1、学习新教材，研究新教法学习新教材，研究新教法 -以必修第一册为例以必修第一册为例 我准备讲两方面问题： 一、如何认识课程目标及课程的变化一、如何认识课程目标及课程的变化 二、教材章节分析及教法建议二、教材章节分析及教法建议 一、如何认识课程目标及课程的变化 1 1、培养总目标（、培养总目标（以人的发展为本以人的发展为本） 具有理想信念和社会责任；具有理想信念和社会责任； 具有科学文化素养和终身学习能力；具有科学文化素养和终身学习能力； 具有自主发展能力和沟通合作能力。具有自主发展能力和沟通合作能力。 在这样的总目标下，我们再看数学课程目在这样的总目标下，我们再看数学课程目 标怎样体现关注人的发
2、展的。标怎样体现关注人的发展的。 2、数学课程目标 四基、四能四基、四能（基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；数基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；数 学角度发现、提出，分析、解决问题学角度发现、提出，分析、解决问题）。 发展核心素养发展核心素养 关键能力关键能力：抽象、推理、建模、想象、运算、数据分析：抽象、推理、建模、想象、运算、数据分析 必备品格必备品格：提高数学兴趣，增强学习自信，养好学习习惯，发展学习能力：提高数学兴趣，增强学习自信，养好学习习惯，发展学习能力 ； 敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神；敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神； 不断提升实践能力，创新
3、意识；不断提升实践能力，创新意识； 认识数学的科学价值、应用价值、文化价值、审美价值。）认识数学的科学价值、应用价值、文化价值、审美价值。） 注意注意核心素养核心素养（必备品格必备品格关键能力关键能力）整合三维目标整合三维目标的表述的表述 方式，凸显以人为本的价值取向。方式，凸显以人为本的价值取向。 3、教材体系的变化 课程类别调整为：必修、选择性必修、选修。课程类别调整为：必修、选择性必修、选修。 各类课程的功能各类课程的功能定定位，与高考综合改革位，与高考综合改革衔衔接接。 必修课程根据学生全面发展设置，必修课程根据学生全面发展设置，全修全考全修全考； 选择性必修课程，根据学生发展和升学考
4、试需要选择性必修课程，根据学生发展和升学考试需要 ，选修选考选修选考； 选修课程，由学校根据实际情况，统筹规划开设选修课程，由学校根据实际情况，统筹规划开设 ，学生自主选修，学生自主选修，学而不考或学而备考学而不考或学而备考，为就业，为就业 或高校录取提供参考。或高校录取提供参考。 如必修两册（高一完成2184 =144） 第一册（体现预备知识的两章，共第一册（体现预备知识的两章，共1818课时）：课时）： 第第1 1章章-集合与常用逻辑集合与常用逻辑 第第2 2章章-一元二次函数、方程和不等式一元二次函数、方程和不等式 这两章内容是学好高中数学的这两章内容是学好高中数学的基本工具基本工具，放
5、在高一，放在高一 之初，能起到很好的初高中衔接、过渡，平复新生之初，能起到很好的初高中衔接、过渡，平复新生 畏难情绪的作用。畏难情绪的作用。 具体说第一章具体说第一章集合与常用逻辑用语的编写集合与常用逻辑用语的编写 集合与逻辑是数学语言基础，开宗明义放在首位集合与逻辑是数学语言基础，开宗明义放在首位 集合，为定义函数和研究函数的集合，为定义函数和研究函数的局部性质局部性质提供语提供语 言基础，体现出从初中到高中，符号语言抽象程度言基础，体现出从初中到高中，符号语言抽象程度 的提升。的提升。 常用逻辑内容中，常用逻辑内容中，充要条件充要条件的提法，体现出对命的提法，体现出对命 题认识的深化，题认
6、识的深化，全称量词与存在量词全称量词与存在量词为相关命题的为相关命题的 否定，提供了语言基础。否定，提供了语言基础。 相比旧教材，放置在高二才讲逻辑用语，数学教学相比旧教材，放置在高二才讲逻辑用语，数学教学 的的效益要高效益要高很多。很多。 再如第二章的编写 类比类比等式性质与不等式，为学生统驾相等关系与不等式性质与不等式，为学生统驾相等关系与不 等关系，提供了视点高位。等关系，提供了视点高位。 从不等式性质到基本不等式，强化了基本不等式的从不等式性质到基本不等式，强化了基本不等式的 模型模型功能。比放在数学功能。比放在数学5 5前置很多。前置很多。 把三个二次合编一起，揭示了高中数学学习的把
7、三个二次合编一起，揭示了高中数学学习的 一般思想方法，用一般思想方法，用函数观点看方程与不等式函数观点看方程与不等式。 不等式内容不等式内容删除删除线性规划，线性规划，突出主干，避免不顺。突出主干，避免不顺。 第一册（体现函数主题的三章，共52课时） 第第3 3章章-函数的概念与性质，变化在于在函函数的概念与性质，变化在于在函 数的概念与性质之后，数的概念与性质之后，编排幂函数编排幂函数，而且紧而且紧 接编排接编排3.43.4-函数的应用（一）（分段函数）函数的应用（一）（分段函数） 较比旧教材的指、对、幂函数研究顺序要好较比旧教材的指、对、幂函数研究顺序要好 许多。许多。 第第4 4章，指、
8、对函数变化不大，章，指、对函数变化不大，但把函数建但把函数建 模放在最后模放在最后，不像原数学，不像原数学1 1，单独设章。，单独设章。 最大亮点是三角函数放第最大亮点是三角函数放第5 5章，结构紧凑，避章，结构紧凑，避 免了函数免了函数1 1、函数、函数2 2的提法，更突出函数主题。的提法，更突出函数主题。 第二册（几何与代数、统计与概率，计69课时） 第第6 6章章-平面向量及其应用，平面向量及其应用，单独设章单独设章，比，比 原教材放在数学原教材放在数学4 4，把三角函数生生切断好。，把三角函数生生切断好。 尤其增设用向量法研究三角形的性质一尤其增设用向量法研究三角形的性质一 节，突出了
9、学以致用。节，突出了学以致用。 第第7 7章复数，增设选学内容复数的三角表章复数，增设选学内容复数的三角表 示，学习了示，学习了1 1的的n n次方根和隶模佛定理，次方根和隶模佛定理， 完善了知识结构。完善了知识结构。 8 8章立体几何初步、章立体几何初步、9 9章统计、章统计、1010章概率变化章概率变化 不大。不大。 4、人教A版教材行文结构的特色 不得不提的主编寄语：数学有用（不得不提的主编寄语：数学有用（学法指导学法指导） 学习方式学习方式-阅读理解、独立思考、实践探究、合作交流，阅读理解、独立思考、实践探究、合作交流， 持之以恒的静心思考，才能有所感悟，有所收获。持之以恒的静心思考，
10、才能有所感悟，有所收获。 注重基础，拾级而上，循序渐进，没有捷径。注重基础，拾级而上，循序渐进，没有捷径。 按学习规律办事，按学习规律办事，理解概念、熟练技能、准确表达理解概念、熟练技能、准确表达，数，数 学学习三要素。学学习三要素。 重视训练，独立完成作业，善于发现和提出问题，学会重视训练，独立完成作业，善于发现和提出问题，学会 学习。等等。学习。等等。 各章的结构 章名章名 章引言章引言 章头图章头图 1.1节节 习题习题1.1 数学建模数学建模 数学探究数学探究 文献阅读与数文献阅读与数 学写作学写作 1.n节节 习题习题1.n 小结小结 本章知识结构本章知识结构 回顾与思考回顾与思考
11、复习参考题复习参考题 各节结构各节结构 导入语 （问题情境） 问题分析 观察 思考 探究 归纳 例题 常规题 开放题 探索题 实践题 选学栏目 观察与猜想 阅读与思考 探究与发现 信息技术应用 推广 类比 当前内容 类比 特殊化 练习 习题 这样编排，非常有助于学生阅读。这样编排，非常有助于学生阅读。 例如例如章引言章引言，大多，大多包括三部分：包括三部分： （1 1）本章内容的引入，强调通过数学内外的）本章内容的引入，强调通过数学内外的 适当情境引入本章内容；适当情境引入本章内容；（为什么学为什么学） （2 2）本章内容的概述，以使学生了解本章内）本章内容的概述，以使学生了解本章内 容的概貌
12、；容的概貌；（学什么学什么） （3 3）本章学习方法的引导，使学生了解本章）本章学习方法的引导，使学生了解本章 的主要数学思想方法和学习（研究）方法。的主要数学思想方法和学习（研究）方法。 （怎样学怎样学） 再如节导入语 一般一般强调强调从从背景出发，以问题形式引出本节所学主背景出发，以问题形式引出本节所学主 要内容。要内容。如如3.23.2函数基本性质导入语函数基本性质导入语 正文讲述中，正文讲述中， 根据需要安排观察思考探究归纳根据需要安排观察思考探究归纳 等栏目，等栏目， 或穿插一些开放性的问题，以引发学生思考。或穿插一些开放性的问题，以引发学生思考。 强调数学思想和方法的引导，强调数学
13、思想和方法的引导， 注重类比注重类比、归纳归纳、特殊化特殊化、一般化一般化 等逻辑方法的使用。等逻辑方法的使用。 这些设计，都体现了教材这些设计，都体现了教材编写者与读者对话编写者与读者对话，希望，希望 学习数学要学习数学要走心走心 的意图。更突显的意图。更突显以人为本以人为本的理的理 念。念。 二、章节分析及教法建议（以必修第一册为例） 第一章第一章-集合与常用逻辑用语（集合与常用逻辑用语（1010课时）课时） 第二章第二章-一元二次函数、方程与不等式一元二次函数、方程与不等式 （8 8课时）课时） 第三章第三章-函数的概念与性质（函数的概念与性质（1212课时）课时） 第四章第四章-指数函
14、数与对数函数（指数函数与对数函数（1616课时）课时） 数学建模（数学建模（3 3课时）课时） 第五章第五章-三角函数（三角函数（2323课时）课时） 总计总计7272课时。课时。 第一章 集合与常用逻辑 1 1、集合的教学、集合的教学 （1 1）如何理解集合的概念）如何理解集合的概念 集合是集合是动词转换为名词动词转换为名词。如一队学生构。如一队学生构 成一个集合，是指一队学生构成的整体，而成一个集合，是指一队学生构成的整体，而 不是集合站队动作本身。不是集合站队动作本身。 如果说没有集合的概念，数学无法发展，学如果说没有集合的概念，数学无法发展，学 生不一定理解，但生不一定理解，但表达不等
15、式表达不等式的解集，研究的解集，研究 函数的函数的单调性单调性将很困难。将很困难。 （2 2）、把集合作为一种语言来学习）、把集合作为一种语言来学习 教学中要创设使用集合语言描述数学对象的情境，教学中要创设使用集合语言描述数学对象的情境， 提供自然语言、集合语言、图形语言互相转换的提供自然语言、集合语言、图形语言互相转换的 机会。机会。 （3 3）、关于区间概念）、关于区间概念 区间是由连续元素构成集合的简写形式，在初中，区间是由连续元素构成集合的简写形式，在初中， 我们虽然没讲区间的表达格式，但也渗透了区间我们虽然没讲区间的表达格式，但也渗透了区间 的概念，如称的概念，如称2x32x3是某不
16、等式的解集，其是某不等式的解集，其 实质就是把实质就是把2,32,3之间的实数作为一个整体来之间的实数作为一个整体来 看待。看待。 教材中把区间放在函数概念中，对函数概念形成干教材中把区间放在函数概念中，对函数概念形成干 扰。扰。 我们可以微调，在介绍完集合元素的列举法、描述我们可以微调，在介绍完集合元素的列举法、描述 法后，可以顺便给出集合的法后，可以顺便给出集合的简写形式简写形式。 再补充左开右闭、左闭右开、全开、全闭，等等。再补充左开右闭、左闭右开、全开、全闭，等等。 在此说明边界点、包含不包含等概念非常容易接受。在此说明边界点、包含不包含等概念非常容易接受。 101511,12,13,
17、14AxZx 05(0,5),5(,5BxxCx x （4）、集合教学中的思维训练 从教材看，集合内容比较简单，如果不讲成白开从教材看，集合内容比较简单，如果不讲成白开 水，我们的能力训练点在哪里？水，我们的能力训练点在哪里？ 注意集合不同表示方法之间转换注意集合不同表示方法之间转换 例如例如A=A=小于小于6 6的的正整数正整数 =1=1，2 2，3 3，4 4，5=x5=x0x6,x0x6,x Z=Z= xx Z Z 0x6,0x6, 集合语言的基本规则集合语言的基本规则 为使集合语言能够简洁、准确地表达数学概念，所以，为使集合语言能够简洁、准确地表达数学概念，所以， 集合语言必须有自己的
18、基本规则：集合语言必须有自己的基本规则： 确定性： 对集合确定性： 对集合 A A 来说， 一个元素来说， 一个元素a要麽要麽,aA要麽要麽,aA二二 者必居其一；者必居其一； 互异性：一个元素在一个集合中只能出现一次；互异性：一个元素在一个集合中只能出现一次； 无序性：一个集合中，两个元素可以任意交换位置，而无序性：一个集合中，两个元素可以任意交换位置，而 集合不变。集合不变。 集合语言有了这个基本规则，才能使列举法、描述法集合语言有了这个基本规则，才能使列举法、描述法 有章有章 可循，才能使集合的包含、相等、交、并、补不生歧义。可循，才能使集合的包含、相等、交、并、补不生歧义。 例例、已知
19、、已知 ,Ax xyxy,B=,B=0, x y，且，且ABAB, ,试求试求 x,yx,y 的的 值。值。 分析：本题虽然简单，思维活动却很丰富，其中对捕捉、挖掘隐分析：本题虽然简单，思维活动却很丰富，其中对捕捉、挖掘隐 含信息、分类讨论、反思甄别等能力的考查，正是中学生解题时所欠含信息、分类讨论、反思甄别等能力的考查，正是中学生解题时所欠 缺的。在解题过程中，首先遇到已知条件缺的。在解题过程中，首先遇到已知条件ABAB如何用的问题。如何用的问题。 可以这样思考，从元素个数上论证。可以这样思考，从元素个数上论证。AB的元素个数不小于的元素个数不小于 3 3， AB的元素个数不大于的元素个数不
20、大于 3 3。所以两者元素个数都等于。所以两者元素个数都等于 3 3，凭直觉得，凭直觉得 A=BA=B。元素间谁等更富思维训练功能。元素间谁等更富思维训练功能。 对解题表现的差异进行跟踪，解得好是否后续学得好？对解题表现的差异进行跟踪，解得好是否后续学得好？ 集合中元素的意义集合中元素的意义 例例 2 2、 （、 （1 1） 22 |32, |,Ay yxxxRBy yxx xR 求AB. . （2 2） 22 ( , )|32,( , )|,Ax yyxxxRBx yyxx xRAB 求. . 分析： （分析： （1 1） 、 （） 、 （2 2）中集合的元素分别是什么，学生很容易混淆）中集
21、合的元素分别是什么，学生很容易混淆. .所所 以，弄清题意，明白集合以，弄清题意，明白集合 A A、B B 中的元素是什么至关重要，当你知道中的元素是什么至关重要，当你知道 （1 1）中）中 A A、B B 分别是两个二次函数值域的集合， （分别是两个二次函数值域的集合， （2 2）中）中 A A、B B 分别是分别是 两条抛物线的点集。两条抛物线的点集。 补集补集-课例介绍课例介绍 只说教学环节：只说教学环节： 1 1、概念的引出、概念的引出 一片矩形草地，被羊齐刷刷吃掉一片（图示）一片矩形草地，被羊齐刷刷吃掉一片（图示） 若记矩形为集合若记矩形为集合U,U,羊吃掉的一片记为集合羊吃掉的一片
22、记为集合A A， 师：集合师：集合U,AU,A具有什么关系？具有什么关系？学生回答。学生回答。 教师称集合教师称集合U U为全集（给出全集定义），问：为全集（给出全集定义），问： 去掉羊吃掉的集合去掉羊吃掉的集合A A，剩下的部分叫什么集，剩下的部分叫什么集 合合适？合合适？ 2 2、补集的三种语言表述、补集的三种语言表述 自然语言；自然语言； 图形语言；图形语言； 符号语言。（尽力由学生符号语言。（尽力由学生完成元素的描述完成元素的描述） , UA x xUxA且 3 3、补集概念的巩固与延伸、补集概念的巩固与延伸 问题问题1 1：在过去的数学学习中，什么时候见过：在过去的数学学习中，什么时
23、候见过 补字补字?(?(补充完整，补角）当时的意涵与补充完整，补角）当时的意涵与 此时的补集是否相通？此时的补集是否相通？ 问题问题2 2：在全集：在全集U U一定的情况下，一定的情况下， 集合集合 A A 与集合与集合U A 之间，谁补谁？之间，谁补谁？ 集合集合U A 的补集如何表示？的补集如何表示？ 问题问题3 3：记全集为：记全集为U,U,集合集合A,BA,B互补，则集合互补，则集合 A,BA,B应该具有什么关系？（应该具有什么关系？（尽力由学生作答尽力由学生作答） ;AB ABU 问题问题4 4：全集的补集，空集的补集各是什么？：全集的补集，空集的补集各是什么？ 问题问题5 5：设集
24、合：设集合A=xA=x2x3,20 x0的两个充分条件，两个必要条件。此题的两个充分条件，两个必要条件。此题 让学生从充分保证角度，不难选择诸如让学生从充分保证角度，不难选择诸如x1x1或或 x2x2，甚至，甚至x=3x=3一类充分条件。反之，从必不可一类充分条件。反之，从必不可 少角度，不难选择诸如少角度，不难选择诸如xx- -1 1或或xx- -2 2一类必要一类必要 条件。条件。 （2）、全称量词与存在量词的教学 首先体会教材编写全称量词与存在量词首先体会教材编写全称量词与存在量词引入自引入自 然然。 命题是可判断真假的陈述句，命题是可判断真假的陈述句，一些含有变量的一些含有变量的 陈述
25、句，陈述句，无法判断真假。无法判断真假。如果用如果用一个短语一个短语对变对变 量的取值范围量的取值范围进行限定进行限定，就可以使它们成为一个命，就可以使它们成为一个命 题，我们把这样的题，我们把这样的短语短语称为称为量词。量词。. 见见2424页思考栏目中的陈述句和命题页思考栏目中的陈述句和命题,还可再补充一还可再补充一 些如：若些如：若xx2x2（假）（假）. . 学过此内容，让学生体会数学语言比初中更加严密学过此内容，让学生体会数学语言比初中更加严密 与精美。与精美。 全称、存在量词命题否定的教学 量词命题的否定，一定要在不讲规则之前，量词命题的否定，一定要在不讲规则之前， 让学生充分参与
26、。让学生充分参与。 要学以致用，善于识别隐去量词的命题。要学以致用，善于识别隐去量词的命题。 下面内容，旨在激发学生数学学习的兴趣，下面内容，旨在激发学生数学学习的兴趣， 我们可根据学生情况，予以讨论。我们可根据学生情况，予以讨论。 前提：一个命题和它的否定不能同真、同假。前提：一个命题和它的否定不能同真、同假。 只能一真一假。（矛盾律，见只能一真一假。（矛盾律，见2626页边框）页边框） 悬疑：命题若A则B的否定是若A则非B吗？ 例例1 1 命题命题P P：若：若x3x3，则，则x1x1； 命题命题P P的否定：若的否定：若x3x3，则，则x1x1。 P P与否定与否定P P一真一假，说明若
27、一真一假，说明若A A则则BB的否定是的否定是若若A A 则非则非BB似乎可以。似乎可以。 例例2 2 命题命题P P：若：若x3x3，则，则x4x4； 命题命题P P的否定：若的否定：若x3x3，则，则x4x4。 P P与否定与否定P P两命题两命题同假同假，与矛盾律不符，所以，否，与矛盾律不符，所以，否 定定PP写成若写成若x3x3，则，则x4x4不对不对。 那么，否定那么，否定PP如何写？如何写？问题出在哪里？问题出在哪里？ 这样的例子很多，如：这样的例子很多，如： 例例3 P P：若：若 0,m 则则 2 0 xxm 有实根；有实根； 否定否定 P P：若：若 0,m 则则 2 0 x
28、xm 无实根。无实根。 （ 2 0 xxm 有实根有实根 1 4 m ； 2 0 xxm 无实根无实根 1 4 m ） 两命题均不真。两命题均不真。 例例4 P4 P：若：若ab=0,ab=0,则则a=0a=0； 否定否定P P：若：若ab=0,ab=0,则则a0a0。 例例5 P5 P：若：若ab,ab,则则1/a1/b1/ab,ab, 则则1/a1/b1/a1/b。 例例6 P:6 P:四边形是矩形；否定四边形是矩形；否定P P：四边形不是矩：四边形不是矩 形。形。 显然，例显然，例2 2、3 3、4 4、5 5、6 6均为均为P P与否定与否定P P同同 假假，所以，所以否定否定PP的的
29、写法写法都是都是错误的。错误的。 如何写才对？如何写才对？若把上述例题中，命题若把上述例题中，命题P P均视为均视为 隐去全称量词的命题，隐去全称量词的命题， 否定否定PP可用可用 存在量词命题来表述。存在量词命题来表述。 例例1 P1 P：若：若x3x3，则，则x1x1；否定；否定P P：若：若x3x3，则，则 x1x1。 P P 的表述：任意大于的表述：任意大于3 3的实数的实数x x都大于都大于1 1 ； 否定否定PP的表述：的表述：存在存在x x0 033，使，使x x0 011。 P P与否定与否定P P一真一假。一真一假。 原例题否定原例题否定P P的表述：若的表述：若x3x3，则
30、，则x1x1为为 假命题是巧合，否定假命题是巧合，否定PP的表述应以后者为的表述应以后者为 准。准。 例例2 P2 P：若：若x3x3，则，则x4x4； （否定（否定P P：若：若x3x3，则，则x4x4错误错误） 否定否定PP正确的表述：存在正确的表述：存在x x0 033， 使使 x x0 044。 P P与否定与否定P P一假一真。一假一真。 例例 3 P3 P： 若： 若 0,m 则则 2 0 xxm有实根；有实根； 否定否定 P P： 若若 0,m 则则 2 0 xxm无实根。无实根。 （都假）（都假） （ 2 0 xxm有实根有实根 1 4 m ； 2 0 xxm无实根无实根 1
31、4 m ） 否 定否 定 P P 的 表 述 ： 存 在的 表 述 ： 存 在0 0,m 使使 2 0 0 xxm 无实根。无实根。 P P 与与否定否定 P P 一假一真。一假一真。 例例4 P4 P：若：若ab=0,ab=0,则则a=0a=0； （否定（否定P P：若：若ab=0,ab=0,则则a0a0错误错误） P P的表述理解为：对任意实数的表述理解为：对任意实数b, b, 若若ab=0,ab=0,则则 a=0a=0； 否定否定PP：存在实数：存在实数b b，满足，满足ab=0ab=0时，时，a0a0。 P P与非与非P P一假一真。一假一真。 例例5 P5 P：若：若ab,ab,则则
32、1/a1/b1/ab,ab,则则1/a1/b1/a1/b错误）错误） P P的表述理解为：两个任意实数的表述理解为：两个任意实数ab,ab,则则 1/a1/b1/abb0 0时，时， 1/a1/a0 01/b1/b0 0。 P P与否定与否定P P一假一真。一假一真。 例例6 6 P:P:四边形是矩形；否定四边形是矩形；否定P P：至少存在一个至少存在一个 四边形不是矩形。（四边形不是矩形。（P P与否定与否定P P一假一真）一假一真） 同样，命题若四边形是菱形，则它的对角线同样，命题若四边形是菱形，则它的对角线 互相垂直的否定，也不该是若四边形是菱互相垂直的否定，也不该是若四边形是菱 形，则
33、它的对角线不互相垂直。形，则它的对角线不互相垂直。 而应该是而应该是存在存在一个四边形是菱形，它的对角一个四边形是菱形，它的对角 线不互相垂直。（线不互相垂直。（一真一假一真一假） 存在量词命题的否定（略）存在量词命题的否定（略） 上述问题说明，把隐去全称量词的命题，理解上述问题说明，把隐去全称量词的命题，理解 成全称量词命题，然后利用存在量词命题来否成全称量词命题，然后利用存在量词命题来否 定，这样处理给我们带来方便。定，这样处理给我们带来方便。 第二章函数、方程、不等式 2.12.1等式的性质与不等式的性质等式的性质与不等式的性质 1 1、理解教材的理解教材的编写意图编写意图，通过类比，强
34、化，通过类比，强化 了利用数学，解决现实问题的了利用数学，解决现实问题的基本套路基本套路。 现实世界中的等量关系现实世界中的等量关系-方程表达方程表达-借借 助等式性质助等式性质-解出方程。解出方程。 现实世界中的不等量关系现实世界中的不等量关系-不等式表达不等式表达- - -借助不等式性质借助不等式性质-解出不等式。解出不等式。 2 2、把、把 a a- -b0b0等价于等价于abab； a a- -b=0b=0等价于等价于a=ba=b； a a- -b0b0等价于等价于ab.(a00； （3 3）y y0030解集。解集。 建议用三种方法求解：建议用三种方法求解： 方法方法1 1：直接设图
35、像开口向下的函数，：直接设图像开口向下的函数，； 方法方法2 2：同解变形后设函数：同解变形后设函数,； 方法方法3 3：同解变形后，配方求解。：同解变形后，配方求解。 （3 3）实际应用问题。）实际应用问题。 第三章-函数概念与性质 函数是贯穿高中数学课程的函数是贯穿高中数学课程的一条一条主线，所以主线，所以 本章在高中数学中有奠基地位。本章在高中数学中有奠基地位。 为突破难点，教材的研究框架（为突破难点，教材的研究框架（基本套路基本套路）：）： 函数的事实函数的事实函数概念的定义、表示函数概念的定义、表示 函数的性质函数的性质基本初等函数。本章要完成基本初等函数。本章要完成 从事实到概念（
36、定义与表示）再到性质的学从事实到概念（定义与表示）再到性质的学 习，使学生构建函数的一般概念，了解函数习，使学生构建函数的一般概念，了解函数 的研究内容和基本方法。的研究内容和基本方法。 函数学习的第一障碍 初中函数的初中函数的变量说变量说这么好理解，为什么用这么好理解，为什么用对对 应说应说代替？代替？ 不解决好这个问题，教师的情感也会传染学生，何不解决好这个问题，教师的情感也会传染学生，何 谈情感目标？谈情感目标？ 怎样解决？怎样解决？ 要引领学生感受对应关系要引领学生感受对应关系f f是是A A到到B B的函数，概的函数，概 念生成的念生成的必要和带来的好处必要和带来的好处。 高中函数定
37、义辨析： 函数不是数、不是某变量，而是对应关系函数不是数、不是某变量，而是对应关系f f， f f的规则：的规则：A A中每元素（取遍），中每元素（取遍），B B中像唯一。中像唯一。 对应说的好处：对应说的好处： 在突出了定义域在突出了定义域A A函数赖以存在的基础地位。函数赖以存在的基础地位。 能表达两集合对应关系能表达两集合对应关系f f的三种方式：解析的三种方式：解析 式、列表、图像，都可独立表示函数关系。式、列表、图像，都可独立表示函数关系。 不计较值域是否为不计较值域是否为B B（靶子大点没关系），凸显（靶子大点没关系），凸显 函数两要素（定义域、对应关系），降低定义函数函数两要素（
38、定义域、对应关系），降低定义函数 关系的门槛关系的门槛 理解多对一（常函数）是函数无障碍，理解多对一（常函数）是函数无障碍， 避免是否为变量的纠结。避免是否为变量的纠结。 f(x)f(x)表示对表示对x x实施变换，这给表达函数实施变换，这给表达函数 值，如值，如f(1),f(f(1),f(- -2),2),带来便捷。带来便捷。 f(x),g(x).f(x),g(x).区别不同的对应关系。区别不同的对应关系。 例如分段函数例如分段函数 11 22 ( ), ( ), ( ) . ( ), nn f x xD fx xD f x fx xD 3.1函数概念的教学 （1 1）为了学生体会这些好处，
39、接受函数概念的）为了学生体会这些好处，接受函数概念的 抽象表达，教材列举了四个问题（函数的事实）抽象表达，教材列举了四个问题（函数的事实） 让学生阅读体会归纳出函数概念的本质特征。让学生阅读体会归纳出函数概念的本质特征。 为了强化离开定义域谈函数，必然出麻烦，教为了强化离开定义域谈函数，必然出麻烦，教 材材6060页在问题中，谈到：页在问题中，谈到： 复兴号提速至复兴号提速至350km/h350km/h后，匀速行驶半小时，后，匀速行驶半小时， 运动路程运动路程S=350t(S=350t(小时），据此不能判断列车半小时），据此不能判断列车半 小时后运行情况，原因是没有关注小时后运行情况，原因是没
40、有关注t t的取值范围的取值范围 从而引出从而引出t t的范围（定义域），还可加大力度。的范围（定义域），还可加大力度。 可在上课之初，加一个引例：可在上课之初，加一个引例： 若炮弹距地面高度若炮弹距地面高度h h与发射时间与发射时间t t可表示为可表示为h=130th=130t- -5t5t2 2 试用初中知识，描述试用初中知识，描述h,th,t之间的关系，并之间的关系，并请大家计算，请大家计算， 当当t=30st=30s时，时，h h的值。的值。 设计意图设计意图： （1 1）复习初中函数变量说定义；复习初中函数变量说定义； （2 2） 从实例发现已有函数定义不限定自变量的取从实例发现已有
41、函数定义不限定自变量的取 值范围的缺陷，自然催生更严密的函数定义。值范围的缺陷，自然催生更严密的函数定义。 （3 3）然后引导阅读问题）然后引导阅读问题1 1-4 4，归纳共同特征，得，归纳共同特征，得 定义定义对应说对应说。 （2）辨析定义 请同学们请同学们回味、辨析回味、辨析初高中函数定义的异同；初高中函数定义的异同； 同：自变量同：自变量x x取一个值，取一个值，f(x)f(x)唯一对应；唯一对应； 异：初中异：初中y y是是x x的函数，的函数，f f（对应关系）是（对应关系）是A A到到B B的函数的函数 并用新定义解释初中学过的函数并用新定义解释初中学过的函数 f(x)=2x+1,
42、g(x)=xf(x)=2x+1,g(x)=x2 2- -2x+1,2x+1, 分析分析f f的表达方式（解析、图像、表格），的表达方式（解析、图像、表格），把数集把数集 A A到到B B的对应关系抽象表达为的对应关系抽象表达为ff所带来的好处。所带来的好处。（可举（可举 出租车付费等）出租车付费等） 据此据此提炼函数提炼函数的几个的几个要素要素， 如果要三个是什么？如果要三个是什么？ 如果要两个呢？如果要两个呢？ （3 3）学习例）学习例1 1（6363页）页） 例例1 1构建一个问题情境，使其中变量关系可用构建一个问题情境，使其中变量关系可用 y=x(10y=x(10- -x)x)表示。表示
43、。（教材：周长教材：周长2020，一边长，一边长x x的矩形面的矩形面 积积y y） 这是一个逆向问题，凸显数学来源于现实世这是一个逆向问题，凸显数学来源于现实世 界，数学建模，沟通了数学与现实的联系，界，数学建模，沟通了数学与现实的联系， 为学生参与课堂，搭建了很好的平台。是主为学生参与课堂，搭建了很好的平台。是主 编理念的体现。编理念的体现。 学生的答案不一定唯一，过程中，还可能犯学生的答案不一定唯一，过程中，还可能犯 丢掉定义域的错误，都是难能可贵的。丢掉定义域的错误，都是难能可贵的。 （4 4）课后课后可补充可补充作业作业： （1 1）举出生活中两个函数的例子，并用集合）举出生活中两个
44、函数的例子，并用集合 与对应的语言描述，且写出它们的定义域、与对应的语言描述，且写出它们的定义域、 对应关系和值域。对应关系和值域。 （2 2）分析）分析f(x)=1(x R) f(x)=1(x R) 是函数吗？若是，是函数吗？若是， 写出它的定义域、对应关系和值域；若不是，写出它的定义域、对应关系和值域；若不是， 请说明理由。请说明理由。 3.1,23.1,2函数表示法（函数表示法（6767页），进一步学习运用页），进一步学习运用 解析式、表格、图像表示函数，特别是分段解析式、表格、图像表示函数，特别是分段 函数可谓浓墨重彩。函数可谓浓墨重彩。 3.2 函数的基本性质 什么叫什么叫函数的性质
45、函数的性质？ 简言之，两个变量间的对应规律简言之，两个变量间的对应规律 对应规律：变化中的对应规律：变化中的不变不变性，变化中的性，变化中的规律规律 性性 性质的研究方法：性质的研究方法：先画出函数图象，通过观先画出函数图象，通过观 察和分析图象的特征，可以得到函数的一些察和分析图象的特征，可以得到函数的一些 性质；等等性质；等等。 高中阶段要研究的函数性质有：高中阶段要研究的函数性质有： 单调性单调性（局部性质）（局部性质）、奇偶性、周期性、奇偶性、周期性 （整体性质）；（整体性质）； 最大（小）值最大（小）值（点）（点）、函数的零点、函数的零点； 其中，其中，单调性是最重要的性质。单调性是
46、最重要的性质。 3.2.1单调性 教学难点：教学难点： 把初中描述性语言把初中描述性语言函数值随自变量的增大函数值随自变量的增大 而增大（减小）而增大（减小）转化为定量的不等式语言转化为定量的不等式语言； 为什么要为什么要 x x1 1，x x2 2D D。 在在学生学生数学学习的进程中，第一次接触如此抽数学学习的进程中，第一次接触如此抽 象的符号化语言，完全超出学生的经验基础象的符号化语言，完全超出学生的经验基础。 许多老师平铺直叙的教授，效果不佳（不理解）许多老师平铺直叙的教授，效果不佳（不理解） 如何提升理解层次，突破难点？如何提升理解层次，突破难点？ 我们不妨采用如下问题导学方式： 问题问题 1 1 函数函数 y=f(x)y=f(x)的图像如图的图像如图 1 1 所示，函数所示，函数 f(x)f(x)在区间在区间 - -2,32,3上，上， 随着自变量随着自变量 x x 的不断增大，函数值的不断增大，函数值 还保持不断增大或缩小的变化趋还保持不断增大或缩小的变化趋 势吗？势吗？如果不具备这样的趋势，你如果不具备这样的趋势，你 能通过缩小区间长度的办法，使函能通过缩小区间长度的办法，使函 数值在缩短后的区间上保持这样的变化趋势数值在缩短后的区间上保持这样的变化趋势？如能，试写出这样的？如能，试写出这样的 区间
