1、第三讲第三讲 力与曲线运动力与曲线运动 专题一专题一 2021 内 容 索 引 01 02 03 体系构建体系构建 真题感悟真题感悟 高频考点高频考点 能力突破能力突破 素养提升素养提升 微课堂微课堂 体系构建体系构建 真题感悟真题感悟 【网络构建网络构建】 【高考真题高考真题】 1.(2020全国卷)如图所示,一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均 为10 m,该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该 同学荡到秋千支架的正下方时,速度大小为8 m/s,此时每根绳子平均承受 的拉力约为( ) A.200 N B.400 N C.600 N D.800 N 答案 B 解析
2、本题以该同学和秋千踏板整体为研究对象,在最低点根据牛顿第二 定律求解。在最低点由2FT-mg= 得,绳子的拉力FT=410 N,选项B正确。 2 情境剖析 本题属于基础性题目,以“荡秋千”为素材创设体育运动类情境。 素养能力 本题考查“相互作用与圆周运动”这一物理观念,对考生的理解 能力有一定要求。 2.(2020全国卷)如图所示,在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个 坑,该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h,其左边缘a点比右边缘b点高 0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E1,它会落到坑内c点,c与a的水平距离 和高度差均为h;若经过a点时的动能为E2,该摩托车恰能越过坑到达b点。 等于(
3、 ) A.20 B.18 C.9.0 D.3.0 2 1 答案 B 解析 摩托车做平抛运动,从 a 到 c,h=1 2 12,h=v1t1,联立可求出 v1= 2 ;从 a 到 b,0.5h=1 2 22,3h=v2t2,联立可求出 v2= 9。动能 E1=1 2 12= 1 4mgh,E2= 1 2 2 2 = 9 2mgh,则 2 1=18,B 正确,A、C、D 错误。 情境剖析 本题属于应用性题目,以“摩托车越野赛过坑”为素材创设体育 运动类情境。 素养能力 本题通过动能、平抛运动的规律应用考查“运动”这一物理观念, 对考生的理解能力、模型建构能力和逻辑推理能力有一定要求。 3.(多选)
4、(2019全国卷)如图(a),在跳台滑雪比赛中,运动员在空中滑翔时身体的姿态会 影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳,每次都从离开 跳台开始计时,用v表示他在竖直方向的速度,其v-t图像如图(b)所示,t1和t2是他落在倾斜 雪道上的时刻。则( ) A.第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小 B.第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大 C.第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大 D.竖直方向速度大小为v1时,第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大 图(a) 图(b) 答案 BD 解析 本题考查v-t图像及运动的合成和分解。从v-t图像中
5、图线与坐标轴所 围面积可知第二次面积大于第一次面积,故第二次在竖直方向上的位移比 第一次的大,A错误;因为沿斜面位移方向不变,而第二次竖直位移大,所以 第二次水平位移也大,B正确;第一次竖直方向速度变化量大,经历时间短, 由 ,因此C错误;在竖直方向上根据牛顿第二定律mg- Ff=ma,加速度大的阻力小,D正确。 = 知,1 2 情境剖析 本题属于创新性题目,以“跳台滑雪”为素材创设体育运动类情 境。 素养能力 本题利用v-t图线考查“运动和相互作用”观念,对考生的信息加 工能力、逻辑推理能力和分析综合能力有较高要求。解答时应注意不要 当成平抛运动来处理。 4.(2017全国卷)如图,半圆形光
6、滑轨道固定在水平地面上,半圆的直径与 地面垂直。一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道,并从轨道上端水平飞 出,小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关,此距离最大时对应的 轨道半径为(重力加速度大小为g)( ) A. 2 16 B. 2 8 C. 2 4 D. 2 2 答案 B 解析 小物块从半圆光滑轨道的最低点到最高点,由机械能守恒定律得 1 2mv 2=mg(2R)+1 2 12。小物块从光滑轨道最高点平抛到水平轨道上的时间 为 t,由 2R=1 2gt 2 得 t= 4 ,小物块落地点到轨道下端的距离为 x=v1t= -162+ 42 。当 R= 2 8时,小物块落地点到轨道下端的距离最
7、大,故 选项 B 正确。 情境剖析 本题属于综合性、创新性题目,以“小物块圆周运动和平抛运动” 为素材创设学习探索类情境。 素养能力 本题通过求平抛运动的水平位移的极值条件考查“运动、能量” 观念,对考生的逻辑推理能力和分析综合能力有较高要求。 高频考点高频考点 能力突破能力突破 考点一考点一 曲线运动及运动的合成与分解曲线运动及运动的合成与分解(M) 方法技巧 涉及绳(杆)牵连物体运动问题的分析技巧 1.解题关键:找出合速度与分速度的关系是求解关联问题的关键。 2.基本思路: (1)先确定合速度的方向(物体实际运动方向)。 (2)分析合运动所产生的实际效果:一方面使绳或杆伸缩;另一方面使绳或
8、 杆转动。 (3)确定两个分速度的方向:沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分 速度,而沿绳或杆方向的分速度大小相同。 【典例1】 (2020陕西宝鸡高考模拟)如图所示的机械装置可以将圆周运动转化为直 线上的往复运动。连杆AB、OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动,连杆 OB在竖直面内的圆周运动可通过连杆AB使滑块在水平横杆上左右滑动。 已知OB杆长为L,绕O点沿逆时针方向做匀速转动的角速度为,当连杆AB 与水平方向夹角为,AB杆与OB杆的夹角为时,滑块的水平速度大小为 ( ) A.sin sin B.cos sin C.cos cos D.sin cos 答案 D 解析 设滑块的水平速度大
9、小为v,A的速度的方向沿水平方向,如图将A的 速度分解,根据运动的合成与分解可知,沿AB杆方向的分速度:vA分=vcos ,B 做圆周运动,实际速度是圆周运动的线速度,可以分解为沿AB杆方向的分 速度和垂直于AB杆方向的分速度,如图设B的线速度为v,则vB分=vcos =vcos90-(180-)=vcos(-90)=vcos(90-)=vsin ,v=L,又二 者沿杆方向的分速度是相等的,即vA分=vB分,联立可得 ,选项D正确。 v= sin cos 解题指导 审题 读取题干 获取信息 连杆AB、OB可绕图中A、B、O 三处的转轴转动 可知两杆的转动情况 连杆OB在竖直面内的圆周运动 可通
10、过连杆AB使滑块在水平横 杆上左右滑动 B点做圆周运动,合速度与圆弧相切;A滑 块沿水平横杆左右滑动,合速度沿杆;B球 沿AB杆的分速度与A滑块沿AB杆的分速 度相等 OB杆长为L,绕O点沿逆时针方 向做匀速转动的角速度为 B点做匀速圆周运动的线速度(合速度)为 v=L 破题首先明确两物体实际运动的速度方向,即合速度的方向,然后把二者的 速度沿关联杆和垂直关联杆分解,利用沿关联杆的分速度相等建立联系。 【类题演练类题演练】 1.(2020山东潍坊五校联考)如图所示,绕过定滑轮的细线连着两个小球,小 球a、b分别套在水平杆和竖直杆上,某时刻连接两球的细线与竖直方向的 夹角均为37,此时a、b两球
11、的速度大小之比 为(已知sin 37=0.6,cos 37=0.8)( ) A.4 3 B.3 4 C.25 9 D.25 16 答案 A 解析 将a、b两小球的速度分解为沿细线方向的速度与垂直细线方向的速 度,则a球沿细线方向的速度大小为v1=vasin 37,b球沿细线方向的速度大 小为v2=vbcos 37,又v1=v2,解得 = cos37 sin37 = 4 3,选项 A正确。 2.如图所示,卡车通过定滑轮以恒定的功率P0拉轻绳牵引河中的小船沿水 面运动,已知小船的质量为m,沿水面运动时所受的阻力为Ff,当绳AO段与 水平面夹角为时,小船的速度为v,不计绳子与滑轮的摩擦,则此时小船的
12、 加速度等于( ) A.0cos B. 0 f C. 0 cos f D.0cos 2 f 答案 B 解析 小船的实际运动为合运动,沿着绳子方向和垂直绳子方向的 运动是分运动,如图: 根据平行四边形定则,有v车=v cos ,故拉力为 ,对船受力分析, 受重力、拉力、浮力和阻力,如图所示: 根据牛顿第二定律,有F cos -Ff=ma, 联立以上式子解得 ,故B正确, A、C、D错误。 F= 0 车 = 0 cos a= 0 3.(2020山东泰安质检)如图所示,甲、乙两船在一匀速的河水中同时开始 渡河,M、N分别是甲、乙两船的出发点,两船船头与河岸均成角,甲船船 头恰好对准N点的正对岸P点,
13、经过一段时间乙船恰好到达P点。如果甲、 乙两船在静水中的速度大小相同,且甲、乙两船相遇不影响各自的航行,下 列判断正确的是( ) A.甲船也能到达M点正对岸 B.甲船渡河时间一定比乙船短 C.甲、乙两船相遇在NP直线上的某点(非P点) D.渡河过程中两船不会相遇 答案 C 解析 乙船垂直河岸到达正对岸,说明水流方向向右,甲船参与了两个分运 动,沿着船头指向的匀速运动,随着水流方向的匀速运动,故不可能到达M点 正对岸,选项A错误;船本身的速度垂直河岸方向的分速度为vy=vsin ,船渡 河的时间 ,故甲、乙两船到达对岸的时间相同,选项B错误;船 沿垂直河岸方向的位移y=vyt=vtsin ,可知
14、任意时刻两船沿垂直河岸方向 的位移相等,又由于乙船沿着NP方向运动,故相遇点在NP直线上的某点(非 P点),选项C正确,D错误。 t= = sin 考点二考点二 平抛运动的规律及其应用平抛运动的规律及其应用(H) 规律方法 处理平抛(类平抛)运动的四条注意事项 (1)处理平抛运动(或类平抛运动)时,一般将运动沿初速度方向和垂直于初 速度方向进行分解,先按分运动规律列式,再用运动的合成求合运动。 (2)对于在斜面上平抛又落到斜面上的问题,其竖直位移与水平位移之比等 于斜面倾角的正切值。 (3)若平抛的物体垂直打在斜面上,则物体打在斜面上瞬间,其水平速度与 竖直速度之比等于斜面倾角的正切值。 (4
15、)做平抛运动的物体,其位移方向与速度方向一定不同。 【典例2】(2020广东广州、深圳学调联 盟高三第二次调研)横截面为直角三角形 的两个相同斜面紧靠在一起,固定在 水平面上,如图所示。它们的竖直边长都是底边长的一半。现有三个小球从 左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛,最后落在斜面上,其落点分别是a、 b、c。下列判断正确的是( ) A.a球落在斜面上的速度方向与斜面平行 B.三小球比较,落在c点的小球飞行时间最长 C.三小球比较,落在b点的小球飞行过程速度变化最快 D.无论小球抛出时初速度多大,落到斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直 答案 D 解析 根据平抛运动的推论,设a球落在斜面上的速
16、度方向与水平方向夹角 为,对应处位置位移与水平方向偏转角为,则tan =2tan ,根据题意tan = ,所以=45,不可能与斜面平行,选项A错误;根据平抛运动规律 h= gt2,a球竖直方向下落距离最大,所以a球飞行时间最长,选项B错误;三 个小球都做平抛运动,即速度变化快慢(加速度)均相同,选项C错误;通过A 的分析可知,a球不可能与斜面垂直,对于b、c点而言,竖直方向分速度gt, 1 2 1 2 水平速度 v0,假设能与斜面垂直,则0 = 1 2,对应的竖直方向的位移为 y= 1 2gt 2,水 平方向的位移为 x=v0t=1 2gt 2,与题意明显矛盾,选项 D 正确。 思维点拨 小球
17、从斜面上某点开始做平抛运动,落到斜面上时位移偏向角 一定,一般分解位移,且由推论可知速度偏向角也一定。若小球做平抛运动 垂直落到斜面上,相当于速度偏向角与斜面倾角互余,一般分解速度。 素养点拨 解答斜面上平抛运动问题的两点技巧 (1)物体从斜面上水平抛出后,当其速度方向与斜面平行时,物体离斜面最 远。 (2)若位移偏向角为、速度偏向角为,则有tan =2tan ,故物体落回斜面 的速度方向取决于斜面倾角,与初速度的大小无关。 【类题演练类题演练】 4.(2020山东青岛一模)如图,容量足够大的圆筒竖直放置,水面高度为h,在 圆筒侧壁开一个小孔P,筒内的水从小孔水平射出,设水到达地面时的落点 距
18、小孔的水平距离为x,小孔P到水面的距离为y。短时间内可认为筒内水 位不变,重力加速度为g,不计空气阻力,在这段时间内下列说法正确的是 ( ) A.水从小孔P射出的速度大小为 B.y越小,则x越大 C.x与小孔的位置无关 D.当y= 时,x最大,最大值为h 2 答案 D 解析 设小孔 P 的面积为 S,圆筒厚度为 d,将小孔处面积为 S,厚度为 d 的水柱 视为质点,液体压力做功将其推出小孔,则根据动能定理有 Fd=1 2mv 2,水的压 力F=gyS,水柱质量为m=Sd,联立解得v= 2,选项A错误;水从小孔P射 出时做平抛运动,则 x=vt、h-y=1 2gt 2,解得 x=v 2(-) =
19、2 (-),可知 x 与小孔 的位置有关,由数学知识可知,当 y=h-y,即 y=1 2h 时 x 最大,最大值为 h,并不是 y 越小 x 越大,选项 D 正确,选项 B、C 错误。 5.如图为足球球门,球门宽为L,一个球员在球门中心正前方距离球门s处高 高跃起,将足球顶入球门的左下方死角(图中P点)。若球员顶球点的高度为 h。足球被顶出后做平抛运动(足球可看作质点),重力加速度为g。则下列 说法正确的是( ) A.足球在空中运动的时间 t= 2 2+2 B.足球位移大小 x= 2 4 + 2 C.足球初速度的方向与球门线夹角的正切值 tan =2 D.足球初速度的大小 v0= 2 ( 2
20、4 + 2) 答案 C 解析 足球运动的时间为:t= 2 ,A 错;足球在水平方向的位移大小为 x= 2 4 + 2,所以足球的位移大小为 l= 2+ 2= 2+ 2 4 + 2,B 错;由几 何关系可得足球初速度的方向与球门线夹角的正切值为 tan =2 ,C 正确;足 球的初速度的大小为 v0= = 2 ( 2 4 + 2),D 错误。 6.(多选)(2020山东高三下学期枣庄一中、高密一中、莱西一中在线联考) 如图所示,在倾角为的斜面上的O点,与水平方向成60角分别以速度v0和 2v0两次抛出小球,小球先后打到斜面上的A、B两点,其中初速度是2v0的小 球沿水平方向击中B点。则下列说法正
21、确的是( ) A.斜面的倾角为30 B.击中B点的小球在空中的飞行时间为 C.初速度是v0的小球也一定沿水平方向击中A点 D.OA间的距离等于AB间的距离 30 答案 BC 解析 研究以 2v0的速度抛出的小球的运动,反向看作平抛运动,根据几何关 系可知,落到斜面上末速度与水平方向的夹角为 60 ,斜面的倾角 等于位移 与水平方向的夹角,根据平抛运动的规律可知,速度与水平方向夹角正切值 等于位移与水平方向夹角正切值的 2 倍,则有 tan 60 =2tan ,解得 tan = 3 2 , 则有斜面的倾角 30,选项 A 错误;继续反向研究击中 B 点的小球的运动, 落地斜面上的竖直速度 vy=
22、2v0sin 60 = 3v0,空中飞行的时间 t= = 3 0 ,选 项 B 正确; 落到 A 点的小球斜上抛的水平分速度为 vx=v0cos 60 =0 2 ,竖直分速度为 vy=v0sin 60 = 3 2 v0,设飞行时间为t0,则有位移关系tan = = 0-1 20 2 0 = 3 2 ,解 得 t0= 3 0 2 ,故小球落到 A 点时,竖直末速度 vy=vy-gt0=0,说明小球一定沿水平 方向击中 A 点,选项 C 正确;小球落点 A 与抛出点 O 的距离为 L= 0 cos = 3 0 2 4cos 02,即距离与初速度的平方成正比,故 OB 间的距离是 OA 间距离的 4
23、 倍,OA 间的距离等于 AB 间的距离的1 3,选项 D 错误。 考点三考点三 圆周运动问题圆周运动问题 考法考法1 圆周运动的动力学问题圆周运动的动力学问题(H) 解题策略 “三步法”解答圆周运动动力学临界问题 (1)判断临界状态:有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过 程存在着临界点;若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题 述的过程存在着“起止点”,而这些起止点往往就对应着临界状态;若题目中有“最 大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程存在着极值,这个极值点也往往 对应着临界状态。 (2)确定临界条件:判断题述的过程存在临界状态之后
24、,要通过分析弄清临界状态 出现的条件,并以数学形式表达出来。 (3)选择物理规律:当确定了物体运动的临界状态和临界条件后,要分别对不同的 运动过程或现象,选择相对应的物理规律,然后列方程求解。 【典例3】如图所示,餐桌中心是一个半径为r=1.5 m的 圆盘,圆盘可绕中心轴转动,近似认为圆盘与餐桌在同 一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置 在圆盘边缘的小物体与圆盘的动摩擦因数为1=0.6,与 餐桌的动摩擦因数为2=0.225,餐桌离地高度为h=0.8 m。设小物体与圆盘 以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g取10 m/s2。 (1)为使物体不滑到餐桌上,圆盘的角速度的
25、最大值为多少? (2)缓慢增大圆盘的角速度,物体从圆盘上甩出,为使物体不滑落到地面,餐 桌半径R的最小值为多少? (3)若餐桌半径R= r,圆盘角速度缓慢增大,则物体从圆盘上被甩出后滑 落到地面上的位置到从圆盘甩出点的水平距离L为多少? 2 答案 (1)2 rad/s (2)2.5 m (3)2.1 m 解析 (1)由题意可得,当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时,圆盘对小物体 的静摩擦力提供向心力,所以随着圆盘转速的增大,小物体受到的静摩擦力 增大。当静摩擦力最大时,小物体即将滑落,此时圆盘的角速度达到最大, 则有 fm=1FN=mr2 FN=mg 两式联立可得 = 1 =2 rad/s (2)
26、由题意可得,当物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零,对应的餐桌半径即 为最小值。设物体在餐桌上滑动的位移为 s,物块在餐桌上做匀减速运动的 加速度大小为 a,则 a= f=2mg 所以 a=2g=2.25 m/s2 物体在餐桌上滑动的初速度为 v0=r=3 m/s 由运动学公式 2 02=-2as 可得 s=2 m 则餐桌半径的最小值为: R= 2+ 2=2.5 m (3)当物体滑离餐桌时,开始做平抛运动,平抛的初速度为物体在餐桌上滑动 的末速度 vt,由题意可得 vt2-02=-2as 由于餐桌半径为 R= 2r, 所以 s=r=1.5 m 所以可得 vt=1.5 m/s 物体做平抛运动的时间为
27、 t,则 h=1 2gt 2,解得 t= 2 =0.4 s 所以物体做平抛运动的水平位移为 sx=vtt=0.6 m 所以由题意可得:L=s+sx=2.1 m 解题指导 审题 读取题干 获取信息 近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且 两者之间的间隙可忽略不计 物体从圆盘滑到餐桌时速度大小、方向 均不变 小物体与圆盘的动摩擦因数为1=0.6,与 餐桌的动摩擦因数为2=0.225,餐桌离地 高度为h=0.8 m。设小物体与圆盘以及餐 桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力 物体在圆盘上不滑动时的最大向心加 速度;物体在餐桌上做匀减速直线运动 的加速度;物体离开餐桌做平抛运动的 竖直位移为0.8 m 缓慢
28、增大圆盘的角速度,物体从圆盘上甩 出,为使物体不滑落到地面,餐桌半径R的 最小值为多少 餐桌半径最小时,物体滑到餐桌边缘的 速度恰为零;圆盘半径、餐桌半径和物 体在餐桌上的位移组成直角三角形 破题解答本题一要明确运动过程物体在圆盘上保持相对静止时做匀 速圆周运动,滑到桌面上后做匀减速直线运动,离开桌面后做平抛运动;二 要注意弄清临界条件物体在圆盘上发生相对运动的临界条件是静摩 擦力达到最大静摩擦力,物体不滑落到地面的临界条件是物体滑到餐桌边 缘时速度恰好为零。 【类题演练类题演练】 7.(多选)如图所示,轻杆长为3L,在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A 和球B,杆上距球A为L处的点O装在
29、光滑的水平转动轴上,外界给予系统一 定的能量后,杆和球在竖直面内转动。在转动的过程中,忽略空气的阻力。 若球B运动到最高点时,对杆恰好无作用力,则球B在最高点时,下列说法正 确的是( ) A.球B在最高点时速度为 B.此时球A的速度大小为 C.杆对球A的作用力为0.5mg D.杆对水平轴的作用力为1.5mg 2 2 答案 BD 解析 设球B在最高点时的速度为v0,有mg=m0 2 2 ,解得v0= 2,选项A错误; 因为 A、B 两球的角速度相等,根据 v=r 知,此时球 A 的速度为1 2v0= 1 2 2, 选项 B 正确;根据牛顿第二定律得,FA-mg= (0 2 ) 2 ,解得 FA=
30、1.5mg,则 A 对杆的 作用力为 1.5mg,水平轴对杆的作用力与 A 球对杆的作用力平衡,所以 F=1.5mg,选项 C 错误,D 正确。 8.(多选)如图所示,一质量为m的小球置于半径为R的光滑竖直圆轨道最低 点A处,B为轨道最高点,C、D为圆的水平直径两端点。轻质弹簧的一端固 定在圆心O点,另一端与小球连接,已知弹簧的劲度系数为k= ,原长为 L=2R,弹簧始终处于弹性限度内,若给小球一水平初速度v,已知重力加速度 为g,则( ) A.无论v多大,小球均不会离开圆轨道 D.只要小球能做完整的圆周运动,则小球与轨道间最大压力与最小压力之 差与v无关 B.若 2v 2,小球就能做完整的圆
31、周运动 答案 AD 解析 因弹簧的劲度系数为 k= ,原长为 L=2R,所以小球始终会受到弹簧的 弹力作用,大小为 F=k(2R-R)=kR=mg,方向始终背离圆心,无论小球在 CD 以 上的哪个位置速度为零,重力在沿半径方向上的分量都不大于弹簧的弹力 (在 CD 以下,轨道对小球一定有指向圆心的支持力),所以无论 v 多大,小球均 不会离开圆轨道,故 A 正确,B 错误;小球在运动过程中只有重力做功,弹簧的 弹力和轨道的支持力不做功,机械能守恒,当运动到最高点速度为零时,在最 低点的速度最小,有1 2mv 2=2mgR,所以只要 v 4,小球就能做完整的圆周 运动,故 C 错误; 在最低点时
32、,设小球受到的支持力为FN,有FN-kR-mg=m 2 ,解得FN=2mg+m 2 , 运动到最高点时受到轨道的支持力最小,设为 FN,设此时的速度为 v,由机械 能守恒有1 2mv 2=2mgR+1 2mv 2,此时合力提供向心力,有 FN-kR+mg=m 2 ,联立 解得FN=m 2 -4mg,得压力差为FN=6mg,与初速度无关,故D正确。 故选A、 D。 考法考法2 平抛运动与圆周运动的组合问题平抛运动与圆周运动的组合问题(L) 【典例4】右图为竖直放置的四分之一光滑圆弧轨道,O点是其圆心,半径 R=0.8 m,OA水平、OB竖直。轨道底端距水平地面的高度h=0.8 m。从轨 道顶端A
33、由静止释放一个质量m1=0.1 kg 的小球,小球到达轨道底端B时,恰 好与静止在B点的另一个小球发生碰撞,碰后它们粘在一起水平飞出,落地 点C与B点之间的水平距离x=0.4 m。忽略空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。 求: (1)碰撞前瞬间入射小球的速度大小v1; (2)两球从B点飞出时的速度大小v2; (3)碰后瞬间两小球对轨道压力的大小。 答案 (1)4 m/s (2)1 m/s (3)4.5 N 解析 (1)从A点运动的小球向下运动的过程中机械能守恒,得mgR= 代入数据得v1=4 m/s。 (2)两球做平抛运动,根据平抛运动规律得 竖直方向上有h= gt2 代入数据解得t=0.
34、4 s 水平方向上有x=v2t 代入数据解得v2=1 m/s。 1 2 12 1 2 (3)两球碰撞,规定向左为正方向,根据动量守恒定律得mv1=(m+m)v2 解得m=3m=30.1 kg=0.3 kg 碰撞后两个小球受到的合力提供向心力,则FN-(m+m)g=(m+m) 代入数据得FN=4.5 N 由牛顿第三定律可知,两小球对轨道的压力也是4.5 N,方向竖直向下。 22 思维点拨 利用机械能守恒定律或动能定理,求出物体在最低点的速度,两 球做平抛运动,根据平抛运动规律求出速度,两球碰撞过程动量守恒,再进 行受力分析,利用牛顿运动定律把受力和运动联系起来。 【类题演练类题演练】 9.(多选
35、)一位同学玩飞镖游戏,已知飞镖距圆盘为L,对准圆盘上边缘的A点 水平抛出,初速度为v0,飞镖抛出的同时,圆盘以垂直圆盘且过盘心O点的水 平轴匀速转动。若飞镖恰好击中A点,下列说法正确的是( ) A.从飞镖抛出到恰好击中A点,A点一定转动到最低点位置 B.从飞镖抛出到恰好击中 A 点的时间为 0 C.圆盘的半径为 2 402 D.圆盘转动的角速度为20 (k=1,2,3,) 答案 ABC 解析 从飞镖抛出到恰好击中 A 点,A 点转到了最低点位置,选项 A 正确;飞镖 水平抛出,在水平方向做匀速直线运动,因此 t= 0,选项 B 正确;飞镖击中 A 点 时,A 恰好在最下方,有 2r=1 2gt
36、 2,解得 r= 2 402,选项 C 正确;飞镖击中 A 点,则 A 点转过的角度满足 =t=+2k(k=0,1,2,),故=(2+1)0 (k=0,1,2,),选项 D 错误。故选 A、B、C。 10.(2020河南郑州高中毕业年级质量预测)如图所示,b球在水平面内做半 径为R的匀速圆周运动,BC为圆周运动的直径,竖直平台与b球运动轨迹相 切于B点且高度为R。当b球运动到切点B时,将a球从切点正上方的A点水 平抛出,重力加速度大小为g,从a球水平抛出开始计时,为使b球在运动一周 的时间内与a球相遇(a球与水平面接触后不反弹),则下列说法正确的是 ( ) A.a球在C点与b球相遇时,a球的运
37、动时间最短 B.a球在C点与b球相遇时,a球的初始速度最小 C.若 a 球在 C 点与 b 球相遇,则 a 球抛出时的速率为 2 D.若 a 球在 C 点与 b 球相遇,则 b 球做匀速圆周运动的周期为 2 答案 C 解析 平抛运动时间只取决于竖直高度,高度 R 不变,时间均为 t= 2 ,选项 A 错误;平抛运动的初速度为 v= ,时间相等,在 C 点相遇时,水平位移最 大,xmax=2R,则初始速度最大为 vmax=2 = 2,选项 B 错误,C 正确;在 C 点 相遇时,b 球运动半个周期,故 b 球做匀速圆周运动的周期为 Tb=2t=2 2 ,选 项 D 错误。 素养提升素养提升 微课
38、堂微课堂 非线性关系问题处理方法非线性关系问题处理方法 【主题概述主题概述】 如果两个物理量不是一次函数关系,其图像不是直线,它们就是非线性关系, 比如加速度与质量的关系等。非线性关系问题是每年全国各地高考物理 试题中的热点。 解题方法 非线性关系问题处理方法大致可分为化曲为直法、数形结合法、数学解 析法等几种类型: 1.化曲为直法:两个物理量间的关系有很多都不是一次函数关系,对应的图 像也不是直线,不容易对图像进行分析,如果进行适当的数学变换,并确定 新的坐标,使得“物理量”间呈现简单的线性关系,即为“化曲为直”的处理方 法。在物理实验中,为了减小误差,总是要多次测量求平均值,而更为有效 的
39、方法是“化曲为直”用图像处理数据,这在高考试题中屡见不鲜。 2.数形结合法:此方法是定性地画出所要求的物理量与相关量的函数图像, 按曲线所体现的物理意义来解释具体的物理问题。曲线的物理意义主要 包括曲线纵坐标随横坐标变化的物理意义,坐标值正负的物理意义,曲线与 横轴、纵轴交点的物理意义,曲线上任意一点切线斜率的物理意义,曲线与 横轴所围面积的物理意义等方面。 3.数学解析法:待求的物理量与其他相关物理量是非线性关系,这类问题相 对复杂,要找对相关的自变量,根据相对应的物理规律,建构自变量与待求 物理量的函数关系,依据函数关系进一步求解。 【典例分析典例分析】 【典例1】(多选) 如图所示,平直
40、木板AB倾斜放置,板上的P点距A端较近,小物块与木板间的 动摩擦因数由A到B逐渐减小,先让物块从A由静止开始滑到B。然后,将A着 地,抬高B,使木板的倾角与前一过程相同,再让物块从B由静止开始滑到A。 上述两过程相比较,下列说法中一定正确的有( ) A.物块经过P点的动能,前一过程较小 B.物块从顶端滑到P点的过程中因摩擦产生的热量, 前一过程较少 C.物块滑到底端的速度,前一过程较大 D.物块从顶端滑到底端的时间,前一过程较长 答案 AD 解析 分析整个过程,两种情况的摩擦力做功相等,根 据动能定理可知,滑到底端的速度大小相等,C错误; 画出摩擦力与位移关系图如图,两个过程相比较,小 物块滑
41、到P点过程中,前一过程的摩擦力大,前一过 程的合力小,位移也小,因此合力做功是前一过程小,根据动能定理,可知动能也小,A 正确;根据摩擦力与位移关系图,线下的面积代表摩擦力做功产生的热量,由图可知, 由于P位置不确定,所以物块从顶端滑到P点的过程中因摩擦产生的热量,前一过程 不一定少,B错误;由于速度与时间是非线性关系,定量计算无法展开,可以比较两个 过程v-t图像得出结论。我们很容易分析出前一过程的加速度是逐渐增大,而后一过 程的加速度是逐渐减小的,根据两个过程的加速度的变化特征以及小物块滑到底端 的位移与速度的大小相等作出如图图像就可以比较出前一过程时间较长,D正确。 思维点拨 本题要借助
42、摩擦力与位移关系图像和v-t图像进行分析。 方法总结 在研究动力学中的非线性关系问题时,要有用数形结合思想解 决问题的意识,分析两个物理量的变化关系,建立合适的坐标系。 【典例2】 某同学利用如图所示的实验装置验证机械能守 恒定律。弧形轨道末端水平,离地面的高度为H。 将钢球从轨道的不同高度h处静止释放,钢球的 落点距轨道末端的水平距离为x。 (1)若轨道完全光滑,x2与h的理论关系应满足 x2= (用H、h表示)。 (2)该同学经实验测量得到一组数据,如下表所示: h/10-1m 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 x2/10-1m2 2.62 3.89 5.20 6.53 7
43、.78 请在坐标纸上作出x2-h关系图。 (3)对比实验结果与理论计算得到的x2-h关系图线(图中已画出),自同一高度静止 释放的钢球,水平抛出的速率 (选填“小于”或“大于”)理论值。 (4)从x2-h关系图线中分析得出钢球水平抛出的速率差十分显著,你认为造成上述 偏差的可能原因是 。 答案 (1)4Hh (2)见解析 (3)小于 (4)见解析 解析 (1)根据机械能守恒,可得离开轨道时速度为 2,由平抛运动知识可 求得时间为 2 ,可得 x=vt= 4,即 x2=4Hh (2)依次描点,连线,注意不要画成折线。 (3)从图中看,同一h对应的x2值,理论值明显大于实际值,而在同一高度下的 平
44、抛运动水平射程由水平速率决定,可见实际水平速率小于理论速率。 (4)客观上,轨道与钢球间存在摩擦,钢球受到空气阻力,机械能减小,因此会 导致实际值比理论值小。 方法总结 物理量间的非线性关系的研究,如果需要定量计算,可借助图像 来解决。如果两物理量的图像关系是曲线,通过曲线去研究有时无法展开, 这时需要通过变换坐标轴的物理意义,把曲线转化为直线,这样就容易研究 两者之间的定量关系。 在坐标轴变换中,横轴或纵轴与原来的物理量有一定的关系,比如:在“探究 加速度与力、质量的关系”实验中,a-M的关系图像是曲线,但a- 的关系图 像是直线;在匀变速直线运动中研究速度与位移的关系时,画速度的二次方 与
45、位移关系图像等。 1 【类题演练类题演练】 (数学分析法)(2019北京卷)雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒,这与雨 滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变,重 力加速度为g。 (1)质量为m的雨滴由静止开始,下落高度h时速度为v,求这一过程中克服空 气阻力所做的功W。 (2)将雨滴看作半径为r的球体,设其竖直落向地面 的过程中所受空气阻力f=kr2v2,其中v是雨滴的速 度,k是比例系数。 a.设雨滴的密度为,推导雨滴下落趋近的最大速度 vm与半径r的关系式; b.示意图中画出了半径为r1、r2(r1r2)的雨滴在空气中无初速下落的v-t图线,其 中 对应半径为r1的
46、雨滴(选填“”或“”);若不计空气阻力,请在图中画 出雨滴无初速下落的v-t图线。 (3)由于大量气体分子在各方向运动的几率相等,其对静止雨滴的作用力为零。 将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘,证明:圆盘以速度v下落时受到的 空气阻力fv2(提示:设单位体积内空气分子数为n,空气分子质量为m0)。 答案 (1)mgh-1 2mv 2 (2)a.vm= 4 3 b. 见解析 (3)见解析 解析 (1)根据动能定理 mgh-W=1 2mv 2 可得 W=mgh-1 2mv 2 (2)a.根据牛顿第二定律 mg-f=ma 得 a=g- 22 当加速度为零时,雨滴趋近于最大速度 vm 雨滴质量 m=4 3r 3 由 a=0,可得,雨滴最大速度 vm= 4 3 b.r1r2,故对应半径为 r1的雨滴。图线如答图 2 答图2 (3)根据题设条件:大量气体分子在各方向运动的几率相等,其对静止雨滴 的作用力为零。以下只考虑雨滴下落的定向运动。 简化的圆盘模型如答图3。设空气分子与圆盘碰撞前后相对速度大小不变。 在t时间内,与圆盘碰撞的空气分子质量为m=Svtnm0 以F表示圆盘对气体分子的作用力,根据动量定理, 有Ftmv 得Fnm0Sv2 由牛顿第三定律,可知圆盘所受空气阻力fv2, 采用不同的碰撞模型,也可得到相同结论。 答图3
