1、 湖北省黄冈市湖北省黄冈市 20182018 年秋季高二年级期末考试年秋季高二年级期末考试 数学试题（文科）数学试题（文科） 第第卷卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.对两位同学的 10 次数学测试成绩（满分 100 分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，由图 可知，成绩更稳定的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲乙同学 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】 由茎叶图的特征可直接判断出结果。 【详解】数据越集中，说明越稳定，因此可直接判断，乙同学成绩更稳定，故选 B. 【点睛】
2、本题主要考查茎叶图的特征，属于基础题型. 2.任意抛两枚一元硬币，记事件 ：恰好一枚正面朝上； ：恰好两枚正面朝上； ：恰好两枚 正面朝上； ：至少一枚正面朝上； ：至多一枚正面朝上，则下列事件为对立事件的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】 根据对立事件的定义，逐项判断即可. 【详解】因为 与 的并事件不是必然事件，因此 A 错；至少一枚正面朝上包含恰好两枚正面朝 上，所以 与 m 不是对立事件，故 B 错；因 与 是均表示两枚正面向上，所以 与 是相等事件， 故 C 错；所以选 D. 【点睛】本题主要考查对立事件的概念，属于基础题型. 3.已知双
3、曲线方程为，则其焦点到渐近线的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 先由双曲线的方程求出焦点坐标，以及渐近线方程，再由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 因为双曲线方程为， 所以可得其一个焦点为,一条渐近线为, 所以焦点到渐近线的距离为，故选 A. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，属于基础题型. 4.点的坐标分别是，直线与相交于点，且直线与的斜率的商是 ，则点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线 【答案】A 【解析】 【分析】 设点 M 坐标，由题意列等量关系，化简整理即可得出结果. 【详解】设，由题意可得,
4、因为直线与的斜率的商是， 所以，化简得，为一条直线,故选 A. 【点睛】本题主要考查曲线的方程，通常情况下，都是设曲线上任一点坐标，由题中条件找 等量关系，化简整理，即可求解，属于基础题型. 5.下列命题中的假命题是（ ） A. 对于命题，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若命题为真命题，则都是真命题 D. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则” 【答案】C 【解析】 【分析】 利用命题的否定，判断 A；根据充要条件判断 B；由复合命题的真假判断 C；由四种命题的逆 否关系判断 D。 【详解】对于 A:，则，正确； 对于 B:满足 “”能推出“”，反之不成立，故 B 正确； 对于 C
5、：若命题为真命题，则有一个真命题即可，故 C 错误； 对于 D：命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，正确； 故选 C. 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，属于基础题型. 6.若曲线在点处的切线方程是，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意求出曲线在点处的切线斜率，切线方程即可求出结果. 【详解】因为，所以, 所以曲线在点处的切线斜率, 又切线方程为，所以，所以.故选 D. 【点睛】本题主要考查曲线在某点处的切线问题，属于基础题型. 7.某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查， 设平均每人每天做作业的时间为 分钟， 有 1200 名小
6、学生参加了此项调查，调查所得到的数据用程序框图处理（如图） ，若输出的结 果是 840，若用样本频率估计概率，则平均每天做作业的时间在 060 分钟内的学生的概率是 （ ） A. 0.32 B. 0.36 C. 0.7 D. 0.84 【答案】A 【解析】 【分析】 由程序框图和题意，分析该程序的作用，即可求解. 【详解】由程序框图可知：该程序的作用是统计 1000 名学生中，平均每天做作业的时间不在 060 分钟内的学生的人数.由输出结果为 680，则平均每天做作业的时间在 060 分钟内的 学生人数为 1000-680=320， 故平均每天做作业的时间在 060 分钟内的学生的概率是, 故
7、选 A. 【点睛】本题主要考查程序框图，需要先分析框图的作用，再结合题意求解，属于基础题型. 8.南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率 的值在 3.1415926 与 301415927 之间，成为世界上第一把圆周率的值精确到 7 位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家 得出这样精确数值的时间，至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平.我们用概率模型 方法估算圆周率， 向正方形及其内切圆随机投掷豆子 （豆子大小忽略不计） ， 在正方形中的 1000 颗豆子中，落在圆内的有 782 颗，则估算圆周率的值为（ ） A. 3.118 B. 3.148 C. 3.128 D. 3.1
8、41 【答案】C 【解析】 【分析】 根据圆的面积与正方体的面积比，计算圆周率的值即可. 【详解】设正方形的边长为，则内切圆的半径为 ，由题意得 ，解得， 故选 C 【点睛】本题主要考查几何概型中的模拟方法估计概率的问题，属于基础题型. 9.函数导函数的图像如图，则函数（ ） A. 有一个极大值与一个极小值 B. 只有一个极小值 C. 只有一个极大值 D. 有两个极小值和一个极大值 【答案】A 【解析】 【分析】 先将导函数与 轴的交点横坐标记为，由导函数的正负确定原函数的单调性，从而判 断出结果. 【详解】将导函数与 轴的交点横坐标记为，由导函数的图像可得： 当或时，所以函数在和上单调递减；
9、 当时，,所以函数在上单调递增, 因此函数 有一个极大值与一个极小值，故选 A. 【点睛】本题主要考查根据导函数图像判断函数单调性的问题，属于基础题型。 10.已知双曲线，过其左焦点 作 轴的垂线，交双曲线于 ， 两点，若双曲 线的右顶点在以为直径的圆内，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先由双曲线的方程，得出以为直径的圆的半径，再由点在圆内，可得点到圆心的距离小 于半径，从而可求出结果. 【详解】由于双曲线，则直线方程为，因此， 设，所以，解之得,得, 因为双曲线的右顶点在以为直径的圆内，所以，即, 所以，所以，即,即, 所以离心率,
10、故选 C. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，由点和圆的位置关系判断关系即可求双曲线离 心率的取值范围，属于基础题型. 11.2018 年秋季，我省高一年级全面实行新高考政策，为了调查学生对新政策的了解情况，准 备从某校高一三个班级抽取 10 名学生参加调查.已知三个班级学生人数分别为 40 人，30 人，30 人.考虑使用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽 样和分层抽样时，将学生按三个班级依次统一编号为 1,2，100；使用系统抽样，将 学生统一编号为 1,2，100，并将整个编号依次分为 10 段.如果抽得的号码有下列四种情 况： 7,17,27,37,47,57
11、,67,77，87,97；3,9,15,33,43,53,65,75,85,95； 9,19,29,39,49,59,69,79,89,99,；2,12,22,32,42,52,62,73,83,96. 关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ） A. 都可能为分层抽样 B. 都不能为分层抽样 C. 都可能为系统抽样 D. 都不能为系统抽样 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，结合三种抽样方法得到数据的特点是：系统抽样方法得到的数据每个数据与前一 个数据的差都是 10， 分层抽样方法得到的数据在 1-40 之间的有 4 个， 4170 之间的有 3 个， 71100 之间的有 3 个；依次
12、分析四组数据，即可得出结果. 【详解】对于，既满足系统抽样的数据特征，又满足分层抽样的数据特征，所以可能是分 层抽样或系统抽样； 对于，只满足分层抽样的数据特征，所以可能是分层抽样； 对于，既满足系统抽样的数据特征，又满足分层抽样的数据特征，所以可能是分层抽样或 系统抽样； 对于，只满足分层抽样的数据特征，所以可能是分层抽样； 故选 A. 【点睛】本题主要考查分层抽样和系统抽样，由抽样方法的特征，即可判断出结果，属于基 础题型. 12.设函数是定义在 上的奇函数，为其导函数，已知，当时， 则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先构造函数，对求导，由题意
13、判断单调性，进而可求出结果. 【详解】构造函数，则， 因为当时，即，所以函数在上单调递减； 又因函数是定义在 上的奇函数，所以， 因此，所以函数在 上是偶函数， 所以在上单调递增；因，所以, 所以当时， 当时，即不等式的解集为； 故选 A. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的单调性，通常情况下需要构造函数，对新函数 求导判断单调性，从而可确定结果，属于中档题型. 第第卷卷 二、填空题（将答案填在答题纸上）二、填空题（将答案填在答题纸上） 13.曲线在点处切线的斜率为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由导函数的几何意义得，曲线在某点处的导函数值即是在该点处的切线斜率，进而可求解. 【详解】
14、因为，所以，将代入，得在点处切线的斜率为 ; 故答案为. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题型. 14.一个车间为了规定工作原理，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，收 集数据如下： 零件数 x（个） 10 20 30 40 50 加工时间y （分 钟） 64 69 75 82 90 由表中数据，求得线性回归方程，根据回归方程，预测加工 70 个零件所花费的时 间为_分钟 【答案】102 【解析】 【分析】 先利用回归直线过样本点中心，求出回归直线方程，进而可求出结果. 【详解】由题意可得，,由回归直线 过样本中心点， 所以有，故，所以； 当时，故答案为 102.
15、 【点睛】本题主要考查回归分析的初步应用，属于基础题型. 15.有三张卡片编号，卡片上分别写有数字 1 和 2,1 和 3,2 和 3，甲、乙、丙三人各取走 一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 1”，乙看了丙的卡片后 说：“我与丙的卡片上上相同的数字是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之后大于 3”，则甲 取走的卡片编号为_（填） 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据丙的说法推出丙的卡片上写着 1 和 3，或 2 和 3，再由乙的说法，即可推出乙丙的卡片， 进而可确定甲的卡片. 【详解】由丙的说法可退出，丙的卡片上写着 1 和 3，或 2 和 3；又由乙的说法推出，乙
16、和丙 都有 1，所以乙的卡片是 1 和 2，丙的卡片是 1 和 3，因此甲的卡片是 2 和 3，即甲取走的是 卡片 C.故答案为 C. 【点睛】本题主要考查简单的合情推理，由题中条件进行推理即可得出结果，属于基础题型. 16.给出下列命题，其中所有错误命题的序号是_ 抛物线的准线方程为； 过点作与抛物线只有一个公共点的直线 仅有 1 条； 是抛物线上一动点，以 为圆心作与抛物线准线相切的圆，则此圆一定过点. 【答案】 【解析】 【分析】 由抛物线的简单性质，判断的正误；由点和抛物线的位置关系，可判断的正误；由抛物 线的定义，可判断的正误； 【详解】因为抛物线的标准方程为，所以其准线方程为，故错
17、； 因为点满足抛物线的方程，所以点在抛物线上，易知过该点且与抛物线相切的直 线有两条，一条是，另一条是过该点的切线，故错； 由抛物线的定义知：抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离相等，因此以 为圆心作与 抛物线准线相切的圆，必过抛物线的焦点，故正确； 故答案为 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质，灵活运用抛物线的定义和性质是解题的关 键，属于基础题型. 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤步骤. .） 17.已知直线与圆相交于（点 在点 的右侧）两点. （1）求交点的坐标； （2）若点，求的面积. 【答案】 （1），（2）
18、 【解析】 【分析】 (1)直接联立直线与圆的方程，即可求出交点坐标； (2)由两点间距离公式求出，再由点到直线的距离公式求出点 到直线的距离，即可求 解. 【详解】 （1）由得， 交点的坐标分别为，. （2）由（1）得 点 到直线的距离为 所以，的面积为. 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，直线掌握相关的公式，如两点间距离公式，点 到直线的距离公式等，即可求解，属于基础题型. 18.已知命题 ：方程表示椭圆，命题. （1）若命题 为真，求实数 的取值范围； （2）若为真，为真，求实数 的取值范围. 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 (1)由命题 为真，可知成立，讨论和，即可得
19、出结果; (2)由为真，为真可知： 为假， 为真，进而可求出结果. 【详解】 （1）命题 为真， 当时，； 当时，不等式恒成立. 综上知，. （2）若 为真，则且 若为真，为真，为假， 为真. . 【点睛】本题主要考查复合命题的真假，其中常涉及一元二次不等式成立或恒成立的问题， 需要结合题意认真分析，避免失误即可，属于基础题型. 19.为了了解我市参加 2018 年全国高中数学联赛的学生考试结果情况，从中选取 60 名同学将 其成绩（百分制，均为正数）分成六组后，得到部 分频率分布直方图（如图） ，观察图形，回答下列问题： （1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）根据频率分布
20、直方图，估计本次考试成绩的众数、中位数、均值. 【答案】 （1）见解析； （2）众数 75 和 85、中位数 72、均值 70.5 【解析】 【分析】 (1)利用所有小矩形的面积之和为 1，求得分数在的频率，进而可求出对应小矩形的高， 即可补全频率分布直方图； (2)众数即是出现次数最多的数，在频率分布直方图中即是频率最高的组的中间值；中位数两 边的小矩形面积之和相等，可确定中位数；每组的中间值乘以该组的频率，再求和即可求出 均值. 【详解】 （1）设分数在内的频率为 ，根据频率分布直方图，则有 ，可得， 分数在内的频率为 0.25. 所以频率分布直方图为： （2）由图知，众数为：75 和 8
21、5 因为前 3 组的频率和为 0.45，前 4 组的频率和为 0.7，所以中位数在 70 和 80 之间，设中位 数为，则，解得. 中位数为 72. 均值为：. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图，注意小矩形的面积即为该组的频率，即可解题，属 于基础题型. 20.（1）已知函数，其中，求函数的图象恰好经过第一、二、 三象限的概率； （2）某校早上 8:10 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 7:308:00 之间到校，且每 人到该时间段内到校时刻是等可能的，求两人到校时刻相差 10 分钟以上的概率. 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 (1)先求出函数的系数构成的数对的个数，再求
22、出满足题意的数对的个数，由古典概型 的概率公式即可求出结果; (2)先设小张和小王到校时刻分别为，依题意确定的关系，作出对于图像，由几何概型的 计算公式，即可求解. 【详解】 （1）设函数的系数构成的数对为，则由题意知数对可能为： ， 共 16 种情况. 要使得函数的图象经过第一，二，三象限，则需，即 符合条件的数对为，共 3 对. 模型符合古典概型的定义，所以所求事件的概率为. （2）设小张和小王到校时刻分别为，且. 两人到校时刻相差 10 分钟等价于，且. 模型符合几何概型的定义，由图可知： 所以所求事件的概率为. 【点睛】本题主考查古典概型和几何概型，需要学生熟记列举法求古典概型概率的方
23、法，以 及几何概型的概率计算公式，属于基础题型. 21.已知椭圆直线，若椭圆 上存在两个不同的点，关于 对称，设 的中点为. （1）证明：点在某定直线上； （2）求实数 的取值范围. 【答案】(1)见证明；(2) 或. 【解析】 【分析】 (1)分两种情况和讨论，设出直线方程，以及，点的坐标，由都在椭圆 上，均满足椭圆方程，两式作差整理，再由点在直线 ，即可求出的坐标，进而证明结论成 立； (2)由点在椭圆的内部，结合(1)所求椭圆的坐标，即可求出结果. 【详解】 （1）当时，显然不符合题意，舍； 当时，设直线方程为， 则由相减，整理得， 即，. 又，. ，即. . 故点在定直线上. （2）由
24、（1）易得点， 由题意知，点必在椭圆内部， ，解得或. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义和简单性质，灵活掌握椭圆的几何性质是解题的关键，属 于中档题型. 22.设函数. （1）若函数在上单调递减，求实数 的取值范围； （2） 当时， 若不等式在上恒成立， 求满足条件的 的最大整数值. （参 考值：，）. 【答案】(1) (2)8 【解析】 【分析】 (1)先对函数求导，由函数在上单调递减推出在上恒成立，然后分离参 数，进而可求参数 的取值范围； (2)由不等式在上恒成立，转化为在上恒成立的问题， 构造函数，用导数的方法求出函数的最小值，进而可得出结果. 【详解】 （1）， 由于函数在上单调递减，所以在上恒成立. . 即. （2）由题意得，. 令，则. 令，则. 当时，在上单调递增. ，. 使得，即. 当时，在上递减； 当时，在上递 增. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，求参数的取值范围，常用分类参数的方法，属 于中档试题.
