1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 2019-2020 学年北京市学年北京市 101 中学高一第二学期期末数学试卷中学高一第二学期期末数学试卷 一一 填空题填空题 1. 已知角的终边经过点3,4P ，则sin_. 【答案】 4 5 【解析】 【分析】 由三角函数的定义可直接求得sin. 【详解】解：角的终边经过点3,4P ， 2 2 44 sin 5 34 . 故答案为： 4 5 . 【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了基本知识掌握情况，属于基础题. 2. 函数 22 ( )cossinf xxx的最小正周期为 【答案】 【解析】 试题分析： 因为( )cos
2、2f xx，所以函数 f(x)cos2xsin2x 的最小正周期为 2 . 2 T 考点：三角函数的周期 3. 已知1,2A，2,3B， 2,5C ，则AB AC _. 【答案】0 【解析】 【分析】 首先求出ABAC的坐标，而后可求 0AB AC . 【详解】解：1,1AB ，3,3AC ， 131 30AB AC . 故答案为：0. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 4. 在ABC中,若2,2 3,30 ,abA则角B等于_ . 【答案】 0 60或 0 120 【解析】 2,2 3,30abA 由正弦
3、定理 sinsin ab AB 得： 1 2 3 sin3 2 sin 22 bA B a ba 60B 或120 故答案为 0 60或 0 120 5. 设，是两个不同的平面，l 是直线且l ，则“l ”是“”的_.条件(参 考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要). 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】 面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.根据题意由判断定 理得l.若，直线l则直线l，或直线l，或直线 l 与平面 相交，或直线 l 在平面内.由，直线l得不到l，故可得出结论. 【详解】面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两
4、个平面垂直. 因为直线l且l 所以由判断定理得. 所以直线l，且l 若，直线l则直线l，或直线l，或直线 l 与平面相交，或直线 l平面 内. 所以“l”是“”成立的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 【点睛】本题考查充分条件，必要条件的判断，涉及到线面、面面关系，属于基础题. 6. 如图，长方体 1111 ABCDABC D的体积是 60，E为 1 CC的中点，则三棱锥C EBD的体 积是_. 【答案】5 【解析】 【分析】 由长方体 1111 ABCDABC D的体积为 60,即 1 60VBC DC CC,而三棱锥C
5、EBD的体 积为 1 111 322 C EBD VBC DCCC ,代入求解即可 【详解】由题,长方体 1111 ABCDABC D的体积为 1 60VBC DC CC, 所以 11 11111 605 3221212 C EBD VBC DCCCBC DC CC , 故答案为：5 【点睛】本题考查三棱锥的体积,属于基础题 7. 在ABC中，60A，1b ，面积为3，则 sinsinsin abc ABC + + = + _ 【答案】 2 39 3 【解析】 【分析】 由已知利用三角形面积公式可求 c，进而利用余弦定理可求 a 的值，根据正弦定理即可计算求 解. 【详解】60A，1b，面积为
6、3 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 113 3sin1 222 bcAc , 解得4c ， 由余弦定理可得： 22 1 2cos1 162 1 413 2 abcbcA ， 所以 132 39 sinsinsinsin33 2 a b ca ABCA + + = + , 故答案为： 2 39 3 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查 了计算能力和转化思想，属于基础题. 8. 已知三棱柱 111 ABCABC的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若3cmAB，4cmAC ， ABAC， 1 12cmAA ，则球 O 的表
7、面积为_ 2 cm. 【答案】169 【解析】 【分析】 由于直三棱柱 111 ABCABC的底面ABC为直角三角形， 我们可以把直三棱柱 111 ABCABC 补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的 表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积. 【详解】 由题意， 三棱柱 111 ABCABC为直三棱柱 111 ABCABC， 底面ABC为直角三角形， 把直三棱柱 111 ABCABC补成四棱柱， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 则四棱柱的体对角线是其外接球的直径， 所以外接球半径为 222 113 3412 22
8、 ， 则三棱柱 111 ABCABC外接球的表面积是 2 2 13 4169 cm 2 . 故答案为：169. 【点睛】本题考查几何体的外接球问题，属于基础题. 9. 如图，在矩形ABCD中， 2AB ，2BC ，点 E 为BC的中点，点 F 在边CD上，若 2AB AF ，则AF BF 的值是_. 【答案】 2 【解析】 【分析】 根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示 出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于 0，得到结果. 【详解】AF ADDF ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 22AB AFABA
9、DDFAB ADAB DFAB DFDF， 1DF ，21CF ， AE BFABBEBCCFAB CFBE BC 2211 22222 ， 故答案为： 2. 【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，属于基础题. 10. 如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为 1 的等腰三角形，则阴影部分面积的最大 值是_. 【答案】2 2 2 【解析】 【分析】 设等腰三角形底角为，阴影面积为2sin22cos22，根据正弦函数的图象与性质即可 得到结果. 【详解】设等腰三角形底角为，则等腰三角形底边长为2cos，高为sin， 阴影面积为： 21 422cos2sin22cos22 2 cossin 2
10、222 4 sin , 当 8 时，阴影面积的最大值为2 2 2 故答案为2 2 2 【点睛】本题考查平面图形的面积问题，考查三角函数的图象与性质，解题关键用等腰三角 形底角为表示等腰三角形的底边与高. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 二二 选择题选择题 11. 设向量a，b满足2a ， 1b ，,60a b ，则2ab（ ） A. 2 2 B. 2 3 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用向量的模以及数量积的运算法则求解即可. 【详解】解：向量a，b满足2a ，1b ，,60a b ， 则 2 221 24444 2 1412 2
11、 abaa bb ， 则22 3ab. 故选：B. 【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的模，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 12. 下列函数中，周期为 1 的奇函数是 ( ) A. y=1-2sin 2x B. y=sin 2x 3 C. y=tan 2 x D. y=sinxcosx 【答案】D 【解析】 【分析】 对A，利用二倍角的余弦公式化简后判断；对B直接判断奇偶性即可；对C，直接利用正切 函数的周期公式判断即可；对D，利用二倍角的正弦公式化简后判断即可. 【详解】化简函数表达式 y=1-2sin 2x=cos 2x是偶函数，周期为 1，不合题意； y=sin 2x 3 的
12、周期为 1，是非奇非偶函数，周期为 1，不合题意； y=tan 2 x 是奇函数，周期为 2，不合题意； y=sinxcosx= 1 2 sin2x 是奇函数，周期为 1，合题意；故选 D. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及三角函数的周期公式，属 于中档题.由函数cosyAx可求得函数的周期为 2 ；由函数sinyAx可 求得函数的周期为 2 ；由函数tanyAx可求得函数的周期为 . 13. 要想得到函数 sin(2) 3 yx的图象，只需将函数sinyx的图象上所有的点 A. 先向右平移 3 个单位
13、长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B. 先向右平移 6 个单位长度，横坐标缩短为原来的 1 2 倍，纵坐标不变 C. 横坐标缩短为原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再向右平移 6 个单位长度 D. 横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移 3 个单位长度 【答案】C 【解析】 函数sinyx的图象上所有的点横坐标缩短为原来的 1 2 倍，纵坐标不变得到sin2xy ，再 向右平移 6 个单位长度 sin 2 3 yx ， 故选 C 14. 在ABC中, 2 sin( 22 caB abc c 、 、分别为角A BC、 、对边),则ABC的形状为 A. 直角三角形 B. 等边三角
14、形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 依题意，利用正弦定理及二倍角公式得 sinsin1cos 2sin2 CAB C ，即sinsin cosACB，又 sinsinsin coscos sinABCBCBC，故sin cos0BC ，三角形中sin0B，故 cos0, 2 CC，故三角形为直角三角形，故选A. 15. 在正方体 1 AC中，E 是棱 1 CC的中点，F 是侧面 11 BCC B内的动点， 且 1 AF与平面 1 D AE的 垂线垂直，如图所示，下列说法不正确 的是（ ） 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 -
15、 A. 点 F 的轨迹是一条线段 B. 1 AF与 BE 是异面直线 C. 1 AF与 1 D E不可能平行 D. 三棱锥 1 FABD的体积为定值 【答案】C 【解析】 【分析】 分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，体积公式分别进行判断 【详解】对于A，设平面 1 ADE与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点 分别取 1 B B、 11 BC的中点M、N，连接AM、MN、AN， 11 / /AMD EQ ， 1 AM 平面 1 D AE， 1 D E 平面 1 D AE， 1 / /AM 平面 1 D AE同理可得/MN平面 1 D AE， 1 AM、MN是平面 1
16、AMN内的相交直线 平面 1 / /AMN平面 1 D AE，由此结合 1 / /AF平面 1 D AE，可得直线 1 AF 平面 1 AMN， 即点F是线段MN上上的动点A正确 对于B，平面 1 / /AMN平面 1 D AE，BE和平面 1 D AE相交， 1 A F 与BE是异面直线，B正确 对于C，由A知，平面 1 / /AMN平面 1 D AE， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 1 A F 与 1 D E不可能平行，C错误 对于D， 因为/MNEG， 则F到平面 1 ADE的距离是定值， 三棱锥 1 FAD E的体积为定值， 所以D正确； 故选：C
17、 【点睛】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题 三三 解答题解答题 16. 已知函数 2sin 2 6 f xx . （1）求函数 f x的对称轴； （2）当0, 2 x 时，求函数 f x的最大值与最小值. 【答案】 （1）对称轴方程为： 23 k x (kZ)； （2）最大值为 2，最小值为1. 【解析】 【分析】 （1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程. （2）利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步求出函数的最大和最小值. 【详解】 （1）函数 2sin 2 6 f xx . 令2 62 xk (
18、kZ)，解得 23 k x (kZ)， 所以函数 f x的对称轴方程为： 23 k x (kZ). （2）由于0, 2 x ， 所以 5 2, 666 x ， 故 1 sin 2,1 62 x . 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 则： 12f x 故当0 x时，函数的最小值为1. 当 3 x 时，函数的最大值为 2. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，属于基础题. 17. 在ABC中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且2c ，105A，30C （1）求 b 的值 （2）ABC的面积. 【答案】 （1）2； （2）1 3 4 . 【解析】 分析】 （
19、1）由 A 与 C 度数求出 B 的度数，再由 c 及 C 的度数，利用正弦定理求出 b 的值即可； （2）由 b，c 及sin A的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积. 【详解】 （1）105A，30C ，45B， 又 2c ， 1 sin 2 C ， 由正弦定理 sinsin bc BC 得： 2 2 sin 2 2 1 sin 2 cB b C ； （2）2b， 2c ， 61 sinsin105sin 6045sin60 cos45cos60 sin45 4 A ， 116113 sin22 2244 ABC SbcA . 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查三角形面积
20、公式的应用，属于基础题. 18. 如图，三棱柱 111 ABCABC中，D，E，F 分别为棱AB，BC， 11 C B中点. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - （1）求证：/AC平面 1 B DE； （2）求证：/AF平面 1 B DE. 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）由已知利用三角形的中位线的性质可证/DE AC，进而利用线面平行的判定定理即可证 明/AC平面 1 B DE. （2） 由已知可证 1 B ECF是平行四边形， 进而证明 1 /FC B E， 利用线面平行的判定证明/FC 平面 1 B DE，根据面
21、面平行的判定证明平面/ACF平面 1 B DE，根据面面平行的性质即可可 证/AF平面 1 B DE. 【详解】 （1）在ABC中，D，E 分别为棱AB，BC中点. 所以/DE AC， 因为DE 平面 1 B DE，AC 平面 1 B DE， 所以/AC平面 1 B DE. （2）在三棱柱 111 ABCABC中， 11 BC BC， 因为 E，F 分别为BC， 11 C B中点， 所以 1 CE B F， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 所以 1 B ECF是平行四边形， 所以 1 /FC B E， 因为FC平面 1 B ED， 1 B E 平面 1 B
22、ED， 所以/FC平面 1 B DE， 又因为/AC平面 1 B DE，ACCFC， 所以平面/ACF平面 1 B DE， 所以/AF平面 1 B DE. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查利用面面平行证明面面平行，属于基础题. 19. 已知ABC的角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 1 cos 2 aCcb. （1）求角 A 的大小； （2）若1a ，求ABC周长 l 的最大值. 【答案】 （1） 3 A ； （2）3. 【解析】 【分析】 （1）由题意利用正弦定理，两角和差的三角公式，求得cosA的值，可得 A 的值. （2）利用正弦定理求得 bc 的解析式，可得周长 l 的
23、解析式，再利用正弦函数的定义域和值 域，求得ABC的周长 l 的最大值. 【详解】解： （1）ABC中，cos1 2 ac C bb ， 由正弦定理可得 1 sincossinsinsinsincoscossin 2 ACCBACACAC， 1 sincossin 2 CAC， 1 cos 2 A. 结合0,A，可得 3 A . （2）由正弦定理得 sin sin 2 sin 3 Ba B A b ， 2 sin 3 cC ， 周长 22 11sinsin1sinsin 33 abcBCBAB 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 31 12sincos12sin
24、 226 BBB . 3 A ， 2 0, 3 B ， 5 , 666 B ， 1 sin,1 62 B ，故ABC的周长 l 的最大值为 3. 【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、三角恒等变换以及正弦函数的性质，属于基础题. 20. 如图 1，在ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中 点， 2 5ABAC ，4BC 将ADE沿DE折起到 1 ADE的位置，使得平面 1 ADE 平面BCED，F为 1 AC的中点，如图 2 （1）求证：/EF平面 1 ABD； （2）求证：平面 1 AOB 平面 1 AOC； （3）线段OC上否存在点G，使得OC 平面EFG？说明理由 【答案】
25、 （1）见解析； （2）见解析； （3）见解析 【解析】 试题分析： （1）取线段 1 AB的中点H，由三角形中位线性质以及平行四边形性质得四边形 DEFH为平行四边形，即得 /EFHD再根据线面平行判定定理得结论，（2）先根据等腰 三角形性质得 1 AODE 再根据面面垂直性质定理得 1 AO 平面BCED， 即得 1 COAO， 根据勾股定理得COBO，所以由线面垂直判定定理得 CO平面 1 AOB，最后根据面面 垂直判定定理得结论， （3）假设线段OC上存在点G， 使得OC 平面EFG， 则E O E C， 与条件矛盾. 试题解析： 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网
26、- 15 - 解： （1）取线段 1 AB的中点H，连接HD，HF 因为在ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，所以 /DEBC， 1 2 DEBC 因为 H，F分别为 1 AB， 1 AC的中点，所以 /HFBC， 1 2 HFBC， 所以 /HFDE，HFDE，所以 四边形DEFH为平行四边形，所以 /EFHD 因 EF 平面 1 ABD， HD 平面 1 ABD，所以 /EF平面 1 ABD （2）因为在ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，所以 ADAE 所以 11 ADAE，又O为DE的中点， 所以 1 AODE 因为平面 1 ADE 平面BCED，且 1 AO 平面 1 ADE
27、， 所以 1 AO 平面BCED，所以 1 COAO 在OBC中，4BC ，易知 2 2OBOC ， 所以 COBO，所以 CO平面 1 AOB， 所以 平面 1 AOB 平面 1 AOC （3）线段OC上不存在点G，使得OC 平面EFG 否则，假设线段OC上存在点G，使得OC 平面EFG， 连接 GE，GF，则必有 OCGF，且OCGE 在Rt 1 AOC中，由F为 1 AC的中点，OCGF，得G为OC的中点 在EOC中，因为OCGE，所以EOEC， 这显然与1EO，5EC 矛盾！ 所以线段OC上不存在点G，使得OC 平面EFG 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 -
