1、 徐州徐州近近年真题及拓展年真题及拓展1 考点精讲考点精讲2 重难点分层练重难点分层练3与切线有关的证明与计算与切线有关的证明与计算1.如图如图，AB是是O的弦的弦，点点C在过点在过点B的切线上的切线上，OCOA，OC交交AB于于点点P.若若BPC70，则则ABC的度数等于的度数等于()A.75 B.70 C.65 D.60徐州近徐州近年真题及拓展年真题及拓展1命题点命题点第1题图B2.(2023徐州徐州16题题3分分)如图如图，AB是是O相切于点相切于点B，线段线段OA与弦与弦BC垂直垂直，垂足为垂足为D，ABBC2，则则AOB_.第2题图603.如图如图，AB是是O的直径的直径，点点C在在
2、AB的延长线上的延长线上，CD与与O相切于点相切于点D，若若C20，则则CDA_.第3题图1254.(2022徐州徐州18题题3分分)如图如图，AB是是O的直径的直径，AB4，C为半圆为半圆AB的中的中点点，P为为 上一动点上一动点，延长延长BP至点至点Q，使使BPBQAB2.若点若点P由由A运动到运动到C，则点则点Q运动的路径长为运动的路径长为_第4题图AC45.如图如图，AB为为O的直径的直径，C为为O上一点上一点，D为的为的 中点，过点中点，过点D作直线作直线AC的垂线，垂足为的垂线，垂足为E，连接，连接OD.(1)求证求证：ADOB；第5题图BC(1)证明证明：如图如图，连接连接OC，
3、BCCDDB在在O中中，OCOA，AACO.(1分分)COB是是AOC的外角的外角，COBAACO2A.(2分分)在在O中中，D为为 的中点的中点，CODDOB.COBCODDOB2DOB，(3分分)ADOB；(4分分)第5题图(2)DE与与O有怎样的位置关系有怎样的位置关系？请说明理由请说明理由(2)解解：DE与与O相切相切理由如下理由如下：由由(1)得得ADOB，AEOD，(5分分)EEDO180.DEAE，E90，ODE90.(6分分)OD是是O的半径的半径，(7分分)DE与与O相切相切(8分分)第5题图拓 展 设 问拓 展 设 问如图如图，连接连接AD，设设AB与与ED的延长线交于点的
4、延长线交于点F，(3)若若EFA30，O的半径为的半径为4，求求DE的长的长；第5题图(3)解解：EFA30，EFAE，D为为 的中点，的中点，FAE60，且，且FADDAC30，EFAFAD30，DFAD.ODEF，EFA30，DF OD ，AD .EAD30，EFAE，AD2DE，DE ；BC34 34 32 3第5题图拓 展 设 问拓 展 设 问(4)若若tanCAD ，AB5，求求BF的长的长12ADB90.tanCAD ，tanDAO .在在RtADB中中，AB5，BD ，AD ，在在RtAED中中，可得可得DE2，AE4.121252 5(4)如图如图，连接连接BD，第5题图拓 展
5、 设 问拓 展 设 问ODAE，FDOFEA，.又又OD2.5，设设BFx，x ，即线段即线段BF的长为的长为 .ODOFAEAF=2.52.545xx+=+5353第5题图拓 展 设 问拓 展 设 问与三角形内切圆有关的计算与三角形内切圆有关的计算6.(2022徐州徐州15题题3分分)如图如图，O是是ABC的内切圆的内切圆，若若ABC70，ACB40，则则BOC_.第6题图2命题点命题点125切线长定理切线长点在O 外点在O上点在O 内点与圆的位置关系相离相切相交直线与圆的位置关系切线的性质与判定定义切线的性质切线的判定三角形的内切圆三角形的内切圆角度关系圆心(内心)性质点、直线与圆的位置关
6、系考点精讲考点精讲【对接教材对接教材】苏科苏科：九上：九上第第2章章P63P76点点与圆的位与圆的位置关系置关系(设设O 的半径为的半径为r,点到圆心的距离为点到圆心的距离为d)点在点在O 外外d_r,如图中的点如图中的点A点在点在O 上上d_r,如图如图中的点中的点B点在点在O 内内d_r,如如图图中的点中的点C图直线与圆的直线与圆的位置关系位置关系(d为圆心到直为圆心到直线的距离线的距离，r为半径为半径）位置关系位置关系相离相离相切相切相交相交d 与与r的关系的关系d_rd_ rd_r交点的个数交点的个数没有公共点没有公共点有且只有一个公有且只有一个公共点共点有两个公共点有两个公共点示意图
7、示意图切线的切线的性质与性质与判定判定定义定义：直线与圆有唯一公共点时直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切这条直线叫做圆的切线线，这个公共点叫做切点这个公共点叫做切点切线的性质切线的性质切线的判定切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线1.圆心到切线的距离等于半径圆心到切线的距离等于半径2.圆的切线圆的切线_于过切点的半径于过切点的半径垂直垂直1.若已知直线与圆的公共点若已知直线与圆的公共点，则连接圆心和公共点则连接圆心和公共点，证明证明垂直垂直2.若未知直线与圆的公共点若未知直线与圆的
8、公共点，则过圆心作直线的垂线段则过圆心作直线的垂线段，证明这条线段为圆的半径证明这条线段为圆的半径温馨提示温馨提示切线长切线长：在经过圆外一点的圆的切线上在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长这点与切点之间的线段的长，这点到圆的切这点到圆的切线叫做长线叫做长切线长定理切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角切线的夹角，如图如图、PA、PB为为O的切线的切线，A、B为切点为切点，那么那么PA=_，APO_PBBPO三角形的内切圆三角形的内切圆三角形的内切圆三角形的内切圆：与三角形
9、各边都相切的圆叫做三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆圆心圆心(内心内心)：三角形三个内角的三角形三个内角的_的交点的交点性质性质：三角形的内心到三角形三角形的内心到三角形_的距离相等的距离相等角度关系角度关系：BOC90 A(如图如图)补充补充：当三角形为直角三角形时当三角形为直角三角形时，如图如图，内切圆半径内切圆半径122abcr 图图角平分线角平分线三边三边重难点分层练重难点分层练例例1 如图如图,在在RtABC中中，ACB90，O与与BC，AC分别相切于点分别相切于点E，F，BO平分平分ABC，连接连接OA.求证求证：AB是是O的切线的切线例1题图回顾必备知识回顾必
10、备知识BO是是ABC的平分线的平分线，ODOE.OE是圆的半径是圆的半径，OD是圆的半径是圆的半径，AB是是O的切线的切线例1题图D证明证明：如图如图，连接连接OE，过点过点O作作ODAB于点于点D，满 分 技 法满 分 技 法当直线与圆的公共点不确定时当直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线过圆心作直线的垂线，利用角平分线的利用角平分线的性质或者全等三角形的性质性质或者全等三角形的性质，来证明所作垂线等于半径来证明所作垂线等于半径例例2 如图如图,在在RtABC中中，C90，ABC的角平分线交的角平分线交AC于点于点D，点点E是是AB上一点上一点，以以BE为直径的为直径的O分别交分别交
11、AC、BC于点于点D、F.求证求证：CD是是O的切线的切线例2题图BD平分平分ABC，CBDOBD.ODOB，ODBOBD，ODBCBD，ODBC，ADOC90，ODAC.OD是是O的半径的半径，CD是是O的切线的切线例2题图证明证明：如图如图，连接连接OD，例例3 如图如图,在在O中中，AB为为O的直径的直径，点点D在直径在直径AB的延长线上的延长线上，点点C为为O上一点上一点，连接连接AC，若若ABCD，求证求证：CD是是O的切线的切线例3题图AB为为O的直径的直径，ACB90，即即AABC90.OCOB，ABCOCB.ABCD，BCDOCB90，即即OCD90，OCDC.OC是是O的半径
12、的半径，CD是是O的切线的切线例3题图证明证明：如图如图，连接连接OC，满 分 技 法满 分 技 法当直线与圆的公共点确定时当直线与圆的公共点确定时，常连接圆心与切点常连接圆心与切点，证所连半径与直线垂证所连半径与直线垂直直(1)当图中有当图中有90角时角时：利用等角代换证得垂直利用等角代换证得垂直；利用平行线证得垂利用平行线证得垂直直；利用三角形全等证得垂直利用三角形全等证得垂直；(2 2)当图中没有当图中没有90角时角时，需要构造需要构造：若图中有已知直径，则利用直径若图中有已知直径，则利用直径所对的圆周角是所对的圆周角是90，构造直角；，构造直角；若图中有等腰三角形，则利用等腰若图中有等
13、腰三角形，则利用等腰三角形三角形“三线合一三线合一”的性质构造直角的性质构造直角重难点分层练重难点分层练例例4 如图如图,ABC中中，ABC90，以以AB的中点的中点O为圆心为圆心，OA长为半径的圆交长为半径的圆交AC于点于点D，过点过点D作作O的切的切线，交线，交BC于点于点E，连接连接OE，BD.(1)若若 ，求，求sinC；例4题图一题多设问一题多设问13ADAB 提升关键能力提升关键能力【思维教练思维教练】要求要求sinC的值的值，根据直角三角形的两锐角和为根据直角三角形的两锐角和为90及直径所及直径所对的角为对的角为90，进行角的等量转换进行角的等量转换，转化为求转化为求sinABD
14、的值的值，从而利用从而利用已知条件直接求出已知条件直接求出(1)解解：AB为为O的直径的直径，ADB90，ABDA90.ABC90，CA90，CABD.，sinABD ，sinC ；13ADAB=1313例4题图重难点分层练重难点分层练(2)求证求证：点点E是是BC的中点的中点；例4题图【思维教练思维教练】要求点要求点E是是BC的中点的中点，根据根据CBD为直角三角形为直角三角形，转化为转化为证明证明DEBE和和DECE，从而利用切线的性质及直角三角形的性质求从而利用切线的性质及直角三角形的性质求解解DE为为O的切线的切线，ODE90，ODBEDB90.ABC90，OBDCBD90.(2)证明
15、证明：如图如图，连接连接OD，OBOD，OBDODB，EDBCBD，DEBE.AB为为O的直径的直径，ADB90，BDC90，BDECDE90，DBCDCB90，CDEDCB，DECE，BECE，点点E是是BC的中点的中点；例4题图重难点分层练重难点分层练(3)求证求证：BC22CDOE；例4题图【思维教练思维教练】要求线段的数量关系要求线段的数量关系，结合结合(2)的结论转化为证明的结论转化为证明BC2CDAC，从而只要证明从而只要证明ABCBDC即可即可由由(2)知知，点点E是是BC的中点的中点，点点O是是AB的中点的中点，OE是是ABC的中位线的中位线，AC2OE，CC，ABCBDC90
16、，ABCBDC，即，即BC2ACDC，BC22CDOE；BCACDCBC=(3)证明证明：如图如图，连接连接OD，重难点分层练重难点分层练(4)求证求证：若若CD3OA，求求DEB的大小的大小；例4题图【思维教练思维教练】要求要求DEB的大小的大小，只需求出只需求出sinDCB的值的值，从而利用特从而利用特殊角的三角函数值求解即可殊角的三角函数值求解即可(4)解解：设设OA1，则则CD3，AB2，ABCADB90，AA，ABCADB，即即AB2ADAC，22AD(AD3)，解得解得AD1(负值舍去负值舍去)，AC4，ABACADAB=sinDCB ，DCB30，由由(2)可知可知，CDEDCB
17、30，DEBCDEDCB60；2142ABAD=例4题图重难点分层练重难点分层练(5)若若cosBAD ，BE6，求求OE的长的长例4题图35【思维教练思维教练】要求要求OE，结合结合(3)可转化为求可转化为求AC的值的值，根据已知根据已知BE的长结的长结合合(2)可得可得BC的长的长，从而在从而在RtABC中中，利用三角函数求解即可利用三角函数求解即可(5)cosBAD ，sinBAC .BE6，点，点E是是BC的中点，的中点，BC12，AC15.由由(3)可知可知AC2OE，OE AC .3545BCAC 12152重难点分层练重难点分层练1.(2021市区一模市区一模)如图所示如图所示，
18、AB是是O的直径的直径，AD和和BC分别切分别切O于于A，B两点两点，CD与与O有公共点有公共点E，且且ADDE.(1)求证求证：CD是是O的切线的切线；第1题图体验徐州考法体验徐州考法AD切切O于于A点点，AB是是O的直径的直径，DAB90，ADDE，OAOE，ODOD，ADO EDO(SSS)，OEDOAD90，即即OEDC，OA、OE是是O的半径的半径，CD是是O的切线的切线；第1题图(1)证明证明：如图如图，连接连接OD，OE，AB是是O的直径的直径，AD和和BC分别切分别切O于于A，B两点两点，DABABCCHA90，四边形四边形ABCH是矩形是矩形，CHAB12，AHBC4，CD是是O的切线的切线，ADDE，CEBC，DHADBCAD4，CDAD4，CH2DH2CD2，122(AD4)2(AD4)2，AD9.重难点分层练重难点分层练(2)若若AB12，BC4，求求AD的长的长第2题图(2)解解：如图如图，过过C作作CHAD于点于点H，H
