1、 湖北省荆门市湖北省荆门市 2018201820192019 学年度上学期期末高二年级质量检测数学试题（理）学年度上学期期末高二年级质量检测数学试题（理）( (解析版解析版) ) 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.经过点，倾斜角为的直线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出直线的斜率，再由点斜式求得直线的方程 【详解】倾斜角为的直线的斜率，再根据直线经过点， 由点斜式求得直线的方程为，即， 故选：D 【点睛】本题考查了由点斜式的方法求直线的方程，属于基础题 2. 为了解某地区的中小学生视力情况，
2、拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事 先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情 况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 系统抽样 【答案】C 【解析】 试题分析：符合分层抽样法的定义，故选 C. 考点：分层抽样 3.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 15，则输出 N 的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 N 的值，分析循环中各变量值的变化情况，可 得答案
3、 【详解】模拟程序的运行，可得 满足条件 N 能被 3 整除， 不满足条件，执行循环体，不满足条件 N 能被 3 整除， 不满足条件，执行循环体，不满足条件 N 能被 3 整除， 满足条件，退出循环，输出 N 的值为 3 故选：D 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，属于基础题 4.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生 成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平 面直角坐标系中， 圆 被的图象分割为两个对称的鱼形图案， 其中小圆的半径均为 ， 现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影
4、部分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设大圆的半径为 R，则：， 则大圆面积为：，小圆面积为：， 则满足题意的概率值为：. 本题选择 B 选项. 点睛：点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准 确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在 图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可. 5.设两个正态分布和的密度函数图像如图所示。则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得 最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越
5、底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线 的最高点越高且弯曲较陡峭，选 A。 6.由数字1， 2， 3， 组成的三位数中， 各位数字按严格递增 如“156” 或严格递减 如“421” 顺序排列的数的个数是 A. 120 B. 168 C. 204 D. 216 【答案】B 【解析】 【分析】 先从 9 个数字中选出 3 个数字，这三个数字按严格递增或严格递减排列共有 2 种情，由分步 计数乘法原理可得结果 【详解】首先要从 9 个数字中选出 3 个数字，共 C9 3种情形，当三个数字确定以后，这三个数 字按严格递增或严格递减排列共有 2 种情况，根据分步计数原理知共有 2C9 3168. 故选：B
6、【点睛】本题考查了分步计数原理，确定选排方案是解决问题的关键，属于基础题. 7.若直线过点，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 由题意得直线axbyab(a0，b0)过点(1,1)， 故abab，即， ，当且仅当ab2 时等号成立 所以直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为 4 8.登山族为了了解某山高与气温之间的关系，随机统计了 4 次山高与相应的气温， 并制作了对照表： 气温 18 13 10 山高 24 34 38 64 由表中数据，得到线性回归方程，由此请估计出山高为处气温的度 数为 A. B. C. D. 【答案】
7、D 【解析】 由题意可得 10， 40，所以 2 4021060. 所以 2x60，当 72 时，有2x6072，解得 x6，故选 D. 9.若直线 ：与 ：平行，则 与 间的距离为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 直线 ：与 ：平行 直线 与 之间的距离为. 故选 B. 10.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】 由中位数相同，得到，由平均数相同，得到，由此能求出 【详解】甲、乙两组数据如茎叶图所示，它们的中位数相同，解得， 平均数也相同，解得， 故选：C 【点睛】
8、本题考查了茎叶图的平均数、中位数等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题 11.一袋中有 5 个白球、3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到 红球出现 10 次时停止，设停止时共取了 X 次球，则等于 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率计算公式，即可求得 【详解】由题意可得，取得红球的概率为 ，说明前 11 次取球中，有 9 次取得红球、 2 次取得白球，且第 12 次取得红球，故= 故选：D 【点睛】本题考查了 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率，解本题须认真分析 P（X=12） 的意义，属
9、于基础题 12.已知 AC，BD 为圆 O：的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形 ABCD 的 面积的最大值为 A. 4 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设圆心到 AC、BD 的距离分别为、，则，代入面积公式，利用基本 不等式即可求出四边形 ABCD 的面积的最大值 【详解】设圆心 O 到 AC、BD 的距离分别为、，则 四边形 ABCD 的面积为： ，当且仅当时取等号， 故选：C 【点睛】本题考查了圆中弦长公式以及基本不等式的应用，四边形面积可用互相垂直的 2 条 对角线长度之积的一半来计算是解题的关键，属于基础题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题
10、，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.已知,则_. 【答案】 【解析】 含 的项的系数为，故填. 14.在某市“创建文明城市”活动中，对 800 名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直 方图 如图 ，但是年龄组为的数据不慎丢失，据此估计这 800 名志愿者年龄在的 人数为_ 【答案】160 【解析】 试 题 分 析 ： 设 年 龄 在的 志 愿 者 的 频 率 是， 则有 ，解得，故区间内的人数是 . 考点：频率分布直方图. 15.（5 分）在平面直角坐标系内，到点 A（1，2） ，B（1，5） ，C（3，6） ，D（7，1）的距 离之和最小的点的坐标是 【答案】 （2，4） 【
11、解析】 取四边形 ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下： 假设在四边形 ABCD 中任取一点 P，在APC 中，有 APPCAC，在BPD 中，有 PBPDBD， 而如果 P 在线段 AC 上，那么 APPCAC；同理，如果 P 在线段 BD 上，那么 BPPDBD. 如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时 P 就只能是 AC 与 BD 的交点 易求得 P(2,4) 16.从 5 名学生中选出 4 名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛 每科一人 ，其中甲不 能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为_ 【答案】96 【解析】 【分析】 根据题意，分 2 种
12、情况讨论：从 5 名学生中选出的 4 名学生没有甲；从 5 名学生中选出 的 4 名学生有甲，再由加法原理计算可得答案 【详解】根据题意，分 2 种情况讨论： ：从 5 名学生中选出的 4 名学生没有甲，需要将选出的 4 名学生全排列，参加四科竞赛， 有种情况， ：从 5 名学生中选出的 4 名学生有甲，则甲可以参加数学、物理、化学这三科的竞赛，有 3 种情况， 在剩余的 4 名学生中任选 3 人，参加剩下的三科竞赛，有种情况， 此时有种情况， 故有种不同的参赛方案种数， 故答案为：96 【点睛】本题考查了排列、组合的实际应用，注意优先分析受到限制的元素，属于基础题 三、解答题（本大题共三、解
13、答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 17.求过点且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程 【答案】或 【解析】 【分析】 当直线过原点时，由点斜式求出直线的方程；当直线不过原点时，设方程为，把点 代入可得 a 的值，从而得到直线方程 【详解】当直线过原点时，由于斜率为，故直线方程为，即 当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得，即直线的方程为 . 故满足条件的直线方程为或 【点睛】本题考查了用待定系数法求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题. 18.已知向量， 1 若 x，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子 六个面的点数分别为 1，2，3，4，5
14、，先 后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足的概率； 2 若 x，y 在连续区间上取值，求满足的概率. 【答案】 （1）； （2） 【解析】 【分析】 （1）利用列举法确定基本事件，即可求满足的概率； （2）画出满足条件的图形，结合图形找出满足条件的点集对应的图形面积，利用几何 概型的概率公式计算即可 【详解】1 将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次， 所包含的基本事件总数为， 满足的基本事件为，共 3 个，故概率为 2 若 x，y 在上取值，则全部基本事件的结果为， 满足的基本事件的结果为，且 画出图形如图所示，矩形的面积为，阴影部分的面积为， 故满足的概率为 【点睛】本题主要考查了
15、古典概率和几何概型的概率计算问题，体现了数形结合的数学思想， 属于中档题 19.如图所示，四边形 ABCD 是直角梯形，平面 ABCD， ， 求 SC 与平面 ASD 所成的角余弦值； 求平面 SAB 和平面 SCD 所成角的余弦值 【答案】 （1）； （2） 【解析】 【分析】 （1）建立直角坐标系，求出和平面 ASD 的一个法向量，设 SC 与平面 ASD 所成的角为 ， 利用向量法求解即可； （2）分别求出平面 SAB 和平面 SCD 的法向量，利用向量法求解平面 SAB 和平面 SCD 所成角的 余弦值 【详解】 （1）建立如图所示的空间直角坐标系，S（0，0，2） ，C（2，2，0）
16、 ，D（1，0，0） ， （2，2，2） ，AB平面 SAD，故平面 ASD 的一个法向量为（0，2，0） ，设 SC 与 平面 ASD 所成的角为 ，则 sin = ，故 cos，即 SC 与平面 ASD 所成的角余弦为：. （2）平面 SAB 的一个法向量为： （1，0，0） ，（2，2，2） ，（1，0，2） ， 设平面 SCD 的一个法向量为 （x，y，z） ，由，令 z1 可得平面 SCD 的一个法向量为 （2，1，1）显然，平面 SAB 和平面 SCD 所成角为锐角，不妨设为 ，则 cos，即平面 SAB 和平面 SCD 所成角的余弦值为 . 【点睛】本题考查了二面角的平面角和直线
17、与平面所成角，注意向量法的合理运用，属于 中档题. 20.如图所示，用 A、B、C 三类不同的元件连接成两个系统、，当元件 A、B、C 都正常工 作时，系统正常工作；当元件 A 正常工作且元件 B、C 至少有一个正常工作时，系统正常 工作；系统，正常工作的概率分别为， 1 若元件 A、B、C 正常工作的概率依次为，求，； 2 若元件 A、B、C 正常工作的概率的概率都是，求，并比较，的大小 关系 【答案】 （1）0.24，0.46； （2） 【解析】 【分析】 设元件 A、B、C 正常工作为事件 A，B，C，则 A，B，C 相互独立，则， ，由此能求 出结果； ， ，由此能比较，的大小关系 【
18、详解】设元件 A、 B、 C 正常工作为事件 A， B， C， 则 A， B， C 相互独立， ， 故， ， ， 又，故，即 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式的性质等基础知识，考查运 算求解能力，属于中档题 21.2018 年 9 月，台风“山竹”在沿海地区登陆，小张调查了当地某小区的 100 户居民由于台 风造成的经济损失，将收集到的数据分成五组：，单位：千元 ，并作出如下频率分布直方图 经济损失不超 过 4 千元 经济损失超 过 4 千元 合计 捐款超过 500 元 60 捐款不超 过 500 元 10 合计 1 台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的
19、 100 户居民捐款情况如表格， 在表格空白处填写正确数字， 并说明是否有以上的把握认为捐款数额多于或少于 500 元和 自身经济损失是否到 4 千元有关？ 2 将上述调查得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每 次抽取一户居民，连抽 3 次，记被抽取的 3 户居民中自身经济损失超过 4 千元的户数为 ，若 每次抽取的结果是相互独立的，求 的分布列和数学期望 附：临界值表： k 随机变量：，其中 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 1 由频率分布直方图，结合题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； 2 由频率估计概率，结合题意知 的可
20、能取值，计算对应的频率值，写出分布列，求出数学期 望值 【详解】 1 由频率分布直方图可知，在抽取的 100 人中，经济损失不超过 4 千元的有 70 人， 经济损失超过 4 千元的有 30 人， 则表格数据如下： 经济损失不超 过 4 千元 经济损失超 过 4 千元 合计 捐款超过 500 元 60 20 80 捐款不超 过 500 元 10 10 20 合 计 70 30 100 ， 故有以上的把握认为捐款数额多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4 千元有关； 2 由频率分布直方图可知，抽到自身经济损失超过 4 千元的居民的频率为， 由题意可知： 所有可能的取值为 0，1，2，3，
21、且； 故， ， ， ； 从而 的分布列为： 0 1 2 3 P 数学期望为 【点睛】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，也考查了离散型随机变量的 分布列与数学期望的应用问题，属于中档题 22.已知直线，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，圆心在 x 轴上且在直线 l 的右上 方 1 求圆 C 的方程； 2 过点的直线与圆 C 交于 A，B 两点在 x 轴上方 ，问在 x 轴上是否存在定点 N，使得 x 轴平分？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）； （2）见解析 【解析】 【分析】 1 设圆心（a，0） ，由圆心到直线的距离等于半径列等式解得或，再根据圆心在 直线 l 的右上方可得，从而可得圆的方程； 2 联立直线与圆的方程消去 y 的一元二次方程，根据韦达定理和斜率公式列式化简可得 【详解】设圆 C 的方程为：，由得或，又圆心在在直 线 l 的右上方，故. 故所求圆 C 的方程为：. 设过点的直线方程为： 设，故，假设存在使得 x 轴平分， 则 即，故对任意恒成立， 即恒成立，故即 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，也考查了韦达定理和斜率公式的应用，属于中档 题
