1、一题一课半角模型一题一课半角模型满分技法满分技法【活动目的】运用所学的知识探究半角模型的特点及相关结论【活动目的】运用所学的知识探究半角模型的特点及相关结论活动一：正方形含半角活动一：正方形含半角【分析图形分析图形】如图如图，在正方形在正方形ABCD中，点中，点E、F分别为分别为BC、CD上的上的点，且点，且EAF45，连接连接EF.图满分技法满分技法【提出问题提出问题】请证明以下结论是否成立：请证明以下结论是否成立：EFBEDF.【解决问题解决问题】【方法一方法一】补短法补短法证明：如图，延长证明：如图，延长CD至点至点G，使得，使得DGBE，图G四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，AB
2、AD，ABEADG90，在在ABE和和ADG中，中，满分技法满分技法 ABEADG(SAS)，BAEDAG，AEAG，EAFFAG，在在AFE和和AFG中，中，,ABADABEADGBEDG ,AFAFEAFGAFAEAG 图GAFEAFG(SAS)，EFGFDGDFBEDF.图G满 分 技 法满 分 技 法补短法的辅助线作法：找出相等的两条线段所在的两个直角三角形，延补短法的辅助线作法：找出相等的两条线段所在的两个直角三角形，延长其中一个直角三角形较短的直角边，使其等于另一个直角三角形较短长其中一个直角三角形较短的直角边，使其等于另一个直角三角形较短的直角边的长度、连接公共端点即延长后的端点
3、的直角边的长度、连接公共端点即延长后的端点【方法二方法二】旋转法旋转法证明：如图，将证明：如图，将ADF绕点绕点A顺时针旋转顺时针旋转90得到得到ABG，使，使AD与与AB重合，由旋转的性质可知，重合，由旋转的性质可知，ADFABG，G图DFBG，AFAG，GABFAD，EAF45，BAD90，BAEFAD45，BAEGAB45，即，即EAG45，EAGEAF，在在AFE和和AGE中，中，AFEAGE(SAS)，EFEG，EGBGBE，EFBEDF.,AFAGEAFEAGAEAE G图满 分 技 法满 分 技 法旋转法的辅助线作法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角旋转法的辅助线作法：
4、以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角，旋转某一直角三角形，使相等的两直角边重合为旋转角，旋转某一直角三角形，使相等的两直角边重合活动二：等腰直角三角形含半角活动二：等腰直角三角形含半角【类比探究类比探究】如图如图，在在RtBAC中，中，ABAC，BAC90，点点D在在BC边上，且边上，且DAE45.图【提出问题提出问题】请证明以下结论是否成立：请证明以下结论是否成立：DE2BD2CE2；ABEDAEACD.【解决问题解决问题】【方法一方法一】旋转法旋转法证明：如证明：如解图解图，将，将ABD绕点绕点A逆时针旋转得到逆时针旋转得到ACF，使，使AB与与AC重重合，合，根据旋转的性质
5、可得，根据旋转的性质可得，BADCAF，BADCAF，ADAF，CFBD，BAC90，DAE45，解图BADEAC45，EAFEAD45，在在AEF和和AED中，中，AEFAED(SAS)，EFED，ABCACBACF45，,AFADEAFEADAEAE 解图ECF90，在在RtECF中，根据勾股定理可得，中，根据勾股定理可得，EF2EC2CF2，DE2BD2EC2，结论成立；结论成立；BACBDAE45，AEBACBCAE45CAE，BAEDAEBAD45BAD，CADDAECAE45CAE，解图AEBADC，又又ABAC，BACD，ABEACD.ADCBBAD45BAD，ADCBAE，则，
6、则DAEABE，ABEACDDAE，结论成立；结论成立；结论均成立结论均成立解图【方法二方法二】翻折法翻折法证明：如解图，证明：如解图，BADCAE90DAE45，ABAC，将将ABD和和AEC分别沿分别沿AD、AE翻折后翻折后，AB、AC翻折后重合在翻折后重合在AG上上，BDDG，CEGE，BC45，AGDAGE45，DGE90，DG2GE2DE2，解图DE2BD2CE2.结论成立；结论成立；BCDAE45，AEBCCAE45CAE，BAEDAEBAD45BAD，CADDAECAE45CAE，AEBBAECADADC，ADCBBAD45BAD，解图ABEACDDAE，结论成立；结论成立；结论
7、均成立结论均成立解图满 分 技 法满 分 技 法翻折法的思路：将等腰直角三角形的两腰分别沿翻折法的思路：将等腰直角三角形的两腰分别沿45角的两边折叠，使角的两边折叠，使两直角边重合，两底角构直角两直角边重合，两底角构直角活动三：含活动三：含120角的菱形中含半角角的菱形中含半角【分析图形分析图形】如图如图，已知四边形已知四边形ABCD是菱形是菱形，BAD120，点点E、F分别是分别是BC、CD上的点上的点，EAF60，连接连接AE、AF.图解：结论：解：结论：AEF是等边三角形是等边三角形证明：如图，连接证明：如图，连接AC，四边形，四边形ABCD是菱形，是菱形，ABBCCDAD，BAD120
8、，ABC和和ADC都是等边三角形，都是等边三角形，EAF60，BAD120，EACCAF60，BAEEAC60，CAFBAE，在在BAE和和CAF中，中，,BAECAFBACABACF BAECAF(ASA)，AEAF，AEF是等边三角形是等边三角形图【提出问题提出问题】请根据活动请根据活动1和活动和活动2中的探究过程及结论，试判断活动中的探究过程及结论，试判断活动3中中能得到哪些结论，并写出证明过程能得到哪些结论，并写出证明过程【解决问题解决问题】对 接 中 考对 接 中 考1.如图如图，正方形正方形ABCD的边长为的边长为2，点点E、F分别在边分别在边AD、CD上，若上，若EBF45，则，
9、则EDF的周长等于的周长等于_第1题图42.如图，如图，ABC中，中，BAC90，ABAC，点点D，E均在边均在边BC上上，且且DAE45，若若BD4，DE5，求求CE的长度的长度解：解：BAC90，ABAC，BACB45.如解图，将如解图，将ABD绕点绕点A逆时针旋转至逆时针旋转至ACD，使使AB与与AC重合，连接重合，连接ED第2题图D则则CDBD4，CADBAD，ADAD，ACDB45，DADBAC90.DAE45，DAE904545，DAEDAE.在在AED和和AED中中，,ADADDAED AEAEAE AEDAED(SAS)，DEDE5.ECDACBACD454590，CE 3.22DECD 2254 第2题图D
