示】由【解法提示】由得，得，ABEBCF，BAECBF，BAE BEA 90，GBE GEB 90，BGE 90，cosEBG ，BG BE 3 ，GF BF BG 5 .45BGBC=BEBF
9、 4545125125135(3)如图如图，若点，若点E、F分别是分别是BC、CD的中点，点的中点，点P、Q分别是分别是AE、BF的中点，连接的中点，连接PQ，求，求PQ的长；的长；例3题图(3)解：如解图解：如解图，连接，连接BP并延长交并延长交AD于点于点K，连接，连接KF，四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABCDBCAD4，ADBC，D90，PAKPEB，AKPEBP.点点P是是AE的中点，的中点，APEP.K例3题图K在在APK和和EPB中，中，APKEPB(AAS)，AKEB，PKPB.点点E、F分别是分别是BC、CD的中点，的中点，BEDF2，AKDK2，,AKPEBPPA
10、KPEBAPEP 例3题图K在在RtKDF中，中，KF .点点Q是是BF的中点，点的中点，点P是是BK的中点，的中点，PQ是是BKF的中位线，的中位线，PQ KF ；222 2DKDF 122(4)如图如图，若点，若点E是是BC的中点，的中点，CF3DF，求，求AGF的面积；的面积；例3题图(4)解：如解图解：如解图，过点，过点F作作FMAB于点于点M，过点，过点G作作GNAB于点于点N，正方形正方形ABCD的边长为的边长为4，点，点E是是BC的中点，的中点，CF3DF，BE2，CF3.GNAB，FMAB，MFBC4，BMCF3，GNFM，BNGBMF，即，即 .BNNGBMMF=34BNBM
11、NGMF=MN例3题图MN设设BN3x，则，则NG4x，AN43x，GNAB，EBAB，ANGABE，即即 ，解得，解得x ，NG4x=SAGFSABFSABGANNGABBE=4 3442xx-=411161122AB FMAB NG鬃-1644 456112211=-=(5)如图如图，连接，连接EF，当，当AEF是等边三角形时，求是等边三角形时，求AEB的度数和的度数和CF的长；的长；例3题图(5)解：解：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABCDBAD90，ABBCCDAD4.AEF是等边三角形，是等边三角形，AEAF，EAF60.在在RtABE和和RtADF中，中，,AEAFAB
12、AD 例3题图RtABERtADF(HL)，BAEDAF，AEBAFD，BAEDAF90EAF30，BAEDAF15.AEB90BAE75.如解图，在如解图，在AD上取一点上取一点J，使，使JFADAF15，JAJFJ，DJF30，DF FJ AJ，DJ DF.12123例3题图J设设DFx，则，则DJ x，AJFJ2x，AJDJAD，2x x4，解得，解得x84 ，DF84 ，CFCDDF4(84 )4 4；333333(6)如图如图，EAF45，连接，连接EF.求证：求证：EFBEDF；例3题图(6)证明：证明：如解图，把如解图，把ADF绕点绕点A顺时针旋转顺时针旋转90至至ABO，由旋转
13、性质可知由旋转性质可知BAODAF，AFAO，BAD90，EAF45，BAEDAF45，BAEBAO45，EAFOAE.ABOD90，点点O、B、E共线共线O例3题图O在在AFE和和AOE中，中，AFEAOE(SAS)，EFEO，即即EFBEBOBEDF；,AFAOEAFEAOAEAE 例3题图连接连接BD交交AE于点于点H，连接，连接HF，求证：，求证：AHF是等腰直角三角形是等腰直角三角形如解图，设如解图，设BD与与AF交于点交于点I，IHAIIDF45，AIHDIF，AHIDFI，即，即 .又又AIDFIH，ADIHFI，HFIADI45，HAFHFA45，AHF是等腰直角三角形是等腰直
14、角三角形AIHIDIFI=AIDIHIFI=内蒙古中考真题及拓展内蒙古中考真题及拓展 与正方形有关的证明与计算与正方形有关的证明与计算1.已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次按逆时针依次排列，若排列，若A点的坐标为点的坐标为(2，)，则，则B点与点与D点的坐标分别为点的坐标分别为()3A.(2，)，(2，)B.(，2)，(，2)C.(，2)，(2，)D.()，()33333372122，72122，B命题点命题点2.如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中，AB1，点，点E、F分别在边分别在边BC和和CD上，上，AEAF，EAF6
15、0，则，则CF的长是的长是()第2题图A.B.C.D.31 23323+14C3.如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中，E是对角线是对角线BD上一点，上一点，AE的延长线交的延长线交CD于点于点F，连接，连接CE.若若BAE56，则则CEF_.第3题图4.已知正方形已知正方形ABCD的面积是的面积是2，E为正方形一边为正方形一边BC在从在从B到到C方向的延方向的延长线上的一点，若长线上的一点，若CE ，连接，连接AE，与正方形另一边，与正方形另一边CD交于点交于点F，连接连接BF并延长，与线段并延长，与线段DE交于点交于点G，则，则BG的长为的长为_2222 1035.如图，如图，BD是
16、正方形是正方形ABCD的一条对角线，的一条对角线，E是是BD上一点，上一点，F是是CB延延长线上一点，连接长线上一点，连接CE，EF，AF.若若DEDC，EFEC，则，则BAF的度的度数为数为_第5题图22.56.如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为2 ，点，点E是是BC的中点，连接的中点，连接AE与对角与对角线线BD交于点交于点G，连接，连接CG并延长，交并延长，交AB于点于点F，连接，连接DE交交CF于点于点H，连，连接接AH.以下结论：以下结论：CFDE；GH ；ADAH，其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是_第6题图523CHHF 2537.如图，正方形如图，正方形AB
17、CD，G是是BC边上任意一点边上任意一点(不与不与B、C重合重合)，DEAG于点于点E，BFDE，且交，且交AG于点于点F.第7题图(1)求证：求证：AFBFEF；(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABAD，BAFDAE90.DEAG，DAEADE90，ADEBAF.又又BFDE，BFAAED90，ABFDAE(AAS)，BFAE，AFBFAFAEEF；第7题图(2)四边形四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能请指出此时点是否可能是平行四边形，如果可能请指出此时点G的位的位置，如不可能请说明理由置，如不可能请说明理由第7题图(2)解：不可能，理由如下：解：不可能，
18、理由如下：如解图，连接如解图，连接AC，BE，DF，若四边形若四边形BFDE是平行四边形，已知是平行四边形，已知BFDE，当当DEBF时，四边形时，四边形BFDE为平行四边形为平行四边形由由(1)知知ABFDAE，AFDE，BFAF，即此时，即此时BAF45.点点G不与不与B、C重合，重合，BAF45，矛盾，矛盾四边形四边形BFDE不可能是平行四边形不可能是平行四边形创 新 考 法创 新 考 法8.一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等两组对边分别相等b.一组对边平行且相等一组对边平行且相等c.一组邻边相等一组邻边相等d.一个角是直角一个角是直角顺次添加的条件：顺次添加的条件：acdbdcabc则正确的是：则正确的是：()第8题图A.仅仅 B.仅仅 C.D.C
