1、 重庆市九龙坡区重庆市九龙坡区 20182018- -20192019 学年高二（上）期末数学试卷（理科）学年高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.已知点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据斜率公式求斜率，再求倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为，所以倾斜角为，选 C. 【点睛】本题考查斜率以及倾斜角概念,考查基本求解能力,属基础题. 2.下列双曲线中，焦点在 轴上且渐近线方程为的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：焦点在 轴
2、上的是 C 和 D，渐近线方程为，故选 C 考点：1双曲线的标准方程；2双曲线的简单几何性质 3.下列说法错误的是 A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则” C. 若为假命题，则均为假命题 D. 命题 ：，使得，则:，均有 【答案】C 【解析】 中只要有一个是假命题，则为假命题，因此 C 错误，故选 C 4.设双曲线的离心率为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的 方程是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求得抛物线的焦点，可得双曲线的 c，由离心率公式和 a，b，c 的关系，解方程组可得 a， b，进而得到双曲线的方程 【详
3、解】由题得抛物线的焦点为， 所以双曲线的，即， 由， 解得， 则双曲线的方程为 故选：D 【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础 题 5.设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】 对每一选项进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可 【详解】对于 A，根据线面平行性质定理即可得 A 选项正确；对于 B，当，时， 若，则，但题目中无条件，故 B 不一定成立；对于 C，若， ，则 与 相交或平行，故 C 错误；对于 D，若，则 与 平行或异面，则
4、 D 错误，故选 A. 【点睛】本题考查的知识点空间直线与平面垂直的判定定理，性质定理，定义及几何特征， 其中熟练掌握空间中线线垂直，线面垂直，面面垂直的相互转化是解答本题的关键 6.已知双曲线 ，直线 交双曲线于两点，若的中点坐标为，则 l 的方 程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设 ，则 所以 ，选 C. 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦 AB 所在直线方程的斜率 k,方法一利用 点差法，列出有关弦 AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率 k，利用根与 系数的关系及中点坐标公式求得直线方程. 7.某圆柱的高为 1，底面周长为 8，其三
5、视图如图所示圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点 为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中， 最短路径的长度为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求出底面的半径，进一步利用弧长公式和勾股定理求出结果得解 【详解】根据几何体的三视图如图所示： 由于底面周长为 8，得到， 解得， 所以点 M 到 N 在下底面上的射影的弧长为， 把圆柱的侧面展开得到从 M 到 N 的路径中的最小值为 故选：C 【点睛】本题主要考查三视图和几何体之间的转换，考查弧长公式的应用，考查展开法和学 生的运算能力和转化能力，属于基础题 8.椭
6、圆的焦点为，P为椭圆上一点， 若， 则的面积是 （ ） . A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 椭圆焦点三角形的面积公式为，直接代入公式可求得面积. 【详解】由于椭圆焦点三角形的面积公式为，故所求面积为，故选 A. 【点睛】本小题主要考查椭圆焦点三角形的面积，椭圆焦点三角形的面积公式为， 将题目所给数据代入公式，可求得面积.属于基础题. 9.如图，在所有棱长均为 2 的直三棱柱中，D、E 分别为、的中点，则异 面直线 AD，CE 所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设的中点 ，以为轴建立坐标系，分别求出，利用 空间向量夹角余弦公式可得结
7、果. 【详解】设的中点 ，以为轴建立坐标系， 则， 则， 设与成的角为 ， 则，故选 C. 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角立体几何解题的“补型法”，属于难题.求异面直线 所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分 别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四 边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解. 10.动圆 M 与定圆 C：x 2y24x0 相外切，且与直线 l：x20 相切，则动圆 M 的圆心的 轨迹方程为( ) A. y 212x120 B. y 212x120 C. y 28x0
8、 D. y 28x0 【答案】B 【解析】 【分析】 设 M 点坐标为（x，y） ，C（2，0） ，动圆得半径为 r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得 性质可得，MC=2+r，d=r，从而|MC|d=2，由此能求出动圆圆心轨迹方程 【详解】设 M 点坐标为（x，y） ，C（2，0） ，动圆得半径为 r， 则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，MC=2+r，d=r |MC|d=2，即：（2x）=2， 化简得： y 212x120 动圆圆心轨迹方程为y 212x120 故选：B 【点睛】本题考查动圆圆心轨迹方程的求法，考查直线方程、圆、两点间距离公式、两圆相 外切、直线与圆相切等基础知识，考查
9、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、 函数与方程思想，是中档题 11.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问 题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点 的距离结合上述观点，可得的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 化简得，表示平面上点与点， 的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论 【详解】 ， 表示平面上点与点，的距离和， 连接 NH，与 x 轴交于， 由题得， 所以， 的最小值为， 故选：C 【点睛】本题主要考查两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，合理转化是正确 解题的关键 12
10、.已知椭圆与双曲线有相同的左、 右 焦点，若点 P 是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分 别为，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据椭圆和双曲线的定义得到，再根据椭圆和双曲线的离心率得到， 即得，再换元结合函数（3t4）的单调性求出的取值范 围. 【详解】设，由椭圆的定义可得， 由双曲线的定可得， 解得， 由，可得， 即， 由，可得， 由，可得， 可得，即， 则， 可设，则， 由于函数在递增，所以 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的范围，考查换元 法和构造函数法，考查运算能力，属于中档题 二、填空题（本大
11、题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.已知直线 ：， ：平行，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据两直线平行时，列方程求出 m 的值得解 【详解】直线 ：， ：平行， 则， 解得 故答案为： 【点睛】本题主要考查两直线平行的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和 分析推理能力. 14.在四面体中，面 BCD，若四面体的顶点 在同一个球面上，则该球的表面积为_ 【答案】 【解析】 【分析】 先计算出直角的外接圆直径 BD，再利用公式可得出外接球的直径，再 利用球体表面积公式可得出答案 【详解】，所以直角的外接圆直径为 平面 BCD，所
12、以四面体 ABCD 的外接球直径为 因此，该球的表面积为 故答案为： 【点睛】本题主要考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出合适的模型计算出球体 的半径，考查计算能力，属于中等题 15.如图，网格纸上小正方形的边长为 2，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该 多面体的体积为_ 【答案】 【解析】 【分析】 首先找到三视图对应的几何体原图，进一步利用几何体的体积公式的运算求出结果 【详解】根据几何体的三视图找到对应的几何体原图是如图所示的三棱锥 C-ABD， 其中 BD=2,ABD 的面积为. 所以 故答案为： 【点睛】本题主要考查三视图和几何体的转换，考查几何体的体积公式的应用，
13、主要考查学 生的运算能力和转化能力，属于基础题型 16.已知，是椭圆的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为的直线上，为等腰三角形，则 C 的离心率为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由题得直线 AP 的方程为， 直线的方程为， 即联 立，解得 P 点坐标 再根据为等腰三角形，可得 利用两点之间的距离公式即可得出 C 的离心率 【详解】如图所示， 直线 AP 的方程为， 直线的方程为，即 联立，解得， 为等腰三角形， ， 所以 故答案为： 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、等腰三角形的性质， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 三三、解答题（
14、本大题共、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 17.已知命题；命题 q：关于 x 的方程有两个不同的实数 根 若为真命题，求实数 m 的取值范围； 若为真命题，为假命题，求实数 m 的取值范围 【答案】 （1）； （2） 【解析】 【分析】 先求出 p 和 q 为真命题时 m 的范围，然后再求范围对应的集合的交集得解；若为真 命题，为假命题等价于命题 p，q 一真一假，按照 p 真 q 假和 p 假 q 真两种情况解不等式 组即得解. 【详解】当命题 p 为真时，得 当命题 q 为真时，则，解得 若为真，则 p 真 q 真， ，解得， 即实数 m 的取值范围
15、为 若为真命题，为假命题，则 p，q 一真一假， 若 p 真 q 假，则，解得； 若 p 假 q 真，则，解得 综上所述，实数 m 的取值范围为 【点睛】本题主要考查了复合命题及其真假，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分 析推理计算能力. 18.已知圆 C：内有一点，直线 l 过点 P 且和圆 C 交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 当时，求弦 AB 的长； 当弦 AB 被点 P 平分时，求直线 l 的方程 【答案】 （1） （2） 【解析】 【分析】 (1)先根据点斜式得直线 方程，再根据点到直线距离得圆心到直线 距离，最后根据垂径定理 求弦长，(2)设直线 方程，根据圆心到直线
16、 距离为 OP，列方程解得斜率，即得直线 方程. 【详解】：， 圆心到 距离为，所以弦长为， （2）圆心到 距离为,设 ： 所以 【点睛】涉及圆中弦长问题， 一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆 心到直线距离平方与弦长一半平方的和. 19.如图所示，在直三棱柱中，为正三角形，M是的中点，N 是中点 证明：平面； 若三棱锥的体积为，求该正三棱柱的底面边长 【答案】 （1）见解析； （2） 【解析】 【分析】 连接，利用中位线得线线平行，进而得线面平行； 设底面边长为a，转化三棱锥的顶点为M，利用体积不难列出方程求得a值 【详解】解：证明：连接 C， 是的中点， 又N是的中点，
17、C， 又平面， 平面， 平面 解：， 是的中点， 到平面的距离是C到平面的距离的一半， 如图，作交AB于P， 由正三棱柱的性质， 易证平面， 设底面正三角形边长为a， 则三棱锥的高， ， 解得 故该正三棱柱的底面边长为 【点睛】此题考查了线面平行，三棱锥的体积等，难度适中 20.已知抛物线的焦点为 ，点为抛物线上一点，且 （1）求抛物线的方程 （2）直线与抛物线交于两个不同的点，若，求实数 的值 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1）根据抛物线的定义4，求出 ，即可得到抛物线的方程 （2）设，联立，得， 令，得.由，由韦达定理，可得 ，解出 验证即可. 【详解】 （1）已知抛物线过
18、点，且 则， ， 故抛物线的方程为 （2）设， 联立，得， 且， 由， 则 ， 经检验，当时，直线与抛物线交点中有一点与原点 重合，不合题意， 由知 综上，实数 的值为 【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，属基础题. 21.如图，在四棱锥中，侧面底面 ABCD，侧棱，底面 ABCD 为直角梯形，其中，O 为 AD 中点 求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值 求 B 点到平面 PCD 的距离 线段 PD 上是否存在一点 Q，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值； 若不存在，请说明理由 【答案】(1)(2)(3)存在， 【解析】 试题分析： （1） 易得平面，
19、所以即为所求 （2） 由于， 从而平面， 所以可转化为求点 到平面 （3）假设存在，过 Q 作，垂足为，过作， 垂足为 M，则即为二面角的平面角设，利用 求出 ，若，则存在，否则就不存在 试题解析： （1） 在PAD 中 PA=PD, O 为 AD 中点，所以 POAD, 又侧面 PAD底面 ABCD, 平面平面 ABCD=AD,平面 PAD， 所以 PO平面 ABCD 又在直角梯形 中,易得; 所以以 为坐标原点 ,为 轴, 为 轴, 为轴建立空间直角坐标系 则, ，; , 易证:, 所以平面的法向量, 所以与平面所成角的余弦值为 （2），设平面 PDC 的法向量为， 则，取 得 点到平面的
20、距离 （3）假设存在，且设 因为 所以， 设平面 CAQ 的法向量中，则 取，得 平面 CAD 的一个法向量为， 因为二面角 Q OC D 的余弦值为，所以 整理化简得：或（舍去） ， 所以存在，且 考点：空间的角与距离 22.已知 A、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 为椭圆 C 的下顶点，F 为 其右焦点点 M 是椭圆 C 上异于 A、B 的任一动点，过点 A 作直线轴以线段 AF 为直径的圆 交直线 AM 于点 A、N，连接 FN 交直线 l 于点点 G 的坐标为，且，椭 圆 C 的离心率为 求椭圆 C 的方程； 试问在 x 轴上是否存在一个定点 T，使得直线 MH 必过该定点 T？若存在
21、，求出点 T 的坐标， 若不存在，说明理由 【答案】 （1）； （2）见解析 【解析】 【分析】 根据题意可得，解得即可；假设在 x 轴上存在一个定点，设动点 ，根据直线与直线的垂直的斜率的关系以及直线的斜率公式即可求出. 【详解】由题意得， ，所求椭圆的方程为 假设在 x 轴上存在一个定点，使得直线 MH 必过定点， 设动点，由于 M 点异于 A，B，故， 由点 M 在椭圆上，故有， 又由知， 直线 AM 的斜率， 又点 N 是以线段 AF 为直径的圆与直线 AM 的交点， 直线 FN 的方程， ，即， ，H 两点连线的斜率， 将式代入式，并整理得， 又 P，T 两点连线的斜率 若直线 MH 必过定点，则必有恒成立， 即， 整理得， 将式代入式， 得， 解得，故直线 MH 过定点 【点睛】本题主要考查椭圆的方程，主要考查直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些 知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
