1、 江西省宜春市江西省宜春市 20182018- -20192019 学年第一学期期末统考高二数学（文科）试卷学年第一学期期末统考高二数学（文科）试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.命题：，的否定是 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】 根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可 【详解】根据特称命题的否定是全称命题，所以命题的否定是：， 故选：C 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题 的否定是全称命题是解决本题的关键比较基础 2.若 ，则下列不等式
2、中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ,不正确，当 a=1,b=-2.不满足条件；故选项不对. B 当 a=1,b=-2,不满足.故选项不正确。 C ,当 c=0 时，故选项不正确. D 当，构造函数是增函数，故当，.故选项正确. 故答案为：D. 3.在中，若，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：在中，由正弦定理可知， . 考点：正弦定理的应用. 4.设为等差数列的前n项和，已知，则公差 A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用等差数列前n项和公式直接求解 【详解】为等差数列的前n项和， ， 解得公差 故选：B 【点
3、睛】本题考查等差数列前 n 项和公式的应用，属于基础题. 5.已知双曲线的一条渐近线为，则实数a的值为 A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为，结合题意可得答案 【详解】双曲线的焦点在x轴上，其渐近线方程为， 又由双曲线的一条渐近线为，即，则； 故选：A 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，当双曲线焦点在x轴上，其渐近线方程为 ，焦点在 y 轴上，渐近线方程为 6.已知数列的通项公式为，设其前n项和为，则使成立的 正整数n有 A. 最小值 64 B. 最大值 64 C. 最小值 32 D. 最大值32 【答案】C 【解析】 【分
4、析】 根据数列的通项公式求出其前n项和的的表达式，然后令即可求出n的取值范围， 即可知n有最小值 【详解】由题意可知；， 设的前n项和为 ， ，即， 成立的正整数n有最小值为 32， 故选：C 【点睛】本题考查数列与函数的综合应用，考查学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题 时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题 7.若函数在点处的切线平行于直线，则 A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求导数，可得处的切线斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a 【详解】函数的导数为， 在点处的切线平行于直线， 可得，即， 故选：D 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直
5、线平行的条件：斜率相等，考查方程思想和运 算能力，属于基础题 8.设椭圆的焦点与抛物线的焦点相同， 离心率为 ， 则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，求抛物线的焦点坐标，则有椭圆的焦点坐标，据此可得， ，结合椭圆的离心率公式可得m的值，计算可得n的值，分析可得答案 【详解】根据题意，抛物线的焦点为， 则椭圆的焦点也为，焦点在y轴上， 则有， 又由椭圆的离心率为 ，即，则， 则， 则； 故选：A 【点睛】本题考查椭圆、抛物线的性质，注意椭圆离心率公式的应用，属于基础题 9.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解
6、析】 【分析】 由余弦定理可得，变形得，根据余弦定理可求得答 案 【详解】根据题意，若， 则有：， 整理得：， 可得：， 又在中， 故选：C 【点睛】本题考查三角形中的几何计算，考查了余弦定理的应用，属于基础题 10.已知函数为R上的可导函数， 其导函数为， 且， 在 中，则的形状为 A. 等腰锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰钝角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 求函数的导数，先求出，然后利用辅助角公式进行化简，求出A，B的大小即可判断 三角形的形状 【详解】函数的导数， 则， 则，则， 则， ， ， ，即， 则，得， ，即， 则，则， 则， 则， 即是等腰钝角
7、三角形， 故选：D 【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数和的解析式是解 决本题的关键 11.已知点在椭圆上，点为平面上一点，O为坐标原点，则当 取最小值时，椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 点在椭圆上，得到a，b关系，然后通过基本不等式可得最小值，且求出取最小值 时a，b的值，然后求解离心率 【详解】点在椭圆上，可得， 为平面上一点，O为坐标原点， 则当，当且仅当，可得 ， 可得 故选：C 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查利用基本不等式求最值问题，考查转化思想 以及计算能力 12.已知函数， 记是的导函数， 将满足的所有正
8、数x从小 到大排成数列，则数列的通项公式是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求解的所有正数根，然后根据函数的导数以及三角函数求值求解. 【详解】函数，由，即， 解得，从而2，3， ， 故选：B 【点睛】本题考查导数的运算，三角函数方程的求解，以及数列通项公式的求法，属于中档 题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.不等式的解集是_ 【答案】或 【解析】 【分析】 利用移项通分，转化为整式不等式组，即得答案 【详解】， 或， 或 不等式的解集是或 故答案为：或 【点睛】本题考查分式不等式的解法，属于简单题
9、. 14.已知等比数列的前n项和为，若，则_ 【答案】14 【解析】 【分析】 由等比数列的性质得：，成等比数列，即 2，4，成等比数列，由此能求 出 【详解】等比数列的前n项和为， 由等比数列的性质得：，成等比数列， ，4，成等比数列， ， 解得 故答案为：14 【点睛】本题考查等比数列性质的应用，已知数列为等比数列，则，也 成等比数列 15.已知抛物线的焦点F和，点P为抛物线上的动点，则的周长取到最小 值时点P的坐标为_， 【答案】 【解析】 【分析】 求周长的最小值， 即求的最小值设点P在准线上的射影为D， 可知 因此问题转化为求的最小值，当D、P、A三点共线时最小，由此即可求 点 P
10、坐标 【详解】抛物线的焦点为，点， 求周长的最小值，即求的最小值， 设点P在准线上的射影为D， 根据抛物线的定义，可知 因此，的最小值，即的最小值 根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时最小， P的纵坐标为：2，可得，解得 则的周长取到最小值时点P的坐标为 故答案为： 【点睛】考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点共线时 最小，是解题的关键 16.随着人工智能的兴起，越来越多的事物可以用机器人替代，某学校科技小组自制了一个机 器人小青，共可以解决函数、解析几何、立体几何三种题型已知一套试卷共有该三种题型题 目 20 道，小青解决一个函数题需要 6 分钟，解决
11、一个解析几何题需要 3 分钟，解决一个立体 几何题需要 9 分钟已知小青一次开机工作时间不能超过 90 分钟，若答对一道函数题给 8 分， 答对一道解析几何题给 6 分，答对一道立体几何题给 9 分该兴趣小组通过合理分配题目可使 小青在一次开机工作时间内做这套试卷得分最高，则最高得分为_分 【答案】140 【解析】 【分析】 由题意及不等式的知识可列不等式组， 由简单的线性规划知识画出不等式组所对应的可行域，再观察图象即可得解， 【详解】设函数、解析几何、立体几何三种题型的题数分别为：x，y，z， 则，x，y， 则有， 化简得：， 由题意可列不等式组， 目标函数， 不等式所对应的可行域为三角形
12、ABC边界及其内部， 由简单的线性规划及图象可得： 当直线过点，即时，目标函数m取最大值 140， 故答案为：140 【点睛】本题考查了不等式及简单的线性规划知识，属中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 17.命题p：的定义域为R；命题q：方程表示焦点在y轴上的双 曲线 若命题p为真，求实数m的取值范围； 若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围 【答案】 （1）； （2）， 【解析】 【分析】 命题p为真命题等价不等式恒成立，进行求解即可根据复合命题真假关系，判断p，q 的真假即可 【详解】解：若命题p为真
13、，则，为真， 若命题q为真，则 ， 又“p且q”是假命题，“p或q”是真命题， 是真命题且q是假命题，或p是假命题且q是真命题 或， ，或， 的取值范围是， 【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题p，q为真命题的等价条 件是解决本题的关键 18.的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，若 求角C； 若，求角B 【答案】 （1） ； （2）. 【解析】 【分析】 利用三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可求，结合范围，可求C 的值由已知利用正弦定理可求，利用大边对大角可求，进而可求A的值， 根据三角形内角和定理可求B的值 【详解】解：， ， ，可得， ， ，
14、 由，可得：， ，可得， ， 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，大边对大角，三角形内 角和定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 19.已知函数， 在答题卡中的平面直角坐标系里作出的图象； 求满足的x的取值范围 【答案】 （1）详见解析； （2）详见解析. 【解析】 【分析】 根据绝对值的应用将函数转化为分段函数形式进行作图即可作出两个函数的图象，利 用图象法进行求解即可 【详解】解：(1)f(x)=|x+1|+|x-2|， ， 则对应的图象如图： ， 作出和的图象如图： 若， 则由图象知在A点左侧，B点右侧满足条件 此时对应的x满足或， 即
15、不等式的解集为 【点睛】本题主要考查函数图象的应用，结合绝对值的意义转化为分段函数形式是解决本题 的关键 20.已知数列为等差数列， 数列为等比数列， 满足， 求数列和的通项公式； 令 ，求数列的前n项和 【答案】 （1）； （2）. 【解析】 【分析】 利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出利用“错位相减法”与等比数列的求和 公式即可得出 【详解】解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， ， ， ， ， 数列的前n项和， ， 【点睛】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题 21.设椭圆，B为椭圆上任一点，F为椭圆左焦
16、点，已知的最小值与 最大值之和为 4，且离心率，抛物线的通径为 4 求椭圆和抛物线的方程； 设坐标原点为O，A为直线与已知抛物线在第一象限内的交点，且有 试用k表示A，B两点坐标； 是否存在过A，B两点的直线l， 使得线段AB的中点在y轴上？若存在， 求出直线l的方程， 若不存在，请说明理由 【 答 案 】 （ 1 ） 椭 圆 方程 为， 抛 物 线 方 程 为； （ 2 ） ， ，；不存在. 【解析】 【分析】 根据|的最小值与最大值之和为 4，可求出 a=2，再根据离心率求出c，再求得 ，则椭圆方程可得，根据抛物线的通径为 4，可得，即可求出抛 物线方程，设直线OA方程为，与抛物线方程联立
17、，解得即可求出点A的坐标，根 据设直线OB方程为，将直线OB与椭圆联立，解得即可求出点B的坐标， 根据的结论，利用线段AB的中点在y轴上，若求出k的值，在存在，否则不存在 【详解】解：为椭圆上任一点，F为椭圆左焦点，的最小值与最大值之和为 4， ， 椭圆方程为，抛物线的通径为 4， 抛物线的方程为 设直线OA方程为， 显然， 将直线OA与抛物线联立：得， ， 设直线OB方程为，将直线OB与椭圆联立：得， 当时， 当时， 综上， 当时， 的中点在y轴上 ，即，此时方程无解， 当时， ，即，此时方程无解， 综上可知，不存在这样的直线l，使得AB的中点在y轴上 【点睛】本题考查了椭圆方程的几何性质和
18、直线与抛物线和直线和椭圆的交点坐标，考查了 运算能力，属于中档题 22.已知函数 当时，求函数的极值； 求函数的单调递增区间； 当时，恒成立，求实数a的取值范围 【答案】 （1）的极小值是，无极大值； （2）； （3）. 【解析】 【分析】 代入a值，求函数的导数，解导数不等式得到函数的单调区间，即可求极值；求函数的 导数，通过讨论a的范围，解导数不等式得函数的递增区间；问题转化为，令 ，根据函数的单调性求最大值，从而求a的范围 【详解】解：时， 令，解得：或， 令，解得：， 故在递增，在递减，在递增， 而在处无定义， 故的极小值是，无极大值； ， 当时，解得：或， 故函数在，递增， 当时，解得：， 故函数在递增； ，令， 则， ，令，解得：， 在递增，在递减， 即， 故 【点睛】本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分 类讨论思想，综合性较强
