1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 河北省廊坊市河北省廊坊市 2018-2019 学年高一下学期期末考试数学试题学年高一下学期期末考试数学试题 一、选择题一、选择题 1. 数列 n a前几项为 11121 ,3,8, 222 ，则此数列的通项可能是（ ） A. 54 2 n n a B. 32 2 n n a C. 65 2 n n a D. 109 2 n n a 【答案】A 【解析】 数列为 1 6 11 16 21 , 2 2 222 其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等比数列，故通项公式 为 54 2 n n a . 点睛：本题主要考查根据数列的前几项
2、，猜想数列的通项公式.首项观察到数列有部分项是分 数的形式，所以考虑先将所有项都写成分数的形式，每项的分母都为2，而分子是首项为1， 公差为5的等比数列，由此可求得数列的通项公式.要注意的是，由部分项猜想的通项公式可 以有多个. 2. 对于任意实数 a，b，c，则下列四个命题： 若ab，0c ，则acbc；若ab，则 22 acbc； 若 22 acbc，则a b；若ab，则 11 ab . 其中正确命题的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】 根据不等式的性质判断各个命题，错误的可举反例说明 【详解】ab时，若0c，则acbc，错误； 若0c =
3、，则 22 acbc，错误； 若 22 acbc，则 2 0c ，a b，正确； ab，若0ab，仍然有 11 ab ，错误 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 正确的只有 1个 故选：C 【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键 3. 在空间直角坐标系中，点(1,3, 5)P关于xOy面对称的点的坐标是（ ） A. ( 1,3, 5) B. (1, 3,5) C. (1,3,5) D. ( 1, 3,5) 【答案】C 【解析】 1,3, 5P关于xOy面对称的点为1,3,5 4. 直线10 2 n mxy 在y轴上的截距是-1，且它的倾斜角是直线
4、33 30 xy的倾 斜角的 2 倍，则（ ） A. 3,2mn B. 3,2mn C. 3,2mn D. 3,2mn 【答案】B 【解析】 设直线33 30 xy 的倾斜角是 ，则直线:10 2 n l mxy 的倾斜角为2 tan 3 ，直线10 2 n mxy m的斜率 2 22 3 2? 3 11 3 tan ktan tan 直线l的斜截式方程为：31yx ，3,m 2n ，故选 B 5. 圆心为(0,1)且与直线 2y 相切的圆的方程为( ) A 22 (1)1xy B. 22 (1)1xy C. 22 (1)1yx D. 22 (1)1xy 【答案】C 【解析】 高考资源网（）
5、您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 设圆方程 2 22 1xyr，直线2y 与圆相切，圆心到直线的距离等于半径 r， 2 11r ，故圆的方程为 2 2 11xy，故选 C. 6. 已知等比数列 n a中，各项都是正数，且 132 1 ,2 2 aaa成等差数列，则 910 78 aa aa （ ） A. 1 2 B. 1 2 C. 3 2 2 D. 3 2 2 【答案】C 【解析】 试题分析：由已知 312 2aaa，所以 2 111 2a qaa q，因为数列 n a的各项均为正，所以 21q ， 22 2 91078 7878 32 2 aaa qa q q aaaa 故选
6、 C 考点：等差数列与等比数列的性质 7. 关于x的不等式 2 20axbx的解集为( 1,2) ，则关于x的不等式 2 20bxax的 解集为（ ） A. ( 2,1) B. (, 2)(1,) C. (, 1)(2,) D. ( 1,2) 【答案】B 【解析】 设 2 ( )2f xaxbx， 0f x 解集为12（， ） 所以二次函数图像开口向下，且与x 交 点为( 10),(2 0)，由韦达定理得 12 1, 21 1 2 b a a b a 所以 2 20 xx 的解集为 |21x xx 或 ，故选 B. 8. 某观察站C与两灯塔 ,A B的距离分别为a米和b米，测得灯塔A在观察站C
7、西偏北60， 灯塔B在观察站C北偏东60，则两灯塔,A B间的距离为（ ） A 22 ab 米 B. 22 abab 米 C. 22 abab 米 D. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 22 3abab 米 【答案】A 【解析】 依题意，作出上图，306090ACBACa CBb， ，由余弦定理得： 2222 290ABababcosab ，故选 A. 9. 设为空间不重合的直线， , 是空间不重合的平面， 则下列说法准确的个数是 （ ） / ，/ ，则/； ，则/； 若/ ,/ ,/ml ml则； 若lm，l，m ，则； 若,/ , / , /mmll则 /
8、 / ,/ / ，则/ / A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 试题分析：显然正确；可能相交；l 可能在平面内；l 可能为、两个平面的 交线，两个平面、可能相交；、 可能相交；显然正确，故选 C 考点：空间中线面，线线，面面关系 【易错点睛】解决有关线面平行，面面平行的判定与性质的基本问题要注意： （1）注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视 （2）结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - （3）会举反例或用反证法推断命题是否正确 10. 设M是ABC内一点，且 ABC
9、S的面积为 2，定义()( , , )f Mm n p，其中 , ,m n p分别 是MBC，MCA，MAB的面积，若ABC内一动点P满足( )(1, , )f Px y，则 14 xy 的最小值是（ ） A. 1 B. 4 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 由已知得 14144 121()5 ABC xy Sxyxyxy xyxyyx 4 529 x y yx ，故选 C. 11. 若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A. 16 3 B. 19 3 C. 19 12 D. 4 3 【答案】B 【解析】 依题意得，该正三棱柱的底面正三角形的边
10、长为 2，侧棱长为 1设该正三棱柱的外接球半径 为 R， 易知该正三棱柱的底面正三角形的外接圆半径是 2sin 60 2 3 2 3 ， 所以 R2 2 2 3 2 1 2 19 12 ，则该球的表面积为 4R2 19 3 二、填空题二、填空题 12. 若直线220mxmy与3 10 xmy 互相垂直，则点,1m到y轴的距离为 _ 【答案】0或5. 【解析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【详解】分析：由题意首先求得实数 m 的值，然后求解距离即可. 详解：由直线垂直的充分必要条件可得： 320mm m，即： 2 50mm ， 解得： 1 0m ， 2 5m
11、 ， 当0m时点,1m到y轴的距离为 0， 当5m时点,1m到y轴的距离为 5， 综上可得：点,1m到y轴的距离为0或5. 点睛：本题主要考查直线垂直的充分必要条件，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生 的转化能力和计算求解能力. 13. 已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为 2 15 cm，则此圆锥的体积为_ 3 cm. 【答案】12 【解析】 【分析】 先求圆锥的底面半径，再求圆锥的高，然后求其体积 【详解】设圆锥的底面半径为rcm，高为hcm， 已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为 2 15 cm， 则515r ，得3r ，所以，圆锥的高为 22 54hr ， 因此，该圆锥的体积为 223
12、 11 3412 33 Vr hcm. 故答案为：12. 【点睛】本题考查圆锥的侧面积、体积，解题时要明确圆锥底面半径、母线长以及高之间的 关系，考查计算能力，是基础题 14. 若实数 x，y满足 0 22 5 y xy xy ，则2xy的最小值是_ 【答案】2 【解析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 【分析】 画出满足条件的可行域，令 2zxy ，根据图像求出目标函数的最小值. 【详解】 00 22220 550 yy xyyx xyxy 三角形阴影部分为满足不等式的解集； 令 2zxy ，则 11 22 yx+z ； 由 02 220 yx xyy ，
13、当直线 11 22 yx+z 过点2,0时截距最小， 此时2 02z 最小. 故答案为：2. 【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值， 属于基础题. 15. 已知点,P x y是直线 40kxy （0k ）上一动点，PA、PB是圆 :C 22 20 xyy的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则 k _ 【答案】2 【解析】 【分析】 根据圆的方程得出圆心和半径， 由圆的性质， 得到四边形的面积2 PBC SS ， 再确定 PBC S的 面积的最小值,得出当PC取最小值时，PB最小；根据点到直线距离公式，列出方程求解， 即可得出结果.
14、 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【详解】圆:C 22 20 xyy的圆心为0,1C，半径为1r ， 由圆的性质可知，四边形的面积2 PBC SS ， 又四边形PACB的最小面积是 2，则 PBC S的最小值为 minmin 11 1 22 Sr PBPB ， 则 min 2PB， 因为 22 2 1PBPCrPC ，所以当PC取最小值时，PB最小； 又点,P x y是直线40kxy上的动点， 当CP垂直于直线40kxy时，PC最小，即为圆心0,1C到直线的距离； 所以 22 2 14 215 1k ，解得2k ， 因为0k ，所以2k 故答案为：2. 【点睛
15、】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公 式、圆的切线长公式，圆的性质和四边形的性质等知识点的综合应用，着重考查了学生分析 问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于常考题型. 三、解答题三、解答题 16. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 2coscosbcAaC. （1）求角A的大小； （2）若13a ，5bc ，求ABC的面积. 【答案】 （1） 3 A （2） 3 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理的边化角公式，结合两角和的正弦公式，求解即可； （2）利用余
16、弦定理以及题设条件得出4bc ，最后由三角形面积公式求解即可. 【详解】解： （1）在ABC中，由条件及正弦定理得(2sinsin)cossincosBCAAC 2sincossincossincossinBACAACB sin0B，2cos1A 0,A， 3 A . （2）13a ，5bc 由余弦定理得 222 2cosabcbcA 2 ()22 cos 3 bcbcb 2 5313bc 25 13 4 3 bc . 11 sin4 sin3 223 ABC SbcA . 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题. 17. 如图， 在四棱锥PABCD中， 底
17、面ABCD的平行四边形，ADC60 ， 1 2 ABAD， PA 平面ABCD，E为PD的中点. （1）求证：ABPC； （2）若 1 2 2 PAABAD，求三棱锥PAEC的体积. 【答案】 （1）详见解析（2） 2 3 3 【解析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 试题分析：（1） 由余弦定理结合勾股定理可得ABAC， 再由线面垂直的判定定理可得AB 平面PAC，从而可得结果； （2）根据“等积变换”可得 P AECD AECE ADC VVV ，进而直接 用棱锥的体积公式求解. 试题解析： （1）证明：因PA 面ABCD，又AB 平面ABCD 所以AB
18、PA， 又因为60ABCADC， 11 22 ABADBC， 在ABC中，由余弦定理有： 222 ACABBC 2cos60AB BC 22 BCAB 所以 222 ABACBC， 即：ABAC， 又因为PAACA，又PA平面PAC，AC 平面PAC， 所以AB 平面PAC， 又PC 平面PAC，所以ABPC. （2）由已知有： 1 2 2 PAABAD，所以2PAAB，4AD ,因为PA 面ABCD 且E为PD的中点，所以E点到平面ADC的距离为 1 1 2 PA ， 所以 P AECD AECE ADC VVV 11 32 ADC SPA 11 2 4 32 2 3 sin601 3 18
19、. 已知 n a是各项均为正数的等比数列， n b是等差数列，且 11 1ab， 233 2bba， 52 37ab. ()求 n a和 n b的通项公式； ()设 nn n ca b， * nN，求数列 n c的前n项和. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 【答案】 （） 1 2, n n an N,21, n bnn N;（）23 23 n n Sn 【解析】 试题分析： （）设出数列 n a的公比和数列 n b的公差，由题意列出关于, q d的方程组， 求解方程组得到, q d的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求； （）由题意得 1 21 2n n
20、cn ，然后利用错位相减法注得数列 n c的前n项和 试题解析： （）设 n a的公比为 q, n b的公差为 d,由题意0q ,由已知,有 消去 d 得 42 280,qq 解得 2,2qd ,所以 n a的通项公式为 1 2, n n an N, n b的通项公式为21, n bnn N （）由（）有 1 21 2n n cn ,设 n c的前 n 项和为 n S ,则 0121 1 23 25 2212, n n Sn 123 21 23 25 2212 , n n Sn 两式相减得 23 1 2222122323, nnn n Snn 所以23 23 n n Sn 考点：等差数列与等比
21、数列的综合 【易错点睛】用错位相减法求和应注意的问题： （1）要善于识别题目类型，特别是等比数列 公比为负数的情形 （2）在写出“ n S”与“ n qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下 一步准确写出“ nn SqS”的表达式 （3） 在应用错位相减法求和时， 若等比数列的公比为参数， 应分公比等于1和不等于1两种情况求解 19. 已知圆 22 :(2)5Cxy，直线: 120l mxym ，mR. （1）求证：对mR，直线l与圆C总有两个不同的交点,A B； （2）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线； （3）是否存在实数m，使得圆C上有四点到直线l的距离为 4
22、5 5 ？若存在，求出m的范围； 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 若不存在，说明理由. 【答案】 （1）见解析； （2）M 的轨迹方程是 22 11 (2)() 24 xy，它是一个以 1 ( 2, ) 2 为圆 心，以 1 2 为半径的圆； （3）2m或2m. 【解析】 【分析】 （1）依据题设可以运用圆心与直线的距离或考虑动直线过定点分析判断； （2）借助题设条件 运用圆心与弦中点的连线与直线垂直建立方程求解； （3）依据题设借助图形的直观，运用圆 心距与直线的位置和数量关系建立不等式： 【详解】 （1）圆 2 2 :25Cxy的圆心为2,0C ，半径为
23、 5，所以圆心 C 到直线 :120l mxym 的距离 22 2121 5 11 mm mm 所以直线l与圆 C 相交，即直线l与圆C总有两个不同的交点； 或：直线:120l mxym 的方程可化为 210m xy，无论 m 怎么变化，直 线l过定点2,1， 由于 2 2 22115 ， 所以点2,1是圆 C 内一点， 故直线l与圆C 总有两个不同的交点 （2）设中点为,M x y，因为直线:120l mxym 恒过定点2,1， 当直线l的斜率存在时， 1 2 AB y k x ，又 2 MC y k x ，1 ABMC kk ， 所以 1 1 22 yy xx ，化简得 2 211 22
24、24 xyx 当直线l的斜率不存在时，中点2,0M 也满足上述方程 所以 M 的轨迹方程是 2 211 2 24 xy ，它是一个以 1 2, 2 为圆心，以 1 2 为半径的 圆 (3) 假设存在直线l，使得圆上有四点到直线l的距离为 4 5 5 ，由于圆心2,0C ，半径为 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 5，则圆心 2,0C 到直线l的距离为 22 21214 5 5 5 11 mm mm 化简得 2 4m ，解得2m或2m 【点睛】解答本题的关键要搞清楚动直线过定点的特征，然后再运用直线与圆的位置关系分 析求解求解第一问时，充分借助圆心与直线的距离进
25、行分析求解从而使得问题获解；解答 第二问时，依据题设条件充分运用圆心与弦中点的连线与直线垂直建立方程求解；求解第三 问时依据题设条件借助图形的直观，运用圆心与直线的距离之间与 4 5 5 的数量关系建立不等 式，通过解不等式使得问题获解 20. 如图，三棱柱 111 ABCABC的底面是边长为 2 的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是 3，D是AC的中点. （1）求证： 1 / /BC平面 1 ABD； （2）求二面角 1 ABDA的大小； （3）求直线 1 AB与平面 1 ABD所成角的正弦值. 【答案】 （1）详见解析； （2） 3 ； （3） 21 7 . 【解析】 【详解】试题分析：
26、(1)设 1 AB与 1 AB相交于点P，由 1 / /PDBC即可证得 1 / /BC平面 1 ABD. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - (2)利用题意找到二面角的平面角为 3 ； (3)利用(2)中的结论找到线面角，计算可得直线 1 AB与平面 1 ABD所成角的正弦值为 21 7 . 试题解析： （1）设 1 AB与 1 AB相交于点P，连接PD，则P为 1 AB中点， DQ为AC中点， 1 / /PDBC. 又PDQ平面 1 ABD， 1 BC 平面 1 ABD 1 / /BC平面 1 ABD. （2）正三棱柱 111 ABCABC， 1 AA底面A
27、BC. 又BDAC， 1 ADBD， 1 ADA就是二面角 1 ABDA的平面角. 1= 3 AA， 1 1 2 ADAC， 1 1 tan3 A A ADA AD . 1 3 ADA ，即二面角 1 ABDA的大小是 3 . （3）由（2）作 1 AMAD，M为垂足. BDAC，平面 11 AACC 平面ABC，平面 11 A ACC 平面ABC AC， BD平面 11 A ACC， AM 平面 11 A ACC， BDAM. 1 ADBDD， AM平面 1 ADB，连接MP，则 APM就是直线 1 AB与平面 1 ABD 所成的角. 1 3AA ，1AD ，在 1 Rt AAD中， 1 3 ADA ， 3 1 sin60 2 AM ， 1 17 22 APAB. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - sin AM APM AP 3 21 2 77 2 . 直线 1 AB与平面 1 ABD所成角的正弦值为 21 7 . （备注：也可以建立空间直角坐标系来解答.）
