1、 全等三角形提高之动态几何探究题 一、三垂直模型 1 （1）如图（1） ，已知：在 ABC 中，BAC90 ，AB=AC，直线 m 经过点 A，BD直线 m, CE直 线 m,垂足分别为点 D、E.证明:DE=BD+CE. （2）如图（2） ，将（1）中的条件改为：在 ABC 中，AB=AC，D、A、E 三点都在直线 m 上,并且有 BDA=AEC=BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证 明;若不成立,请说明理由. （3）拓展与应用：如图（3） ，D、E 是 D、A、E 三点所在直线 m 上的两动点（D、A、E 三点互不重合）, 点F为BAC平分线
2、上的一点,且 ABF和 ACF均为等边三角形， 连接BD、 CE,若BDA=AEC=BAC， 试判断 DEF 的形状. 解： （1）证明：BD直线 m，CE直线 m，BDACEA=900 BAC900，BAD+CAE=900 BAD+ABD=900，CAE=ABD 又 AB=AC ，ADBCEA（AAS） AE=BD，AD=CE DE=AE+AD= BD+CE （2）成立证明如下： BDA =BAC=，DBA+BAD=BAD +CAE=1800DBA=CAE BDA=AEC=，AB=AC，ADBCEA（AAS） AE=BD，AD=CE DE=AE+AD=BD+CE （3） DEF 为等边三角形
3、理由如下： 由（2）知， ADBCEA，BD=AE，DBA =CAE， ABF 和 ACF 均为等边三角形，ABF=CAF=600 DBA+ABF=CAE+CAFDBF=FAE BF=AF，DBFEAF（AAS） DF=EF，BFD=AFE DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=600 DEF 为等边三角形 （1）因为 DE=DA+AE，故由 AAS 证 ADBCEA，得出 DA=EC，AE=BD，从而证得 DE=BD+CE （2）成立，仍然通过证明 ADBCEA，得出 BD=AE，AD=CE，所以 DE=DA+AE=EC+BD （3）由 ADBCEA 得 BD=AE，DBA =CAE，由
4、ABF 和 ACF 均等边三角形，得 ABF=CAF=600， FB=FA， 所以DBA+ABF=CAE+CAF， 即DBF=FAE， 所以 DBFEAF， 所以 FD=FE，BFD=AFE，再根据DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=600得到 DEF 是等边三角 形 2 （1）探索发现：如图 1，已知 RtABC中，ACB90，ACBC，直线 l过点 C，过点 A作 ADl， 过点 B作 BEl，垂足分别为 D、E求证：ADCE，CDBE （2）迁移应用：如图 2，将一块等腰直角的三角板 MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶 点与坐标原点 O重合，另两个顶点均落在第一象限内
5、，已知点 M的坐标为（1，3） ，求点 N的坐标 （3）拓展应用：如图 3，在平面直角坐标系内，已知直线 y3x+3 与 y轴交于点 P，与 x 轴交于点 Q， 将直线 PQ绕 P 点沿逆时针方向旋转 45后，所得的直线交 x 轴于点 R求点 R 的坐标 证明：ACB90，ADl ACBADC ACEADC+CAD，ACEACB+BCE CADBCE， ADCCEB90，ACBC ACDCBE， ADCE，CDBE， （2）解：如图 2，过点 M作 MFy轴，垂足为 F，过点 N作 NGMF，交 FM 的延长线于 G， 由已知得 OMON，且OMN90 由（1）得 MFNG，OFMG， M（1
6、，3） MF1，OF3 MG3，NG1 FGMF+MG1+34， OFNG312， 点 N的坐标为（4，2） ， （3）如图 3，过点 Q作 QSPQ，交 PR于 S，过点 S 作 SHx 轴于 H， 对于直线 y3x+3，由 x0得 y3 P（0，3） ， OP3 由 y0 得 x1， Q（1，0） ，OQ1， QPR45 PSQ45QPS PQSQ 由（1）得 SHOQ，QHOP OHOQ+QHOQ+OP3+14，SHOQ1 S（4，1） ， 设直线 PR为 ykx+b，则 3 41 b kb ，解得 1 k 2 b3 直线 PR为 y 1 2 x+3 由 y0 得，x6 R（6，0） 3
7、已知ABC 和ADE都是等腰直角三角形，点 D是直线 BC 上的一动点（点 D不与 B、C 重合） ，连 接 CE, （1）在图 1中，当点 D在边 BC上时，求证：BC=CE+CD； （2）在图 2中，当点 D在边 BC的延长线上时，结论 BC=CE+CD 是否还成立？若不成立，请猜想 BC、CE、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； （3）在图 3中， 当点 D在边 BC的反向延长线上时， 补全图形， 不需写证明过程， 直接写出 BC、CE、CD 之间存在的数量关系 【详解】 （1）如图 1 中， AB=AC，ABC=ACB=45，AD=AE，ADE=AED=45， BAC=DAE=90
8、， BAD=CAE， 在ABD 和ACE 中， ， ABDACE（SAS） ， BD=CE， BC=BD+CD=CE+CD； （2）不成立，存在的数量关系为 CE=BC+CD 理由：如图 2，由（1）同理可得， 在ABD 和ACE 中， ， ABDACE（SAS） ， BD=CE， BD=BC+CD， CE=BC+CD； （3）如图 3，结论：CD=BC+EC 理由：由（1）同理可得， 在ABD 和ACE 中， ， ABDACE（SAS） ， BD=CE， CD=BC+BD=BC+CE， 二、半角模型 4（1） 如图 1， 点 E、F 分别在正方形 ABCD的边 BC、CD上， EAF=45
9、， 求证： EF=BE+FD; （2）如图 2，四边形 ABCD 中，BAD90，AB=AD，B+D=180 ，点 E、F分别在边 BC、CD上，则当EAF与BAD满足什么关系时，仍有 EF=BE+FD，说明理由 （3）如图 3，四边形 ABCD 中，BAD90，AB=AD，AC 平分BCD，AEBC 于 E，AFCD交 CD延长线于 F，若 BC=8，CD=3，则 CE= .（不需证明） 【答案】 （1）详见解析； （2）BAD=2EAF，理由详见解析； （3）CE=5.5. 【解析】 试题分析：（1）将ABE绕点 A旋转使得 AB 与 AD重合，然后证明AFGAFE，再利用全等三角形 对应
10、的边相等的性质不难证明； （2）首先延长 CB至 M，使 BM=DF，连接 AM，构造ABMADF，再 证明FAEMAE，最后将相等的边进行转化整理即可证明. 试题解析： （1）证明：把ABE 绕点 A 逆时针旋转 90 至ADG，如图 1 所示： 则ADGABE， AG=AE，DAG=BAE，DG=BE， 又EAF=45 ，即DAF+BAE=EAF=45 ， GAF=FAE， 在GAF和FAE 中， AGAE GAFFAE AFAF , ， AFGAFE（SAS） GF=EF 又DG=BE， GF=BE+DF， BE+DF=EF （2）BAD=2EAF理由如下： 如图 2 所示，延长 CB至
11、 M，使 BM=DF，连接 AM， ABC+D=180 ，ABC+ABM=180 ， D=ABM， 在ABM 和ADF 中， ABAD ABMD BMDF ， ABMADF（SAS） AF=AM，DAF=BAM， BAD=2EAF， DAF+BAE=EAF， EAB+BAM=EAM=EAF， 在FAE和MAE 中， AEAE FAEMAE AFAM ， FAEMAE（SAS）， EF=EM=BE+BM=BE+DF， 即 EF=BE+DF （3）CE=5.5 点睛：（1）在出现正方形或者等腰直角三角形的题目中，我们多采用旋转构造全等三角形的方法. （2）遇到此类压轴题，第一问的思路方法可以为第二
12、问、第三问所用. 三、手拉手模型 5在ABC中，AB=AC，点 D是射线 CB 上的一个动点（不与点 B，C 重合） ，以 AD 为一边在 AD的右 侧作ADE，使 AD=AE，DAE=BAC，连接 CE （1）如图 1，当点 D在线段 CB上，且BAC=90时，那么DCE=_度 （2）设BAC=，DCE= 如图 2，当点 D在线段 CB 上，BAC90时，请你探究 与 之间的数量关系，并证明你的结论； 如图 3，当点 D在线段 CB 的延长线上，BAC90时，请将图 3补充完整，并直接写出此时 与 之间的数量关系（不需证明） 【答案】（1）90 ；（2）+=180；= 【解析】 试题分析：（
13、1）利用等腰三角形证明ABDACE,所以ECA=DBA,所以DCE=90 .(2)方法类似 （1） 证明 ABDACE，所以B=ACE，再利用角的关系求180 （3）同理方法类似（1）. 试题解析： 解： （1） 90 度. DAE=BAC ,所以BAD=EAC,AB=AC,AD=AE,所以ABDACE,所以ECA=DBA，所以 ECA=90 . （2） 180 理由：BAC=DAE， BACDAC=DAEDAC,即BAD=CAE, 又 AB=AC，AD=AE， ABDACE， B=ACEB+ACB=ACE+ACB， BACBDCEBACB 180， 180 （3）补充图形如下， 6已知点 C
14、 为线段 AB 上一点，分别以 AC、BC 为边在线段 AB 同侧作ACD 和BCE，且 CA=CD，CB=CE， ACD=BCE，直线 AE 与 BD 交于点 F， （1）如图 1，若ACD=60，则AFB= ； （2）如图 2，若ACD=，则AFB= （用含 的式子表示） ； （3）将图 2 中的ACD 绕点 C 顺时针旋转任意角度（交点 F 至少在 BD、AE 中的一条线段上） ，如图 3试 探究AFB 与 的数量关系，并予以证明 【答案】(1)120;(2) 180;(3)见解析 【解析】 【分析】 （1）求出ACE=DCB，证 ACEDCB，推出CAE=CDB，求出AFB=CDA+D
15、AC，根据三 角形内角和定理求出即可； （2） 求出ACE=DCB，证 ACEDCB，推出CAE=CDB，求出AFB=CDA+DAC，根据三 角形内角和定理求出即可； （3） 求出ACE=DCB，证 ACEDCB，推出CAE=CDB，求出AFB=CEB+CBE，根据三 角形内角和定理求出即可 【详解】 解： （1）ACD=BCE，ACD+DCE=BCE+DCE，ACE=DCB，在ACE 和DCB 中， ACDC ACEDCB CECB ACEDCB，CAE=CDB，AFB=CDB+CDA+DAE， =CDA+DAE+BAE =CDA+DAC =18060 =120 ； （2）解：ACD=BCE
16、，ACD+DCE=BCE+DCE，ACE=DCB，在ACE 和DCB中 ACDC ACEDCB CECB ACEDCB，CAE=CDB，AFB=CDB+CDA+DAE， =CDA+DAE+BAE =CDA+DAC =180ACD =180； （3）AFB=180-，证明：ACD=BCE，ACD+DCE=BCE+DCE，ACE=DCB，在 ACE 和DCB中， ACDC ACEDCB CECB ACEDCB，AEC=DBC，AFB=AEC+CEB+EBD =DBC+CEB+EB =CEB+EBC =180 -ECB =180 - 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，三角形
17、的内角和定理的应用，关键是推出 ACEDCB 7图 1、图 2中，点 C为线段 AB上一点， ACM与 CBN 都是等边三角形. (1) 如图 1，线段 AN 与线段 BM 是否相等？证明你的结论； (2) 如图 2，AN 与 MC 交于点 E，BM与 CN 交于点 F，探究 CEF的形状，并证明你的结论. 图 1 图 2 【答案】 （1）相等，证明见解析； （2）CEF 的形状是等边三角形. 【解析】 【分析】 （1）等边三角形的性质可以得出ACN、MCB两边及夹角分别对应相等， ；两个三角形全等，得出线 段 ANBM；（2）平角的定义得出MCN60，通过证明ACEMCF，得出 CECF，根
18、据等边 三角形的判定得出CEF的形状. 【详解】 (1)ACM与 CBN 都是等边三角形, AC=MC,CN=CB,ACM=BCN=60 . MCN=60 ,ACN=MCB, 在 ACN和 MCB 中, AC=MC, ACN=MCB,CN=CB, ACNMCB(SAS), AN=BM. (2)ACM=60 ,MCN=60 , ACM=MCN, ACNMCB, CAE=CMB. 在 ACE和 MCF中, CAE=CMF，AC=MC, ACE=MCF, ACEMCF(ASA), CE=CF, CEF的形状是等边三角形. 【点睛】 本题主要考查边角边定理和角边角定理，熟练掌握这两个知识点并熟练运用是
19、解答此题的关键. 8 （问题探索）如图 1，在 Rt ABC 中，ACB=90 ，AC=BC，点 D、E分别在 AC、BC边上，DC=EC， 连接 DE、AE、BD，点 M、N、P 分别是 AE、BD、AB 的中点，连接 PM、PN、MN探索 BE 与 MN的 数量关系聪明的小华推理发现 PM 与 PN的关系为_,最后推理得到 BE 与 MN的数量关系为_. （深入探究）将 DEC绕点 C 逆时针旋转到如图 2的位置，判断（1）中的 BE与 MN的数量关系是 否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； （解决问题）若 CB=8，CE=2，在将图 1中的 DEC 绕点 C逆时针
20、旋转一周的过程中，当 B、E、D 三点在一条直线上时，求 MN 的长度 【答案】PMPN，PMPN；BE 2MN；成立，答案见解析；MN 的值为311 或31 1 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：(1)问题探索：M、N、P 分别是 AE、BD、AB的中点，所以 MP、NP 分别是AEB、ADB 的中位 线，PNAC，PMBC 可得 AD=EB,所以可得 PMPN，PMPN.BE=2PM，MN= 2PM,从而得到 BE与 MN 的关系(2)深入探究：通过连 AD，延长 BE交 AD于点 G，将 PM、PN放在两个全等的三角形即 ADCBEC 来证明 PMPN，再证AGB90 （3）解决问
21、题： 【问题探索】 M、N、P 分别是 AE、BD、AB的中点， PM，PN分别是AEB、ADB 的中位线， PMBC且 PM= 1 2 BE，PNAC且 PN= 1 2 AD ACB=90 , PMPN. 又AC=BC，DC=EC AD=BE PMPN PMPN，PMPN， BE 与 MN的数量关系为 BE 2MN, PMPN，PMPN PMN为等腰直角三角形， MN= 2PM BE=2PM BE 2MN 【深入探究】 成立，理由：如图连接 AD,延长 BE 交 AD 与 G 已知ACB=ACE+ECB=90 ，DCE=ACE+DCA=90 ECB=DCA CA=CB,CD=CE ADCBE
22、C AD=BE M、N、P 仍是 AE、BD、AB 的中点， PMBE且 PM= 1 2 BE，PNAD且 PN= 1 2 AD PM=PN 又ADCBEC DAC=EBC EBC+ABE+CBA=90 DAC+CBA+ABE=90 BGAD PMPN 因此 MN= 2PM, PM= 1 2 BE BE 2MN 【解决问题】 由上题已知 BE 2MN，当 DEC绕点 C 逆时针旋转到如图 3 的位置时， ADCBEC, BDAD,AD=EB,AD 2+BD2=AB2，设 AD=EB=x, CB=8，CE=2，（x+2 2）2+x2=(8 2)2,解得 x= 622 ，x= 622 （舍去） ，
23、所以 BE= 622 所以，MN= 311 当 DEC 绕点 C逆时针旋转到如图 4 的位置时，ADCBEC,BDAD，AD=BE 设 BE=x，因为BEAD,ADB是直角三角形，AD 2+BD2=AB2，（x- 2 2） 2+ 2 x=128 解得 x= 622 ,x=622（舍去）,BE= 622 ，MN= 31 1 所以 MN 的值为311或31 1 四、角平分线模型 9认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题. 探究 1：如图 l，在ABC中，O是ABC与ACB的平分线 BO和 CO的交点，通过分析发现BOC=90 + 1 2 A,理由如下： BO和 CO
24、分别是ABC和ACB的角平分线 1= 1 2 ABC, 2= 1 2 ACB l+2= 1 2 (ABC+ACB)= 1 2 (180-A)= 90- 1 2 A BOC=180-(1+2) =180-(90- 1 2 A)=90+ 1 2 A (1)探究 2；如图 2 中，O是 1 2 ABC与外角 1 2 ACD的平分线 BO和 CO的交点，试分析BOC与A 有怎样的关系？请说明理由 (2)探究 3：如图 3 中, O是外角DBC与外角ECB的平分线 BO和 CO的交点，则BOC与A有怎样 的关系？（直接写出结论） (3)拓展： 如图4， 在四边形ABCD中， O是ABC与DCB的平分线B
25、O和CO的交点， 则BOC与A+D 有怎样的关系？（直接写出结论） 【答案】 （1）探究 2 结论：BOC= 1 2 A；（2）探究 3：结论BOC=90 1 2 A；（3）拓展：结论 1 2 BOCAD 【解析】 【分析】 （1）根据角平分线的定义可得1= 1 2 ABC，2= 1 2 ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和和角平分线的定义可得2= 1 2 ACD= 1 2 （A+ABC），BOC=2-1，然后整理 即可得解； （2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出OBC和OCB，再根据三角形的内角和定理解 答； （3）同（1）的求解思路 【详解】 （1）探
26、究 2结论：BOC= 1 2 A 理由如下：如图， BO和 CO 分别是ABC和ACD的角平分线， 1= 1 2 ABC，2= 1 2 ACD， 又ACD是ABC 的一个外角， 2= 1 2 ACD= 1 2 （A+ABC）= 1 2 A+1， 2 是BOC的一个外角， BOC=2-1= 1 2 A+1-1= 1 2 A， 即BOC= 1 2 A； （2）由三角形的外角性质和角平分线的定义，OBC= 1 2 （A+ACB） ，OCB= 1 2 （A+ABC） ， 在BOC中，BOC=180 -OBC-OCB=180 - 1 2 （A+ACB）- 1 2 （A+ABC） ， =180 - 1 2
27、 （A+ACB+A+ABC） ， =180 - 1 2 （180 +A） ， =90 - 1 2 A； 故答案为BOC=90 - 1 2 A （3）OBC+OCB= 1 2 （360 -A-D） ， 在BOC中，BOC=180 - 1 2 （360 -A-B）= 1 2 （A+D） 故答案为BOC= 1 2 （A+D） 【点睛】 本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想 的利用是解题的关键 10已知，直线 ABDC，点 P 为平面上一点，连接 AP 与 CP （1）如图 1，点 P 在直线 AB、CD 之间，当BAP=60 ，DCP=20 时
28、，求APC度数 （2）如图 2，点 P 在直线 AB、CD之间，BAP 与DCP 的角平分线相交于点 K，写出AKC 与APC 之间的数量关系，并说明理由 （3） 如图 3， 点 P 落在 CD外， BAP 与DCP 的角平分线相交于点 K， AKC与APC有何数量关系？ 并说明理由 【答案】（1）80 ；（2）详见解析；（3）详见解析 【解析】 【分析】 （1）过 P 作 PEAB，根据平行线的性质即可得到APE=BAP，CPE=DCP，再根据 APCAPECPEBAPDCP进行计算即可； （2）过 K作 KEAB，根据 KEABCD，可得AKE=BAK，CKE=DCK，得到 AKC=AKE
29、+CKE=BAK+DCK，同理可得，APC=BAP+DCP，再根据角平分线的定义，得 1111 () 2222 BAKDCKBAPDCPBAPDCPAPC，进而得到 1 . 2 AKCAPC （3）过 K作 KEAB，根据 KEABCD，可得BAK=AKE，DCK=CKE，进而得到 AKC=AKECKE=BAKDCK，同理可得，APC=BAPDCP，再根据角平分线的定义，得 出 1111 () 2222 BAKDCKBAPDCPBAPDCPAPC，进而得到 1 . 2 AKCAPC 【详解】 解：(1)如图 1,过 P作 PEAB， ABCD， PEABCD， APE=BAP，CPE=DCP，
30、 602080APCAPECPEBAPDCP； (2) 1 . 2 AKCAPC 理由：如图 2,过 K 作 KEAB， ABCD， KEABCD， AKE=BAK，CKE=DCK， AKC=AKE+CKE=BAK+DCK， 过 P 作 PFAB， 同理可得，APC=BAP+DCP， BAP与DCP的角平分线相交于点 K， 1111 () 2222 BAKDCKBAPDCPBAPDCPAPC， 1 2 AKCAPC； (3) 1 2 AKCAPC； 理由：如图 3,过 K 作 KEAB， ABCD， KEABCD， BAK=AKE，DCK=CKE， AKC=AKECKE=BAKDCK， 过 P 作 PFAB， 同理可得，APC=BAPDCP， BAP与DCP的角平分线相交于点 K， 1111 () 2222 BAKDCKBAPDCPBAPDCPAPC， 1 . 2 AKCAPC 【点睛】 考核知识点：平行线判定和性质综合.添辅助线，灵活运用平行线性质是关键.
