1、 湖北省仙桃市、天门市、潜江市湖北省仙桃市、天门市、潜江市 20182018- -20192019 学年高二（上）期末数学学年高二（上）期末数学 试卷（文科）试卷（文科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.过点且垂直于 y 轴的直线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先由题意设直线方程，再由直线过点，即可求出结果. 【详解】由直线垂直于 y 轴，设直线方程为， 又直线过点，可得. 故选：A 【点睛】本题主要考查直线的方程，根据直线过定点以及与 y 轴垂直，即可得出结果，属于 基础题型. 2.已知 m
2、，n 是两条不重合的直线， ， 是不重合的平面，下面四个命题中正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则且 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】 根据空间中线线、线面以及面面位置关系，逐项判断即可. 【详解】由 m，n 是两条不重合的直线， ， 是不重合的平面，知： 在 A 中，若，则 m 与 n 平行或异面，故 A 错误； 在 B 中，若，则或，故 B 错误； 在 C 中，若，则且或且或且，故 C 错误； 在 D 中，若，则由面面平行的判定定理得，故 D 正确 故选：D 【点睛】本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记相关的定理和概念即可，属于常考题型. 3.已知双曲线方程为，
3、则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据双曲线方程，可直接求出结果. 【详解】双曲线方程为，则渐近线方程为：即 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线的性质，熟记双曲线的渐近线方程即可，属于基础题型. 4.点 A，B 的坐标分别是，直线 AM 与 BM 相交于点 M，且直线 AM 与 BM 的斜率的 商是，则点 M 的轨迹是 A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线 【答案】A 【解析】 【分析】 设点 M 坐标，由题意列等量关系，化简整理即可得出结果. 【详解】设，由题意可得, 因为直线与的斜率的商是， 所以，化简得，为一条直线,故选 A. 【点睛】
4、本题主要考查曲线的方程，通常情况下，都是设曲线上任一点坐标，由题中条件找 等量关系，化简整理，即可求解，属于基础题型. 5.从半径为 6cm 的圆形纸片上剪下一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥 接缝处不重叠 ，那么这个圆锥的高为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先设所围成圆锥的底面半径为r，高为 h，由题意得出母线长和底面圆半径，即可求出结果. 【详解】设所围成圆锥的底面半径为r，高为 h，则母线长为，如图所示； 由，所以扇形的弧长为，解得； 所以圆锥的高为 故选：D 【点睛】本题主要考查圆锥的计算，熟记公式即可，属于基础题型. 6.已知某几何体是由一个侧棱
5、长为 6 的三棱柱沿着一条棱切去一块后所得，其三视图如图所 示，侧视图是一个等边三角形，则切去部分的体积等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先由三视图确定该几何体为一个直三棱柱切去了一个三棱锥，结合题中数据和三棱锥的体积 公式，即可求出结果. 【详解】根据几何体的三视图可得，该几何体为：底面边长为 4 的等边三角形高为 6 的直棱 柱，切去一个底面为 4 的等边三角形，高为 3 的三棱锥故切去部分的体积为： 故选：A 【点睛】本题主要考查几何体的三视图以及棱锥的体积公式，熟记公式即可，属于常考题型. 7.直线 ， 分别过点，它们分别绕点 M 和 N 旋转，但必须保持平
6、行，那么它们 之间的距离 d 的最大值是 A. 5 B. 4 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 因为直线 ， 分别过点，它们分别绕点 M 和 N 旋转，且两直线保持平行，因此 只有两直线都与 MN 垂直时，直线间距离最短，从而可求出结果. 【详解】因为直线 ， 分别过点，它们分别绕点 M 和 N 旋转，且两直线保持平 行，因此当两条平行直线 ， 都与 MN 垂直时，它们之间的距离取得最大值为： 故选：C 【点睛】本题主要考查两直线平行的问题，将平行线间的距离转化为两点间距离即可求解， 属于基础题型. 8.已知圆 C：，直线上至少存在一点 P，使得以 P 为圆心，1 为 半径的圆与
7、圆 C 有公共点，则 k 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意转化为直线与圆有交点，运用点到直线距离小于或等于半径来求解 【详解】圆， 整理可得圆，即圆 是以（4，0）为圆心，1 为半径的圆 又直线上至少存在一点 ，使得以 为圆心，1 为半径的圆与圆 有公共点， 只需与直线有公共点即可 设圆心 （4，0）到直线的距离为 d 则,即 解得 故选 C 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题关键是要转化为直线与圆相交，然后运 用求解，需要掌握解题方法 9.设 F 为抛物线 C：的焦点，过 F 且倾斜角为的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原 点，
8、则的面积为 A. B. C. 9 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 先设，由题意求出直线 AB 方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理， 以及点到直线的距离公式，即可得出结果. 【详解】抛物线 C：的焦点，设， 且倾斜角为的直线， ，整理得：， 由韦达定理可知：， 由抛物线的性质可知：， 点 O 到直线的距离 d， 则的面积 S， 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦 达定理等求解，属于常考题型. 10.平面 过正方体的顶点 A，平面，平面，则直线 m 与直线 BC 所成角的正弦值为 A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析
9、】 【分析】 根据题意作出几何体，找到直线 ，由图像可得即等于直线 m 与直线 BC 所成的角，进而 可求出结果. 【详解】如图：因为平面，平面，连结，则易得平面 平面；所以平面；又平面平面，平面，由面面 平行的性质可知：， 是直线 m 与直线 BC 所成角 或所成角的补角 ， 直线 m 与直线 BC 所成角的正弦值为 故选：B 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，在几何体中作出异面直线所成的角即可求解，属 于常考题型. 11.已知双曲线，过其右焦点 F 作 x 轴的垂线交双曲线于 A、B 两点，若 双曲线的左顶点 C 满足，则双曲线离心率的最大值是 A. B. 2 C. D. 3 【答案】
10、B 【解析】 【分析】 先由双曲线方程得到左顶点为，再求出 A、B 两点坐标，表示出，即可求出结果. 【详解】双曲线，的左顶点为， 过其左焦点 F 作 x 轴的垂线交双曲线于，两点， ，可得：， ，解得. 故选：B 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，熟记双曲线的性质，结合向量的数量积运算即可求 解，属于常考题型. 12.如图所示，在正方体中，E 是棱的中点，F 是侧面内的动点， 且平面，给出下列命题： 点 F 的轨迹是一条线段；与不可能平行；与 BE 是异面直线；平面不 可能与平面平行 其中正确的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 先设平面与直线
11、BC 交于点 G，连接 AG、EG，则 G 为 BC 的中点，分别取B、的中点 M、N，连接 AM、MN、AN，推导出平面平面，即可判断；根据异面直线的概 念，即可判断；根据面面位置关系判断. 【详解】对于，设平面与直线 BC 交于点 G，连接 AG、EG，则 G 为 BC 的中点， 分别取B、的中点 M、N，连接M、MN、N，平面，平 面， 平面同理可得平面，、MN 是平面内的相交直线 平面平面，由此结合平面，可得直线平面， 即点 F 是线段 MN 上的动点，正确； 对于， 由知， 平面平面， 当 F 与点 M 重合时，错误； 对于， 平面平面，BE 和平面相交，所以 BE 不平行平面，又由
12、知：点 F 是线段 MN 上的动点，所以与 BE 不相交，与 BE 是异面直线，正确； 对于，由与 EG 相交，可得平面与平面相交，正确 综上，以上正确的命题是共 3 个 故选：D 【点睛】本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记相关概念和定理即可，属于常考题型. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线 AB 与椭圆交于 A，B 两 点，则的周长为_ 【答案】16 【解析】 【分析】 先由椭圆方程得到长半轴 ，再由椭圆的定义即可求出结果. 【详解】椭圆的， 三角形的周长 故答案为：16 【点睛
13、】本题主要考查椭圆的定义，熟记椭圆定义即可，属于基础题型. 14.已知实数 x，y 满足不等式组，则的最大值为_ 【答案】1 【解析】 【分析】 先由约束条件作出可行域，再由目标函数表示可行域内的点与定点连 线的斜率，结合图像即可求出结果. 【详解】实数 x，y 满足不等式组的可行域如图： 因为目标函数的几何意义是可行域内的点与连线的斜率，由图像可得，AP 连线斜率最大，因此，目标函数的最大值为， 故答案为：1 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，作出可行域，结合目标函数的几何意义即可求 解，属于基础题型. 15.在三棱锥中，平面 ACD， 则三棱锥 的外接球的表面积为_ 【答案】 【解析
14、】 【分析】 由平面 ACD，可知两两垂直，进而可知该三棱锥的外接球，即 是其所在长方体的外接球，体对角线长等于外接球直径，结合球的表面积公式即可求出结果. 【详解】平面 ACD，所以两两垂直， 因此该三棱锥的外接球，即是其所在长方体的外接球； 所以，三棱锥的外接球的直径为 因此，三棱锥的外接球的表面积为 故答案为： 【点睛】本题主要考查几何体的外接球的计算，熟记表面积公式即可，属于常考题型. 16.给出下列三个命题，其中所有错误命题的序号是_ 抛物线的准线方程为； 过点作与抛物线只有一个公共点的直线 t 仅有 1 条； 是抛物线上一动点，以 P 为圆心作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过
15、一个 定点 【答案】 【解析】 【分析】 由抛物线的简单性质，判断的正误；由点和抛物线的位置关系，可判断的正误；由抛物 线的定义，可判断的正误； 【详解】因为抛物线的标准方程为，所以其准线方程为，故错； 因为点满足抛物线的方程，所以点在抛物线上，易知过该点且与抛物线相切的直 线有两条，一条是，另一条是过该点的切线，故错； 由抛物线的定义知：抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离相等，因此以 为圆心作与 抛物线准线相切的圆，必过抛物线的焦点，故正确； 故答案为 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质，灵活运用抛物线的定义和性质是解题的关 键，属于基础题型. 三、解答题（本大题共三、解答题（
16、本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 17.求满足下列条件的曲线的标准方程 过点的抛物线； 实轴、虚轴长之和为 28 且实轴长大于虚轴长，焦距等于 20 的双曲线 【答案】 （1）； （2）或 【解析】 【分析】 (1)设抛物线方程为或，再将点代入抛物线方程，即可求出结 果； (2)先设双曲线方程为或，再由题意列出方程组，即可求出 结果. 【详解】依题意可设抛物线的方程为或 则或， 抛物线的标准方程为：； 设双曲线方程为或， 由题意得，解得（因为实轴长大于虚轴长） ， 由于双曲线的焦点位置不确定，所求双曲线的标准方程为或 【点睛】本题主要考查抛物线方程以及双曲线方程，
17、待定系数法是一种常用的方法，属于基 础题型. 18.已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标为， 在中求边 AC 的高线所在直线的一般方程； 求平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的长度； 求平行四边形 ABCD 的面积 【答案】 （1）； （3） 【解析】 【分析】 先由 A、C 两点坐标，得出直线 AC 斜率，求出边 AC 的高线的斜率，再由 B 点坐标，即可得 出结果； (2)设 AC 的中点为 M， 得到 M 点坐标， 再设， 由 M 为 BD 中点， 可列方程组求出 D 点坐标， 进而可求出结果； (3)先由 B、C 坐标得出直线 BC 的方程，以及 BC 长度，再由点到直线距离
18、公式，求出点 A 到 直线 BC 的距离，即可求解. 【详解】，边 AC 的高线的斜率， 边 AC 的高线所在的直线方程为，即； 设 AC 的中点为 M，则，设，则，解得，点， ； 易知直线 BC 方程为：， 则点到 BC 的距离为， 平行四边形 ABCD 的面积为 【点睛】本题主要考查直线方程以及两点间距离和点到直线的距离，熟记公式即可，属于基 础题型. 19.已知圆 O：，直线 l： 若直线 l 与圆 O 交于不同的两点 A，B，当时，求实数 k 的值； 若，P 是直线上的动点，过 P 作圆 O 的两条切线 PC、PD，切点分别为 C、D，试探究： 直线 CD 是否过定点若存在，请求出定点
19、的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）（2）过定点 【解析】 【分析】 运用弦长公式结合计算出圆心到直线的距离，即可求出斜率 解法 1：设切点，求出两条切线方程，计算出直线的方程，从而 得到定点坐标；解法 2： 、 、 、 四点共圆且在以为直径的圆上，求出公共弦所在直线 方程，然后再求定点坐标 【详解】 （1），设 到的距离为 ，则 点 到 的距离. （2）解法 1：设切点，则圆在点 处的切线方程为 ，所以，即. 同理，圆在点 处的切线方程为， 又点是两条切线的交点， 所以点的坐标都适合方程， 上述方程表示一条直线，而过 、 两点的直线是唯一的， 所以直线的方程为. 设，则直线的方程为
20、， 即，由得， 故直线过定点. 解法 2：由题意可知： 、 、 、 四点共圆且在以为直径的圆上， 设，则此圆的方程为：. 即： 又 、 在圆上， 两圆方程相减得 即，由得， 故直线过定点. 【点睛】本题考查了直线与圆相交，由弦长求直线斜率，只需结合弦长公式计算圆心到直线 距离，然后求出结果，在求直线恒过定点坐标时一定要先表示出直线方法，然后再求解。 20.已知椭圆 C：，直线 l：，若椭圆 C 上存在两个不同的点 P，Q 关于 l 对称，设 PQ 的中点为 M 证明：点 M 在某定直线上； 求实数 k 的取值范围 【答案】(1)见证明；(2) 或. 【解析】 【分析】 (1)分两种情况和讨论，设出直线方程，以及，点的坐标，由都在椭 圆上，均满足椭圆方程，两式作差整理，再由点 在直线 ，即可求出 的坐标，进而证明结论 成立； (2)由点 在椭圆的内部，结合(1)所求椭圆的坐标，即可求出结果. 【详解】 （1）当时，显然不符合题意，舍； 当时，设直线方程为， 则由相减，整理得， 即，. 又，. ，即. . 故点 在定直线上. （2）由（1）易得点， 由题意知，点 必在椭圆内部， ，解得或. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义和简单性质，灵活掌握椭圆的几何性质是解题的关键，属 于中档题型.
