1、第 1 页 共 15 页 2019-2020 学年湖南省长沙市雨花区高一上学期期末数学试学年湖南省长沙市雨花区高一上学期期末数学试 题题 一、单选题一、单选题 1设集合设集合 S=1，2，3，4， 5，6，7，8， ，A=1，2，3， 集合， 集合 B=2，3，4，5，则，则(CSA)B= （ ） A2，3 B4，5，6，7，8 C4，5 D1，6，7，8 【答案】【答案】C 【解析】【解析】先求出集合A的补集，再求交集. 【详解】 由集合 S=1，2，3，4，5，6，7，8，A=1，2，3 可得4,5,6,7,8 S C A 所以4,5 S C AB 故选：C 【点睛】 本题考查集合的补集和
2、交集运算，属于基础题. 2在空间，下列命题中正确的是（在空间，下列命题中正确的是（ ） ） A垂直于同一直线的两条直线平行垂直于同一直线的两条直线平行 B垂直于同一平面的两条直线平行垂直于同一平面的两条直线平行 C平行于同一直线的两个平面平行平行于同一直线的两个平面平行 D平行于同一平面的两条直线平行平行于同一平面的两条直线平行 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据线面平行、线面垂直的性质，对 4个命题分别进行判断，即可得出结论 【详解】 对于A，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，不正确； 对于B，垂直于同一平面的两条直线平行，正确； 对于C，平行于同一直线的两个平面平行或相交，不
3、正确； 对于D，平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，不正确； 故选：B 【点睛】 第 2 页 共 15 页 本题考查线面平行、线面垂直的性质，考查学生的空间想象能力，属于基础题 3函数函数 1 1 2 f xx x 的定义域为（的定义域为（ ） A(-1，2)(2，+) B-1，2)(2，+) C(1，2)(2，+) D1，2)(2，+) 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由函数 1 1 2 f xx x 有意义，得出不等式组 10 20 x x ，即可求解. 【详解】 由题意，函数 1 1 2 f xx x 有意义，则满足 10 20 x x ，解得1x且2x， 即函数 f x的定义
4、域为 1,2)(2,). 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了具体函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出 相应的不等式组是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 4已知已知 2 0.3a ， 0.3 2b ， 1 3 log 2c ，那么，那么 a，b，c的大小为（的大小为（ ） Acba Bcab Cbac Dabc 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，分别求得, ,a b c的取值范围，即可求 解. 【详解】 由指数函数的性质，可得 2 0.3(0,1)a ， 0.3 2(1,2)b， 又由对数函数的性质，可得 1 3 log 2( 1
5、,0)c ， 所以bac. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质及其应用， 其中解答中熟记指数函数 与对数函数的性质，求得, ,a b c的取值范围是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 第 3 页 共 15 页 5直线直线5 4200 xy的斜率和在的斜率和在 y轴上的截距分别是（轴上的截距分别是（ ） A 5 4 ，5 B 5 , 5 4 C 4 5 ，5 D 4 5 , 5 【答案】【答案】B 【解析】【解析】将直线方程化为斜截式，利用斜截式方程的特征可得答案. 【详解】 直线54200 xy可化为 5 5 4 yx， 则直线54200 xy的斜率和在 y
6、轴上的截距分别是 5 , 5 4 ， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查直线斜截式方程的特征与应用，属于基础题. 6正方体正方体 1111 ABCDABC D中，则异面直线中，则异面直线 1 AB与与 1 BC所成的角是所成的角是 A3030 B4545 C6060 D9090 【答案】【答案】C 【解析】【解析】连接 A 1 D，易知： 1 BC平行 A 1 D， 异面直线 1 AB与 1 BC所成的角即异面直线 1 AB与 A 1 D所成的角， 连接 11 B D，易知 11 AB D为等边三角形， 异面直线 1 AB与 1 BC所成的角是 60 故选 C 7函数函数 y2log2x(x1
7、)的值域为的值域为( ) A(2，) B(，2) C2，) D3，) 【答案】【答案】C 【解析】【解析】当x1 时，log2x0，所以y2log2x2. 选 C 8直线直线 0 xaya 与直线与直线(23)10axay 互相垂直，则互相垂直，则 a的值为（的值为（ ） A2 B3 或或 1 C2 或或 0 D1 或或 0 第 4 页 共 15 页 【答案】【答案】C 【解析】【解析】先考虑其中一条直线的斜率不存在时（0a和 3 2 a ）是否满足，再考虑两 直线的斜率都存在， 此时根据垂直对应的直线一般式方程的系数之间的关系可求解出a 的值. 【详解】 当0a时，直线为： 1 0, 3 x
8、y，满足条件； 当 3 2 a 时，直线为： 332 0, 223 xyx，显然两直线不垂直，不满足； 当0a且 3 2 a 时，因为两直线垂直，所以230aaa，解得2a， 综上：0a或2a. 故选 C. 【点睛】 根据两直线的垂直关系求解参数时， 要注意到其中一条直线斜率不存在另一条直线的斜 率为零的情况，若两直线对应的斜率都存在可通过 12 1k k?-去计算参数的值. 9函数函数3(2) x f x 的零点所在的区间是（的零点所在的区间是（ ） A （3 3，4 4） B （2 2，3 3） C （1 1，2 2） D （0 0，1 1） 【答案】【答案】C 【解析】【解析】先判断函数
9、3(2) x f x 在定义域上连续递增，再求端点函数值即可 【详解】 函数3(2) x f x 在定义域上连续递增， (3)830,(4)1630ff ； (2)430,(1)230ff. 故函数3(2) x f x 的零点所在的区间是(1,2). 故选 C 【点睛】 本题考查了函数的零点的判断，属于基础题 10已知偶函数已知偶函数 ( )yf x 在区间在区间(,0上是减函数，下列不等式一定成立的是（上是减函数，下列不等式一定成立的是（ ） A (3)( 2)ff B ()(3)ff C(1)( 2)ff D 22 (1)( )f tf t 【答案】【答案】A 第 5 页 共 15 页 【
10、解析】【解析】由( )yf x为偶函数可得()( )fxf x，在区间(,0上是减函数，则在 0 ，上为增函数,根据偶函数的性质和单调性判断各个选项即可. 【详解】 由( )yf x为偶函数可得()( )fxf x。 ( )yf x在区间(,0上是减函数，则在0 ，上为增函数, A ( 2)(2)(3)fff,故 A正确. B ()( )(3)fff,故 B错误. C (1)( 2)ff,故 C错误. D 由 22 01tt ，则 22 (1)( )f tf t，故 D错误. 故选：A 【点睛】 本题考查偶函数的性质，考查利用单调性比较函数值大小，属于基础题. 11圆心在圆心在y轴上，半径为轴
11、上，半径为 2，且过点，且过点 2,4的圆的方程为（的圆的方程为（ ） A 2 2 14xy B 2 2 24xy C 2 2 34xy D 2 2 44xy 【答案】【答案】D 【解析】【解析】设圆心的坐标为0,b，由圆过点2,4可列出关于b的方程，解可得b的值， 将b的值代入圆的方程即可得答案 【详解】 根据题意，设圆心的坐标为0,b， 则有 22 0244b，解可得4b， 则圆的方程为 2 2 44xy； 故选 D 【点睛】 本题主要考查圆的标准方程，关键是求出圆心的坐标，属于基础题. 12若若a，b，l是两两异面的直线，是两两异面的直线，a与与b所成的角是所成的角是 3 ，l与与a、l
12、与与b所成的角都所成的角都 第 6 页 共 15 页 是是，则，则的取值范围是（的取值范围是（ ） A 5 , 66 B, 3 2 C 5 , 36 D, 6 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】在空间选取一点O,过O分别作ab、的平行线 a 、 b ,并设 a 、 b确定的 平面为,再将直线l平移至 l,使 l经过点O,根据直线与平面所成角的定义和异面直 线所成角的定义,通过讨论可得直线l与ab、所成的角范围是, 6 2 . 【详解】 作图如下： 在空间选取一点O, 过O作 ,a a b b, 设直线 a、 b确定的平面为， 将直线l平移至 l,使 l经过点O， 当直线 l时, l与 a
13、b、所成的角都是直角, 此时所成的角达到最大值; 当直线 l恰好在平面内,且平分 ab、所成的锐角时, l与 ab、所成的角都是 6 , 此时所成的角达到最小值. 所以 l与 ab、所成的角范围是 , 6 2 . 因为 ,l l a a b b , 所以 l与 ab、所成的角等于l与ab、所成的角, 即l与ab、所成的角范围是, 6 2 . 第 7 页 共 15 页 故选 D 【点睛】 本题给出两条异面直线的所成角,要我们找出与它们成等角的第三条直线所成角的范围, 着重考查了线面垂直、直线与平面所成角和异面直线所成角等知识;通过作平行线把空 间异面直线所成角转化到同一平面内分析临界值是求解本题
14、关键;属于中档题. 二、填空题二、填空题 13圆锥的母线与底面所成的角为圆锥的母线与底面所成的角为 60 ，侧面积为，侧面积为 8，则其体积为 ，则其体积为_. 【答案】【答案】 8 3 3 【解析】【解析】根据题意画出图形，结合图形设圆锥的底面半径为r，表示出底面半径和母线 长，利用圆锥的侧面积求出r，再计算圆锥的体积 【详解】 如图所示，圆锥的母线与其底面所成角的大小为60，60SAO， 由题意设圆锥的底面半径为r，则母线长为2lr，高为3hr 圆锥的侧面积为8， 2 228Srlrrr 侧面积 ， 解得2r =，2 3h ， 圆锥的体积为 22 118 3 22 3 333 Vrh 圆锥
15、 故答案为： 8 3 3 【点睛】 本题考查圆锥的体积与侧面积的求法，考查圆锥的几何性质等基础知识，考查运算求解 能力与空间想象能力，是中档题 第 8 页 共 15 页 14若函数若函数 2 (1)1 9 x f xx，则，则 (44)f_. . 【答案】【答案】2019 【解析】【解析】可根据对应法则，令144x ，解得x，再代入表达式求解即可；也可采用换 元法求解函数值 【详解】 解法一：令144x ，得45x ，则 2 45 (44)4512019 9 f 解法二：令1tx，则1xt ，则 2 (1)1 9 x f xx可代换为 2 2 1171 ( )11 999 t f tttt ，
16、 2 171 (44)44 +44=2019 99 f 故答案为 2019 【点睛】 本题考查函数具体值的求法，换元法的应用，属于基础题 15 若三条直线若三条直线 2x3y80，xy 10 和和 xky0 相交于一点相交于一点，则则 k_. 【答案】【答案】 1 2 【解析】【解析】联立方程组,解得两直线的交点坐标为( 1, 2) ，再把点( 1, 2) 代入直线 0 xky ，即可求解，得到答案. 【详解】 由题意， 联立方程组 2380 10 xy xy ， 解得 1 2 x y ， 即两直线的交点坐标为( 1, 2) ， 又因为点( 1, 2) 也在直线0 xky上，即1 20k ，解
17、得 1 2 k . 【点睛】 本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，其中解答中联立方程组，正确求解两直线 的交点坐标，再代入直线方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基 础题. 16鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卵结构，它的外观鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卵结构，它的外观 是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱分成三是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱分成三 组，经组，经90榫卯起来榫卯起来.若正四棱柱的高为若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为，底面正方形的
18、边长为1，现将该鲁班锁放进，现将该鲁班锁放进 一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为小值为_.（容器壁的厚度忽略（容器壁的厚度忽略 不计，结果保留不计，结果保留） 第 9 页 共 15 页 【答案】【答案】30 【解析】【解析】 由榫卯结构可确定球形容器半径的最小值， 进而利用球的表面积公式求得结果. 【详解】 该球形容器半径的最小值为： 222 130 521 22 该球形容器表面积的最小值为： 2 30 430 2 故答案为30 【点睛】 本题考查球的表面积的求解问题，关键是能够根据位置关系确定球的半径的最小值，进 而应用球的表面积公式求得结
19、果. 三、解答题三、解答题 17已知，已知，a= 2 2 03 227 242 38 ， 33 1 log 9log 27 b ，求，求 22019 lg2019ab的值的值 【答案】【答案】2020 【解析】【解析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解1a ,利用对数的运算法则求解 1b，然后代入化简即可. 【详解】 2 2 03 227 242 38 a 2 3 3 2 3 1 22 3 99 11 44 ， 33 1 log 9log 27 b 第 10 页 共 15 页 23 33 log 3log 3231 22019 lg2019ab 2019 2 lg1120192010 【点
20、晴】 本题主要考查对数的运算、指数幂的运算，属于中档题. 指数幂运算的四个原则： （1） 有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算； （2）先乘除后加减，负指数幂化成正 指数幂的倒数； （3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分 数的，先化成假分数； （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示 18已知直线已知直线l经过点经过点0, 2 ，且与直线，且与直线10 xy 平行平行 （1）求直线）求直线l的方程；的方程； （2）求直线）求直线l与两坐标轴围成三角形的面积与两坐标轴围成三角形的面积 【答案】【答案】 （1）20 xy； （2）2. 【解析】【解析】
21、 （1）设直线l的方程为0 xyc， ，代入0, 2可得c值，可得直线方程； （2）分别令0 x和0y ，可得直线l与两坐标的交点坐标，由三角形的面积公式可 得 【详解】 （1）设直线l的方程为0 xyc， 因为直线l经过点0, 2， 所以20c ，2c， 所以直线l的方程为20 xy； （2）由（1）知直线l的方程为20 xy， 令0 x可得 2y ，令0y 可得2x， 直线l与两坐标的交点分别为(2，0)和(0, 2) ， 直线l与两坐标轴围成的三角形面积 1 222 2 S 【点睛】 本题考查直线平行的性质，考查了直线的方程和三角形的面积，属基础题 19设集合设集合 22 2(1)10,
22、AxR xaxaaR ，集合，集合 第 11 页 共 15 页 2 40BxR xx. . （1 1）若集合）若集合A，求实数，求实数a的取值范围的取值范围 （2 2）若集合）若集合AB中只有一个元素，求实数中只有一个元素，求实数a的值的值. . 【答案】【答案】 （1）1a （2）1或7 【解析】【解析】 （1）集合A中x对应表达式为二次函数，A等价于，求解即可； （2）解出集合4,0B ，由集合AB中只有一个元素判断集合A中元素只能有一 个，再进行求解即可 【详解】 （1）AQ， 2 2 41410aa，解得1a （2）集合AB中只有一个元素，若集合4A ， 将4代入 22 2(1)10
23、xaxa 得1a 或7a， 将1a 代入得 2 40 xx，解得集合4,0A ，与题设矛盾，舍去； 将7a代入得 2 16480 xx， 解得集合4, 12A ， 符合题意， 则7a满足； 同理，若0A，将0代入 22 2(1)10 xaxa 得1a 或1a， 题（1）中1a 不满足条件，舍去， 将1a代入得0 x，集合 0A，符合题意，则1a满足 综上所述，实数a的值为1或7 【点睛】 本题考查根据集合为空集求解参数，根据交集结果求参数，在反向求解参数问题中，一 定要注意检验原集合的表达形式是否符合题意，属于中档题 20 如图，在三棱锥如图，在三棱锥 PABC 中，中，PC底面底面 ABC，
24、ABBC，D，E 分别是分别是 AB，PB 的中的中 点点 第 12 页 共 15 页 （）求证：）求证：DE平面平面 PAC （）求证：）求证：ABPB； （）若）若 PCBC，求二面角，求二面角 PABC 的大小的大小 【答案】【答案】 （）详见答案； （）详见答案； （） 【解析】【解析】 （）由于点 D，E分别是 AB，PB 的中点，所以 DEPA（中位线） 由直线 与平面平行的判定方法知，DE平面 PAC （）由 PC底面 ABC得，PCAB又因 ABBC，由直线与平面垂直的判定方 法知，AB 平面PBC ，所以 ABPB （）由（2）知，PBAB，BCAB，所以，PBC为二面角 P
25、ABC 的平面角易 知PBC为等腰直角三角形，所以PBC45 ，即二面角 PABC 的大小为45. 【详解】 （1）证明：因为 D，E分别是 AB，PB的中点， 所以 DEPA 因为 PA平面 PAC，且 DE 平面 PAC， 所以 DE平面 PAC （2）因为 PC平面 ABC，且 AB平面 ABC， 所以 ABPC又因为 ABBC，且 PCBCC 所以 AB平面 PBC 又因为 PB平面 PBC， 所以 ABPB （3）由（2）知，PBAB，BCAB， 所以，PBC为二面角 PABC的平面角 因为 PCBC，PCB90 ， 所以PBC45 ， 所以二面角 PABC的大小为 45 第 13
26、页 共 15 页 【点睛】 本题考查直线与平面平行的判定、直线与直线垂直的判断、求二面角的大小，本题属于 中档题. 21已知直线已知直线: 30l xy 被圆被圆 22 :()(2)4 (0)Cxaya截得的弦长为截得的弦长为2 2 （1）求）求a的值；的值； （2）求过点（）求过点（3，5）与圆相切的直线的方程）与圆相切的直线的方程 【答案】【答案】 （1）a =1； （2）512450 xy 或3x . 【解析】【解析】 （1）求出圆心( ,2)C a，半径2r =，利用圆心到直线:30l xy的距离， 通过勾股定理列方程求解即可 （2）判断点与圆的位置关系，当切线方程的斜率存在时，设方程
27、为5(3)yk x， 由圆心到切线的距离dr求解即可；当过(3,5)斜率不存在，判断直线3x 与圆是 否相切，推出结果 【详解】 （1）依题意可得圆心( ,2)C a，半径2r =， 则圆心到直线:30l xy的距离 22 |23|1| 2 1( 1) aa d ， 由勾股定理可知 222 2 2 () 2 dr，代入化简得| 1| 2a， 解得1a 或3a，又0a， 所以1a ； （2）由（1）知圆 22 :(1)(2)4Cxy，又(3,5)在圆外， 当切线方程的斜率存在时，设方程为5(3)yk x ，由圆心到切线的距离 2dr可解得 5 12 k ， 切线方程为512450 xy ， 当过
28、(3,5)斜率不存在，易知直线3x 与圆相切， 综合可知切线方程为512450 xy或3x . 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力 第 14 页 共 15 页 22某影院共有某影院共有 1000 个座位，票价不分等次，根据该影院的经营经验，当每张票价不个座位，票价不分等次，根据该影院的经营经验，当每张票价不 超过超过 10 元时，票可全部售出，当每张票价高于元时，票可全部售出，当每张票价高于 10 元时，每提高元时，每提高 1 元，将有元，将有 30 张票不张票不 能售出，为了获得更好的收益，需给影院一个合适的票价，符合的基本条件是：能售出，为了
29、获得更好的收益，需给影院一个合适的票价，符合的基本条件是： 为了方便找零和算账，票价定为为了方便找零和算账，票价定为 1 元的整数倍；元的整数倍； 影院放映一场电影的成本费为影院放映一场电影的成本费为 5750 元，票房收入必须高于成本支出元，票房收入必须高于成本支出. （1）设定价为）设定价为x（ * xN）元，净收入为）元，净收入为y元，求元，求y关于关于x的表达式；的表达式； （2）每张票价定为多少元时，放映一场的净收入最多？此时放映一场的净收入为多少）每张票价定为多少元时，放映一场的净收入最多？此时放映一场的净收入为多少 元？元？ 【答案】【答案】 （1） 2 100057506,10
30、 301300575011,38 xx y xxx N N ； （2）每张票价定为 22 元时净收入最多，最大值为 8330元. 【解析】【解析】 （1）根据x的范围，分别求出函数表达式； （2）分别求出两个函数的最大值， 从而综合得到答案 【详解】 （1）电影院共有 1000个座位，电影院放一场电影的成本费用支出为 5750 元，票房的 收入 必须高于成本支出， 5.75x，票价最低为 6 元， 票价不超过 10 元时： 10005750yx ，(6 10 x剟 的整数） ， 票价高于 10元时： 100030(10)5750yxx 2 3013005750 xx ， 2 100030(10
31、)0 30130057500 x xx ， 解得： 1 538 3 x ， 2 3013005750yxx ，(10 38x 的整数） ； 所以 2 100057506,10 301300575011,38 xx y xxx N N （2）对于 10005750yx ，(6 10 x剟 的整数） ， 10 x 时：y最大为 4250元， 第 15 页 共 15 页 对于 2 3013005750yxx，(10 38x 的整数） ； 当21.6 2 b x a 时，y最大， 票价定为 22元时：净收人最多为 8830元 【点睛】 本题考查了一次函数、二次函数的性质及应用，根据x的范围得到函数的解析式是 解题的关键
