1、 1 / 13 北京市 2013年 高级中等学校招生考试 数学答案解析 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】 解：将 3960用科学记数法表示为 33.96 10? 【提示】 科学记数法的表示形式为 10na? 的形式 ， 其中 ， n 为整数 确定 n 的值时 ， 要看把原数变成 a 时 ，小数点移动了多少位 ， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 当原数绝对值 1? 时 ， n 是正数；当原数的绝对值 1? 时 ， n 是负数 【考点】科学记数法 表示较大的数 2.【答案】 D 【解析】 解： 34143? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 34? 的倒数是 43? 【提
2、示】 根据倒数的定义：若两个数的乘积是 1， 我们就称这两个数互为倒数 【考点】倒数 3.【答案】 C 【考点】概率公式 【解析】 解：根据题意可得：大于 2 的有 3， 4， 5 三个球 ， 共 5 个球 ， 任意摸出 1 个 ， 摸到大于 2 的概率是 35 【提示】 根据随机事件概率大小的求法 ， 找准两点： 符合条件的情况数目 ， 全部情况的总数 ， 二者的比值就是其发生的概率的大小 4.【答案】 C 【解析】 解： 12? ， 3 40? ? ， ? ?111 1 8 0 3 1 8 0 4 0 7 022()? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ab ， 4 1 7
3、0? ? ? ? 【提示】 根据平角的定义求出 1? ， 再根据两直线平行 ， 内错角相等解答 【考点】平行线的性质 5.【答案】 B 【解析】 解： AB BC? ， CD BC? ， BAE CDE ， AB BECD CE? 20BE? m， 10CE? m， 20CD? m， 2020 10AB? 解得： 40AB? 2 / 13 【提示】 由两角对应相等可得 BAE CDE ， 利用对应边成比例可得两岸间的大致距离 AB 【考点】相似三角形的应用 6.【答案】 A 【解析】 解： A 不是轴对称图形 ， 是中心对称图形 故此选项正确； B 是轴对称图形 ， 也是中心对称图形 故此选项
4、错误； C 是轴对称图形 ， 不是中心对称图形 故此选项错误； D 是轴对称图形 ， 不是中心对称图形 故此选项错误 【提示】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【考点】中心对称图形 ， 轴对称图形 7.【答案】 B 【解析】 解：根据题意得： (5 0 9 0 1 4 0 4 0 ) 5 0? ? ? ? ? 320 50? 6.4? （ 小时 ） 故这 50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 6.4小时 【提示】 根据加权平均数的计算公式列出算式 5 1 0 6 1 5 7 2 0 8() 5 5 0? ? ? ? ? ? ? ?， 再进行计算即可 【考点】加权平均数 8.【答案】
5、 A 【解析】 解：作 OC AP? ， 如图 ， 则 1122AC AP x?， 在 Rt AOC 中 ， 1OA? ， 2 2 2 2111442O C O A A C x x? ? ? ? ? ?， 所以 211 4 0 2()24y O C A P x x x? ? ? ? ?gg， 所以 y与 x的函数关系的 图像 为 A选项 【提示】 作 OC AP? ， 根据垂径定理得 1122AC AP x?， 再根据勾股定理可计算出 21 42OC x?， 然后根据三角形面积公式得到 21 4 0 2()4y x x x? ? ? ?g ， 再根据解析式对四个图形进行判断 【考点】动点问题的
6、函数 图像 二、填空题 3 / 13 9.【答案】 2( 2)ab? 【解析】 解： 2 44ab ab a? 2( 4 4)a b b? ? ? （ 提取公因式 ） 2( 2)ab?（ 完全平方公式 ） 【提示】 先提取公因式 a， 再根据完全平方公式进行二次分解 完全平方公式： 2 2 22 ( )a ab b a b? ? ? ? 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 10.【答案】 2 1x? 【解析】 解：抛物线 2 1yx?开口向上 ， 且与 y轴的交点为 (0,1) 【提示】 根据二次函数的性质 ， 开口向上 ， 要求 a值大于 0即可 【考点】二次函数的性质 11.【答案】 2
7、0 【考点】矩形的性质 ， 三角形中位线定理 【提示】 根据题意可知 OM是 ADC 的中位线 ， 所以 OM的长可求；根据勾股定理可求出 AC的长 ， 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出 BO的长 ， 进而求出四边形 ABOM的周长 【解析】 解： O是矩形 ABCD的对角线 AC的中点 ， M是 AD的中点 ， 11 2 .522O M CD AB? ? ?， 5AB? ， 12AD? ， 225 12 13AC ? ? ?， O是矩形 ABCD的对角线 AC的中点 ， 1 6.52BO AC?， 四边形 ABOM的周长为 5 6 6 . 5 2 . 5 2 0A B A M
8、B O O M? ? ? ? ? ? ? ? 12.【答案】 32? 13? 0, 1? 【解析】 解：当 1 2a? 时 ， 1B 的纵坐标为 12 ， 1B 的纵坐标和 2A 的纵坐标相同 ， 则 2A 的横坐标为2 32a?， 2A 的横坐标和 2B 的横坐标相同 ， 则 2B 的纵坐标为2 23b?， 2B 的纵坐标和 3A 的纵坐标相同 ， 则 3A 的横坐标为3 13a?， 3A 的横坐标和 3B 的横坐标相同 ， 4 / 13 则 3B 的纵坐标为 3 3b? ， 3B 的纵坐标和 4A 的纵坐标相同 ， 则 4A 的横坐标为 4 2a? ， 4A 的横坐标和 4B 的横坐标相同
9、 ， 则 4B 的纵坐标为4 12b?， 即当 1 2a? 时 ，2 32a?，3 13a?， 4 2a? ，5 32a?，1 12b?，2 23b?， 3 3b? ，4 12b?，5 23b?， 2013 6713 ? ， 2013 3 13aa? ?； 点 1A 不能在 y轴上 （ 此时找不到 1B ） ， 即 0x? ， 点 1A 不能在 x轴上 （ 此时 2A ， 在 y轴上 ， 找不到 2B ） ， 即 10yx? ? ? ， 解得： 1x? ； 综上可得 1a 不可取 01?、 【提示】 求出 2a ， 3a ， 4a ， 5a 的值 ， 可发现规律 ， 继而得出 2013a 的值
10、 ， 根据题意可得 1A 不能在 x 轴上 ，也不能在 y轴上 ， 从而可得出 1a 不可能取的值 【考点】反比例函数综合题 三、解答题 13.【答案】见解析 【解析】 证明： DE AB ， CAB ADE? ? ， 在 ABC 和 DAE 中 ， CAB ADEAB DAB DAE? ? ?， ()ABC DAE ASA ， BC AE? 【提示】 根据两直线平行 ， 内错角相等求出 CAB ADE? ? ， 然后利用 “ 角边角 ” 证明 ABC 和 DAE 全等 ， 再根据全等三角形对应边相等证明即可 【考点】全等三角形的判定与性质 5 / 13 14.【答案】 5 【解析】 解：原式
11、 21 2 2 4 52? ? ? ? ? ? 【提示】 分别进行零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等运算 ， 然后按照实数的运算法则计算即可 【考点】 实数的运算 ， 零指数幂 ， 负整数指数幂 ， 特殊角的三角函数值 15.【答案】 11 5x? ? ? 【解析】 解： 32123xxx x? ? ?， 解不等式 得 ， 1x? ， 解不等式 得 ， 15x? ， 所以 ， 不等式组的解集是 11 5x? ? ? 【提示】 先求出两个不等式的解集 ， 再求其公共解 【考点】解一元一次不等式组 16.【答案】 12 【解析】 解： 2 4 1 0xx? ? ? ， 即 2 4
12、1xx?， 原式 2 2 2 2 2 24 1 2 9 3 1 ()2 9 3 4 3 9 1 2x x x y y x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 【提示】 原式利用完全平方公式及平方差公式化简 ， 去括号合并得到最简结果 ， 把已知等式变形后代入计算即可求出值 【考点】整式的混合运算 化简求值 17.【答案】 2.5平方米 【解析】 解：设每人每小时的绿化面积 x平方米 ， 由题意 ， 得 180 180 36 (6 2)xx? ， 解得： 2.5x? 经检验 ， 2.5x? 是原方程的解 ， 且符合题意 答：每人每小时的绿化面积 2.5平方米 【
13、提示】 设每人每小时的绿化面积 x平方米 ， 根据增加 2 人后完成的时间比原来的时间少 3 小时为等量关系建立方程求出其解即可 【考点】分式方程的应用 18.【答案】 （ 1） 52k? （ 2） 2 6 / 13 【解析】 解： （ 1） 根据题意得： 4 4 ( 2 4 ) 2 0 8 0kk? ? ? ? ? ? ， 解得： 52k? ； （ 2） 由 k为正整数 ， 得到 1k? 或 2， 利用求根公式表示出方程的解为 1 5 2xk? ? ? ， 方程的解为整数 ， 52k? 为完全平方数 ， 则 k的值为 2. 【提示】 （ 1） 根据方程有两个不相等的实数根 ， 得到根的判别式
14、的值大于 0 列出关于 k 的不等式 ， 求出不等式的解集即可得到 k的范围； （ 2） 找出 k范围中的整数解确定出 k的值 ， 经检验即可得到满足题意 k的值 【考点】根的判别式 ， 一元二次方程的解 ， 解一元二次方程 公式法 四、解答题 19.【答案】 （ 1） 见解析 （ 2） 13 【解析】 证明： （ 1） 在 ABCDY 中 ， AD BC ， 且 AD BC? F是 AD的中点 ， 12DF AD? 又 12CE BC? ， DF CE? ， 且 DF CE ， 四边形 CEDF是平行四边形； （ 2） 解：如图 ， 过点 D作 DH BE? 于点 H 在 ABCDY 中 ，
15、 60B? ? ? ， 60DCE? ? ? 4AB? ， 4CD AB?， 1 22CH CD?， 23DH? 在 CEDFY 中 ， 1 32CE DF AD? ? ?， 则 1EH? 在 Rt DHE 中 ， 根据勾股定理知 2( 2 3 ) 1 1 3DE ? ? ? 【提示】 （ 1） 由 “ 平行四边形的对边平行且相等 ” 的性质推知 AD BC ， 且 AD BC? ；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形 CEDF的对边平行且相等 （ DF CE? ， 且 DF CE ） ， 即四边形 CEDF是平行四边形； （ 2） 如图 ， 过点 D作 DH BE? 于点 H， 构造含
16、 30度角的直角 DCH 和直角 DHE 通过解直角 DCH和在直角 DHE 中运用勾股定理来求线段 ED的长度 7 / 13 【考点】平行四边形的判定与性质 ， 含 30度角的直角三角形 ， 勾股定理 20.【答案】 （ 1） 见解析 （ 2） 【解析】 （ 1） 证明： PA， PC与 Oe 分别相切于点 A， C， APO EPD? ? 且 PA AO? ， 90PAO? ? ? ， AOP EOD? ? ， 90PAO E? ? ? ? APO EDO? ? ， EPD EDO? ? ； （ 2） 解：连接 OC， 6PA PC?， 3tan 4PDA?， 在 Rt PAD 中 ， 8AD? ， 10PD? ， 4CD? ， 3tan 4PDA?， 在 Rt OCD 中 ， 3OC OA?， 5OD? ， EPD ODE? ? ， DEP OED ， 2DP PE EDDO DE OE? ? ?， 2DE OE? 在 Rt OED 中 ， 2 2 2OE DE OD?， 即 2255OE? ， 5OE? 【提示】 （ 1） 根据切线长定理和切线的性质即可证明： EPD EDO? ? ； （ 2） 连接 OC， 利用 3tan 4PDA?， 可求出 4CD? ， 再证明 OE
