1、九年级上 人教版24.1.2 垂直于弦的直径学习目标新课引入新知学习课堂小结12341.理解圆的对称性2.探索并证明垂径定理的性质和推论.3.灵活运用垂径定理解决相关的计算与应用 学习目标重点难点新课引入圆的定义是什么？旋转定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆集合定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合什么叫做弦？连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.弦直径什么叫做弧？连圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧我们学习完圆的定义后，这节课来学习一下圆的性质探究探究问题1：剪一个圆形
2、纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么？圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.新知学习温馨提示：因为对称轴是直线，而直径是线段，所以不能说圆的直径是圆的对称轴.问题2：你能证明上述结论吗？如图，设CD是O的任意一条直径，A为O上点C，D以外的任意一点.该怎么证明前面的结论呢？OADMAC证明：过点A，作AACD,交O于点A,垂足为M，连接OA,OA.在OAA中，OA=OA,所以OAA是等腰三角形.又AACD，AM=MA.即CD是AA的垂直平分线对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A，因此O关于直线CD对称.即圆是轴对称图形，任何
3、一条直径所在直线都是圆的对称轴.如图，AB 是O 的一条弦，直径 CDAB，垂足为 E.你能发现图中有哪些相等的线段和弧?ODEABC 线段：AE=BE弧：，ACBCADBDCD是O 直径CDAB AE=BE(AD=BD(AC=BC你能证明吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.归纳归纳 CD 是是O 的直径，的直径，CDAB于点于点E，AE=BE，ACBC.ADBD数学语言：ODEABC 文字语言：一条直线若满足:过圆心垂直于弦 则平分弦 平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧 过圆心例1 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为
4、CD没有过圆心OABCABDCOEABOECABOCDE过圆心 垂直于弦例2 如图，OEAB 于 E，若 O 的半径为 10 cm，点O到直线AB的距离为 6 cm，则 AB=cm.OABE解析：连接 OA，作OE垂直AB OEAB，AB=2AE=16(cm).1622221068AEOAOE(cm).做辅助线的方法：连半径作弦心距例3 如图，O 的弦 AB8 cm，直径 CEAB 于 D，DC2 cm，求半径 OC 的长.OABECD解：连接 OA.CEAB 于 D，1184(cm).22ADAB设 OC=OA=x cm，则 OD=x-2，根据勾股定理，得解得 x=5.即半径 OC 的长为
5、5 cm.x2=42+(x-2)2，做辅助线的方法：连半径例4 如图 a、b，一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为_.64C图 b DCBOADOAB图 a2 cm 或 12 cm 指弧中点到弦的距离试一试试一试上面我们学习了垂径定理的文字语言描述如下：ODEABC 一条直线若满足:过圆心垂直于弦则平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧 已知 可推出猜想：已知？猜想1：如果有一条直径平分一条弦，那么它就能垂直于这条弦，也能评分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧 ODEA图示：ODABC C BODEABC ODEABC 被平分的弦是直径被平分的弦不是直径猜想1：如果
6、有一条直径平分一条弦，那么它就能垂直于这条弦，也能评分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧 图示：ODABC 被平分的弦是直径反例：ODABC 直径虽然平分弦但不垂直于弦所以猜想1有问题，我们不妨要求被平分的弦不能是直径，提出猜想2再来研究一下是否成立猜想2：如果有一条直径平分一条不是直径的弦，那么它就能垂直于这条弦，也能评分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧 已知：如图，CD 是O 的直径，CD平分弦AB于点E.求证：CD AB于点E，=，=ACBCADBDODEABC 证明：连接 AO、BO，则 AO=BO.在OAB中，OA=OBOAB是等腰三角形.CD平分弦AB于点E，OEAB于点E，即C
7、DAB与点E.=，=ACBCADBD推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.CD 是是O 的直径，的直径，CD平分平分AB于点于点E，CD AB于点于点E，ACBC.ADBD数学语言：ODEAC B试一试：更换条件你还能证明吗？探究探究过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧 猜想3：已知？猜想3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧.ODEAC B正确已知已知结论结论 命题命题垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦
8、所对的另一条弧弦的垂直平分线过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦归纳归纳例5 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.解：如图，用 表示主桥拱，
9、设 所在圆的圆心为 O，半径为 R.经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC，D 为垂足，OC 与 相交于点C，连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C 是 的中点，CD 就是拱高.由题设可知 AB=37，CD=7.23，所以 AD=AB=37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.在RtOAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R-7.23)2.解得R27.3.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.ABABABAB12121.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面O半径为 5cm，油面宽 AB 为 6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为 8cm，
10、则油面 AB上升了（）cmA1 B3 C3或4 D1或7D思路点拨：上升的过程中油面宽度为8cm不止是一个时刻。注意圆中的多种情况随堂练习2.如图，已知AB是O的直径，弦CDAB于H，若AB=10，CD=8，则图中阴影部分的面积为 .20 3.如图，P与y轴交于点M（0，4），N（0，10），圆心P的横坐标为4则P的半径为（）A3 B4 C5 D6C思路点拨：将点坐标转化为线段长度4.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图(1)所示的工件槽，其两个底角均为90，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图(1)所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求图(2)是过
11、球心及A、B、E三点的截面示意图，已知 O的直径就是铁球的直径，AB是O的弦，CD切O于点E，ACCD、BDCD，若CD16cm，ACBD4cm，则这种铁球的直径为()A.10 cm B.15 cmC.20 cm D.24 cm C1、垂径定理：、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧2、垂径定理推论、垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.【知二推三】【知二推三】课堂小结3、常见辅助线：、常见辅助线：连半径；做弦的垂线连半径；做弦的垂线构造直角三角形，有如下关系：构造直角三角形，有如下关系：2222ar=d+已知已知结论结论 命题命题垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧弦的垂直平分线过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦对应巩固练习见基础题与中考新考法
