1、 山西省晋中市山西省晋中市 20182018- -20192019 学年高二上学期期末调研测试学年高二上学期期末调研测试 数学（文）试题数学（文）试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.若曲线表示椭圆，则 k 的取值范围是 A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】 根据曲线表示椭圆列出不等式组，解出即可得 的取值范围 【详解】由题设可得，解得，故选 D 【点睛】对于曲线， （1）如果该曲线为椭圆，则，更一步地，如果表示焦点在 轴上的椭圆，则 有；如果表示焦点在 的椭圆，则； （2）如果该曲线为双曲线，则，更一
2、步地，如果表示焦点在 轴上的双曲线，则有 ；如果表示焦点在 的双曲线，则 2.下列说法错误的是 A. 棱柱的侧面都是平行四边形 B. 所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥 C. 用一个平面去截正方体，截面图形可能是五边形 D. 将直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】 由棱柱的性质可判断 A；可举正八面体可判断 B；用一个平面去截正方体，与正方体的五个面 相交，可判断 C；由圆锥的定义可判断 D 【详解】由棱柱的性质可得棱柱的侧面都是平行四边形，则 A 正确； 所有面都是三角形的多面体不一定是三棱锥，比如正八面体的各个面都是正三角形，则 B 错
3、误； 用一个平面去截正方体，与正方体的五个面相交，可得截面图形是五边形，则 C 正确； 由圆锥的定义可得直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥，则 D 正确 故选：B 【点睛】本题考查空间几何的性质，属于基本题 3.已知直线 的方程为，直线 的方程为，若， 则 A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据两条直线平行得到系数满足的方程，解得 的值后检验即可得到 的值 【详解】因为，故，整理得到， 解得或 当时，两直线重合，舎； 当时，两直线平行，符合； 故，选 C 【点睛】如果， （1）平行或重合等价于； （2）垂直等价于 4.已知圆， 圆， 则两圆的位置关
4、系为 （ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】D 【解析】 由于圆， 即，表示以为圆心， 半径等于 的圆 圆， 表示以为圆心，半径等于 的圆 由于两圆的圆心距等于 故两个圆相内切 故选： 5.实数 x，y 满足，则的最小值是 A. 7 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，由的几何意义可知， 为可行域内的动点 与定点 连线的斜率，由数形结合求得最小值即可 【详解】 可行域如图所示，的几何意义为可行域内的动点 与定点连线的斜率， 由图形可得，故，故选 C 【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最
5、 值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍 ， 而则表示动点与的连线的斜率 6.某空间几何体的三视图如图所示，该几何体是 A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 四棱柱 D. 四棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三视图知该几何体是一个立放的四棱锥 【详解】 根据三视图知，该几何体是一个立放的四棱锥，如图所示； 故选：D 【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，属于基础题 7.下列命题中，真命题的个数是 若“”为真命题，则“”为真命题； “，函数在定义域内单调递增”的否定； 为直线， ， 为两个不同的平面，若，则； “，”的否定为“，” A. B. C. D. 【
6、答案】A 【解析】 【分析】 利用复合命题的真假判断的正误；利用指数函数的单调性判断的正误；利用直线与平面 垂直关系判断的正误；利用命题的否定判断的正误. 【详解】若“”为真命题，可知两个命题至少一个是真命题，若它们为一真一假，则 “”为假命题，不正确； “，函数在定义域内单调递增”的否定：“，函数在 定义域内单调递减”；例如，在定义域内单调递减，所以正确； 为直线， 为两个不同的平面，若， ，则，也可能，所以不正确； “”的否定为“”，所以不正确； 只有是真命题； 故选：A 【点睛】复合命题的真假判断为“一真必真，全假才假”，的真假判断为“全真才 真，一假比假”，的真假判断是“真假相反”对于
7、立体几何中点、线、面的位置关系的 判断题，要动态考虑它们的位置关系 8.函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 结合导函数与原函数单调性的关系，绘制图像，即可。 【详解】结合当，单调递增，当，单调递减，故选 D。 【点睛】本道题考查了导函数与原函数单调性的关系，难度较小。 9.已知，是双曲线的左右焦点，P 是双曲线右支上一点，M 是的中点，若 ，则是 A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 利用三角形中位线性质，求出，利用双曲线定义，求出 【详解】因为 是的中点， 是的中点， 所以，因为，所以，
8、因为 在右支上，故，故，故选 A 【点睛】一般地，圆锥曲线中与焦点有关的数学问题可以考虑用圆锥曲线的几何性质.圆锥曲 线的几何性质包括第一定义和第二定义，前者可将与一个焦点有关的问题转化为与另一个焦 点相关的数学问题，后者可将数学问题转化与相应准线的距离问题 10. 已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：如图，取中点 ，连接，因为 是中点，则，或其补角就是 异 面 直 线所 成 的 角 ， 设 正 四 面 体 棱 长 为1 ， 则， 故选 B 考点：异面直线所成的角 【名师点
9、睛】求异面直线所成的角的关键是通过平移使其变为相交直线所成角，但平移哪一 条直线、平移到什么位置，则依赖于特殊的点的选取，选取特殊点时要尽可能地使它与题设 的所有相减条件和解题目标紧密地联系起来如已知直线上的某一点，特别是线段的中点， 几何体的特殊线段 11.对于直线 m，n 和平面 ， ，则的一个充分条件是 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】 A， B， D 三个选项下的相交时， 也满足每个选项的条件， 所以由 A， B， D 中的条件得不出， 而选项 C 可以得到平面同时和一条直线垂直，所以，所以 C 中的条件是的充分条 件 【详解】A 这种情况下，可能
10、相交，让都和交线平行即可； B 这种情况下，可能相交，让都和交线平行即可； C 因为，又，因同时和一直线垂直的两平面平行，故； D.如果，也存在，且 故选：C 【点睛】面面平行的判定可以由线面平行得到，但两条直线必须是一个平面中的两条相交直 线如果一条直线同时垂直于两个平面，那么这两个平面是平行的 12.已知的两个极值点分别为，且，则函数 A. B. C. 1 D. 与 b 有关 【答案】B 【解析】 【分析】 求出函数的导数，利用韦达定理得到满足的方程组，解方程组可以得到，从而可 求 【详解】，故，且， 又，所以，故，解得（舎）或者 此时， ， 故 故选：B 【点睛】如果在处及附近可导且的左
11、右两侧导数的符号发生变化，则必为函数 的极值点且极大值点、极小值点的判断方法如下： （1）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极大值点； （2）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极小值点 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 3 3 小题，共小题，共 15.015.0 分）分） 13.已知，则_. 【答案】 【解析】 【分析】 先求导，再代值计算 【详解】，所以，故， 故答案为： 【点睛】本题考查了导数的运算法则，属于基础题 14.已知命题“，”是真命题，则实数 a 的取值范围为_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用参数分离法和基本不等式可得实数 的取值范围 【详解】
12、因为命题“， ”是真命题， 则在上恒成立，又，当且仅当等号成立， 故即，故答案为 【点睛】含参数的一元二次不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，把问题归结为 不含参数的函数的值域问题，也可以讨论不等式对应的二次函数的最值. 15.已知直线与椭圆交于 A，B 两点，且 A，B 中点的横坐标为 3，则椭圆的离心率为_ 【答案】 【解析】 【分析】 设，则，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理求出，即 可求解椭圆的离心率 【详解】设，则， 由，得， 所以，也即是， 椭圆的离心率故答案为： 【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于 或 的一元二 次方程，再把要求解的目
13、标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中 含有或， 最后利用韦达定理把关系式转化为某些变量的方程， 解此类方 程即可得所求关系 16.直线的倾斜角为_ 【答案】 【解析】 【分析】 把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出 【详解】设直线的倾斜角为 由直线化为，故， 又，故，故答案为： 【点睛】 一般地， 如果直线方程的一般式为， 那么直线的斜率为， 且，其中 为直线的倾斜角，注意它的范围是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 7 小题，共小题，共 75.075.0 分）分） 17.已知 p：，q：，且 p 是 q 的充分不必要条件，求 a 的取 值范
14、围 【答案】或 【解析】 【分析】 根据不等式的解法求出的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化进行求解即 可 【详解】由， 得，由得，即， 也就是或者， 因为 是 的充分不必要条件， 所以是的真子集， 所以或，解得或 所以 的取值范围是或 【点睛】 （1）若 是 的必要不充分条件，则 对应集合是 对应集合的真子集； （2） 是 的充分不必要条件， 则 对应集合是 对应集合的真子集； （3） 是 的充分必要条件，则 对应集合与 对应集合相等； （4） 是 的既不充分又不必要条件， 对的集合与 对应集合互不包含 18.已知物线 C：过点 求抛物线 C 的方程； 设 F 为抛物线 C 的焦
15、点，直线 l：与抛物线 C 交于 A，B 两点，求的面积 【答案】 （1）； （2）12 【解析】 【分析】 （1）将点的坐标代入抛物线，进行求解即可 （2）联立方程组，利用根与系数之间的关系结合三角形的面积公式进行求解 【详解】 （1）因为抛物线：过点， 所以，解得，所以抛物线 的方程为 （2）由抛物线的方程可知，直线与 轴交于点， 联立直线与抛物线方程，消去 可得， 所以，所以， 所以的面积为 【点睛】直线与抛物线的位置关系，可通过联立直线方程和抛物线方 程消去 （或 ）得到关于 （或 ）的方程，再利用韦达定理简化目标代数式， 也可以直接求出相应的根，再考虑与交点有关的数学问题 19.如图
16、，在四棱锥中，E 是 PC 的中点，底面 ABCD 为矩形， 为正三角形，且平面平面 ABCD，平面 ABE 与棱 PD 交于点 F 求证：； 求三棱锥的体积 【答案】 （1）见解析； （2） 【解析】 【分析】 （1）先利用线面平行的判定定理得平行平面，再用线面平行的性质定理得平行； （2）通过转换顶点把问题转化为求的体积，求解就容易了 【详解】 （1）证明：在矩形中，面，平面， 平面，又平面，平面平面，； （2）由（1）可知，为中点，为中点，连接， 平面平面，平面，平面平面，平 面， 【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平 行投影或中心投影，我们也
17、可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直 线的平面，证明该平面与已知平面平行. 又三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面， 此时顶点到底面的距离容易计算. 20.已知动点 M 到点与点的距离之比等于 2，记动点 M 的轨迹为曲线 C 求曲线 C 的方程； 过点作曲线 C 的切线，求切线方程 【答案】 （1）； （2）或 【解析】 【分析】 （1）设点 的坐标为，根据距离公式列等式，化简即可得出曲线 的方程； （2）对切线斜率是否存在进行分类讨论，结合圆心到直线的距离等于 2 可得出切线的方程 【详解】 （1）设动点 的坐标为， 则， 所以，化简得， 因此，动点 的轨迹方程为；
18、 （2）当过点 的直线无斜率时，直线方程为， 圆心到直线的距离等于 ，此时直线与曲线 相切； 当切线有斜率时，不妨设斜率为 ， 则切线方程为，即， 由圆心到直线的距离等于半径可知，解得 所以，切线方程为 综上所述，切线方程为或 【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆） ， 常见的“隐形圆”有： （1）如果为定点，且动点 满足，则动点 的轨迹为圆； （2）如果中，为定长， 为定值，则动点 的轨迹为一段圆弧 21.已知函数 当时，求在处的切线方程； 讨论的单调性 【答案】 （1）； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）代入 的值，求出函数的导数，求出切线
19、方程即可； （2）求出函数的导数，通过讨论 的范围及相应的导数的符号，求出函数的单调区间即可； 【详解】 （1）当时， ，又， 故切线方程为，即 （2）函数的定义域是， ， 当时， ，故在为减函数； 当时，若，则；若，则， 故在上为减函数；在上为增函数 综上，时，在为减函数； 时，在上为减函数；在上为增函数 【点睛】 一般地， 若在区间上可导， 且， 则在上为单调增 （减） 函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则 22.已知椭圆的右焦点为，且过点 求椭圆的标准方程； 设直线 l：与椭圆在第一象限的交点为 M， 过点 F 且斜率为的直线与 l 交于 点 N，若与的面积之比为 3：为坐
20、标原点 ，求 k 的值 【答案】 （1）； （2）或 【解析】 【分析】 （1）根据题意列出有关的方程组，求出这两个数的值，即可求出椭圆的标准方程； （2）设点 的坐标为，点 的坐标，利用已知条件可得，然后将直线 的方 程分别与椭圆方程和直线的方程联立，求出点的坐标，结合条件可求出 的值 【详解】 （1）由题意可知，解得（负值舍去） ， 所以椭圆的标准方程为 （2）设点 的坐标为，点 的坐标，由题可知， 与的面积之比为 3：2，与的面积之比为 2：5， 也即 由，消去 ，可得， 易知直线的方程为， 由，消去 ，可得， 所以，整理得，解得或 【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与 圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以联立直线方程与椭圆方程，求出一些关键 的点，再利用这些关键点之间的关系构建目标变量的方程.
