江苏省扬州市2021届高三上学期期中调研数学试卷 Word版含解析.docx

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1、1 江苏省扬州市 2021 届高三上学期期中检测 数学试题 202011 一、单项选择题(本大题共 8 小题, 每小题 5 分,共计 40 分在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1已知复数 z 满足(1i)z2,i 为虚数单位,则 z 等于 A1i B1i C 11 i 22 D 11 i 22 2已知集合 A(1)(2)0 x xx,B 2xx ,则 AB A1,0 B0,1 C(0,2 D0,2 3已知 a 1.1 log0.9,b 1.1 0.9,c 0.9 1.1,则 a,b,c 的大小关系为 Aabc Bacb Cbac Dbca

2、4已知函数 5, 6 ( ) (2) 1, 6 xx f x f xx ,则(5)f的值为 A2 B3 C4 D5 5函数( )cos() ln(ee ) 2 xx f xx 的图象大致为 6在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c根据下列条件解三角形,其中有 两个解的是 Aa8,b10,A45 Ba60,b81,B60 Ca7,b5,A80 Da14,b20,A45 7我国古代数学家刘徽在九章算术注中提出了割圆术: “割之弥 细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失 矣” 这可视为中国古代极限思想的佳作割圆术可以视为将一个 圆内接正 n 边形等分成 n 个等

3、腰三角形(如图所示) ,当 n 变得很大 时,等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积运用割圆术的思想, 可得到 sin2的近似值为(取近似值 3.14) 2 A0.035 B0.026 C0.018 D0.033 8已知一个球的半径为 3,则该球内接正六棱锥的体积的最大值为 A10 3 B 27 3 2 C16 3 D 35 3 2 二、 多项选择题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中, 至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 9下列命题中正确的是 A命题“xR,sinx1”的否定是“xR,sinx1” B “al”是“ 1

4、1 a ”的充分不必要条件 C在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a2b2c2,则ABC 为锐 角三角形 D在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 sin2Asin2B,则 AB 10若函数( )sin2f xx的图象向右平移 6 个单位得到的图象对应的函数为( )g x,则下 列说法中正确的是 A( )g x的图象关于 5 12 x 对称 B当 x0, 2 时,( )g x的值域为 3 2 , 3 2 C( )g x在区间( 5 12 ,11 12 )上单调递减 D当 x0,时,方程( )g x0 有 3 个根 11已知函数( )f x的定义域

5、为 R,(1)f x为奇函数,且(2)(2)fxfx,则 A(1)0f B( )(4)f xf x C(1)(1)f xfx D( )yf x在区间0,50上至少有 25 个零点 12已知正数 x,y,z 满足346 xyz ,则下列说法中正确的是 A 111 2xyz B346xyz 3 C 3 (2) 2 xyz D 2 2xyz 三、填空题(本大题共 4 小题, 每小题 5 分,共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上) 13已知幂函数( )yf x的图象过点(2, 1 4 ),则曲线( )yf x在点(1,1)处的切线方程为 14在ABC 中,BAC 3 ,AB2,AC3,BD2

6、DC,则AD BC 15黄金比例,用希腊字母表示,借用古希腊数学家欧几里德的话:当整条线段的长度 与线段中较长段的比例等于较长段与较短段的比例时,就是根据黄金比例来分割一线 段从下图我们可以更直观地感受黄金比例: 用 A,B 分别表示较长段与较短段的线段长度,于是将欧几里德的描述用代数方法表示 出来: AAB BA ,从而可以解出的值类似地,可以定义其他金属比例假 设把线段分成 n1 段,其中有 n 段长度相等,记这 n 段的每一段长为 A,而剩下的一 段长为 B(长度较短的) 如果 A 与 B 之比等于整条线段的长与 A 之比,我们用 n 来 表示这个比例, 即 A B n 对于 n(nN)

7、的每个值对应一个 n , 则称 n 为金属比例 当 n1 时,即为黄金比例,此时 51 2 ;当 n2 时,即为白银比例,我们用希腊 字母表示该比例,则 16 已知函数 2 4 , ( ) 4, xx xa f x x xa , 其中 a0, 若函数( )( )3g xf xx有两个零点, 则实数 a 的取值范围是 四、解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤) 17 (本小题满分 10 分) 在a2,S 2 c cosB,C 3 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并 对其进行求解 问题: 在ABC 中,内角 A, B,

8、 C 的对边分别为 a, b,c,面积为 S,3bcosAacosC 4 ccosA,b1, ,求 c 的值 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 18 (本小题满分 12 分) 已知函数 2 3 ( )3cossin()sin() 362 f xxxx (1)求( )f x的最小正周期及对称中心; (2)若 1 ( ) 6 f,且( 12 , 3 ),求 cos2的值 19 (本小题满分 12 分) 已知函数( ) x kx f xaa (a0 且 a1)是定义在 R 上的奇函数 (1)求实数 k 的值; (2)若(1)0f,且不等式 2 (34)( 21)0ftxfx对任意 t1

9、,1成立,求 实数 x 的取值范围 20 (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,四边形 ABB1A1和 AA1CC1均为菱形,平面 ABB1A1 平面 AA1C1C,A1AC 3 ,A1AB 4 ,E 为棱 AA1上一点,BEAA1 (1)求证:BEA1C1; (2)设 AB2,求二面角 BCC1A 的余弦值 5 21 (本小题满分 12 分) 某校从高二年级随机抽取了 20 名学生的数学总评成绩和物理总评成绩,记第 i 位学生 的成绩为( i x, i y)(i1,2,3,20),其中 i x, i y分别为第 i 位学生的数学总评成绩和 物理总评成绩抽取的数据列表

10、如下(按数学成绩降序整理) : (1)根据统计学知识,当相关系数0.8r 时,可视为两个变量之间高度相关根据 抽取的数据,能否说明数学总评成绩与物理总评成绩高度相关?请通过计算加以说明 参考数据: 20 1 ()()485 ii i xxyy , 20 2 1 ()678 i i xx , 20 2 1 ()476 i i yy 参考公式:相关系数 r 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy xxyy (2)规定:总评成绩大于等于 85 分者为优秀,小于 85 分者为不优秀,对优秀赋分 1, 对不优秀赋分 0,从这 20 名学生中随机抽取 2 名学生,若用

11、 X 表示这 2 名学生两科赋分的 6 和,求 X 的分布列和数学期望 22 (本小题满分 12 分) 已知函数( )e2 x f xmx,( )esincos1 x g xxxx (1)当 x 2 时,若不等式( )f x0 恒成立,求正整数 m 的值; (2)当 x0 时,判断函数( )g x的零点个数,并证明你的结论 参考数据: 2 e 4.8 江苏省扬州市 2021 届高三上学期期中检测 数学试题 202011 一、单项选择题(本大题共 8 小题, 每小题 5 分,共计 40 分在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1已知复数 z 满足

12、(1i)z2,i 为虚数单位,则 z 等于 A1i B1i C 11 i 22 D 11 i 22 答案:B 解析: 2 1 i 1 i z 2已知集合 A(1)(2)0 x xx,B 2xx ,则 AB A1,0 B0,1 C(0,2 D0,2 答案:D 解析:集合 A (1)(2)012x xxxx ,B 204xxxx, 所以 AB0,2 3已知 a 1.1 log0.9,b 1.1 0.9,c 0.9 1.1,则 a,b,c 的大小关系为 7 Aabc Bacb Cbac Dbca 答案:A 解析:a 1.11.1 log0.9log 10,b 1.1 0.9(0,1),c 0.9 1

13、.11, 所以 abc 4已知函数 5, 6 ( ) (2) 1, 6 xx f x f xx ,则(5)f的值为 A2 B3 C4 D5 答案:B 解析:(5)(7) 175 13ff 5函数( )cos() ln(ee ) 2 xx f xx 的图象大致为 答案:C 解析:首先原函数是奇函数排除 D,其次()0 2 f ,排除 A,最后 5 ()0 2 f ,排除 B, 选 C 6在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c根据下列条件解三角形,其中有 两个解的是 Aa8,b10,A45 Ba60,b81,B60 Ca7,b5,A80 Da14,b20,A45 答案:A 解析:

14、因为10sin458 10 ,故选项 A 的三角形有两解,选 A 7我国古代数学家刘徽在九章算术注中提出了割圆术: “割之弥细,所失弥少,割之又 割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣” 这可视为中国古代极限思想的佳作割 圆术可以视为将一个圆内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角形 (如图所示) , 当 n 变得很大 时,等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积运用割圆术的思想,可得到 sin2的近 似值为(取近似值 3.14) 8 A0.035 B0.026 C0.018 D0.033 答案:A 解析: 2 2 12 sin2 2360 r r ,sin20.035 90 ,选 A 8已知一个

15、球的半径为 3,则该球内接正六棱锥的体积的最大值为 A10 3 B 27 3 2 C16 3 D 35 3 2 答案:C 解析:设六棱锥为 PABCDEF,球心为 O,底面中心为 Q,则OAQ, 22 1327 3 69cos(33sin )cos(1 sin ) 342 V , 设sint (0,1),令 2 ( )(1)(1)f ttt,( )(1)(31)f ttt , t 1 3 时, max 32 ( ) 27 f t,所以 Vmax16 3 二、 多项选择题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中, 至少有两个是符合题目要求的,请把答案添

16、涂在答题卡相应位置上) 9下列命题中正确的是 A命题“xR,sinx1”的否定是“xR,sinx1” B “al”是“ 1 1 a ”的充分不必要条件 C在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a2b2c2,则ABC 为锐 角三角形 D在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 sin2Asin2B,则 AB 答案:AB 解析:选项 C 只能说明是C 是锐角,故 C 错误,选项 D 还有可能 AB 4 ,故选 AB 10若函数( )sin2f xx的图象向右平移 6 个单位得到的图象对应的函数为( )g x,则下 9 列说法中正确的是 A( )g x的图

17、象关于 5 12 x 对称 B当 x0, 2 时,( )g x的值域为 3 2 , 3 2 C( )g x在区间( 5 12 ,11 12 )上单调递减 D当 x0,时,方程( )g x0 有 3 个根 答案:AC 解析:首先( )sin(2) 3 g xx ,当 5 12 x 时,2 32 x ,故 A 正确;当 x0, 2 时,( )g x的值域为 3 2 ,1,故 B 错误;当 x( 5 12 ,11 12 )时,2 3 x ( 2 , 3 2 ),故 C 正确;当 x0,时,方程( )g x0 有 3 个根,故 D 错误故选 AC 11已知函数( )f x的定义域为 R,(1)f x为

18、奇函数,且(2)(2)fxfx,则 A(1)0f B( )(4)f xf x C(1)(1)f xfx D( )yf x在区间0,50上至少有 25 个零点 答案:ABD 解析:因为(1)f x为奇函数,所以( )f x关于点(1,0)对称,且(1)0f, 又因为(2)(2)fxfx,所以( )f x关于直线 x2 对称,故( )f x的周期是 4, 且(1)(3)(5)(49)0ffff, 即( )f x在区间0, 50上至少有 25 个零点 12已知正数 x,y,z 满足346 xyz ,则下列说法中正确的是 A 111 2xyz B346xyz C 3 (2) 2 xyz D 2 2xy

19、z 答案:ACD 10 解析:令346 xyz t,t1, 3 logxt, 4 logyt, 6 logzt, 6 1111 log 3log 2log 6 2log ttt xytz ,故 A 正确; 1 3 1 log 3 3 t x , 1 4 1 log 4 4 t y , 1 6 1 log 6 6 t z ,由 111 364 346,则 1 3x 1 4y 1 6z , 所以346xyz,故 B 错; 因为 1113 ()()12 2222 xy xy xyyx , 所以 3 (2) 2 xyz, C 正确; 因为 2 11 ()12 24 yx xy xyxy ,故 D 正确

20、综上,选 ACD 三、填空题(本大题共 4 小题, 每小题 5 分,共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上) 13已知幂函数( )yf x的图象过点(2, 1 4 ),则曲线( )yf x在点(1,1)处的切线方程为 答案:23yx 解析:幂函数( )yf x的图象过点(2, 1 4 ),得 2 ( )f xx,所以 k(1)2 f , 故切线方程为:23yx 14在ABC 中,BAC 3 ,AB2,AC3,BD2DC,则AD BC 答案:11 3 解析: 2212211 AD BC( ABAC) (ACAB)ACABAB AC 33333 22 21111 323 2 cos60 3

21、333 15黄金比例,用希腊字母表示,借用古希腊数学家欧几里德的话:当整条线段的长度 与线段中较长段的比例等于较长段与较短段的比例时,就是根据黄金比例来分割一线 段从下图我们可以更直观地感受黄金比例: 11 用 A,B 分别表示较长段与较短段的线段长度,于是将欧几里德的描述用代数方法表示 出来: AAB BA ,从而可以解出的值类似地,可以定义其他金属比例假 设把线段分成 n1 段,其中有 n 段长度相等,记这 n 段的每一段长为 A,而剩下的一 段长为 B(长度较短的) 如果 A 与 B 之比等于整条线段的长与 A 之比,我们用 n 来 表示这个比例, 即 A B n 对于 n(nN)的每个

22、值对应一个 n , 则称 n 为金属比例 当 n1 时,即为黄金比例,此时 51 2 ;当 n2 时,即为白银比例,我们用希腊 字母表示该比例,则 答案:21 解析:由题意知 A2AB BA ,解得2 1 16 已知函数 2 4 , ( ) 4, xx xa f x x xa , 其中 a0, 若函数( )( )3g xf xx有两个零点, 则实数 a 的取值范围是 答案:0a1 或 a7 解析: 数形结合, 在同一直角坐标系中同时画出 2 4yxx,4yx,3yx的图像, 不难求得 a 的取值范围是 0a1 或 a7 四、解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答

23、时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤) 17 (本小题满分 10 分) 在a2,S 2 c cosB,C 3 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并 对其进行求解 问题: 在ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b,c,面积为 S,3bcosAacosC ccosA,b1, ,求 c 的值 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 解:在ABC 中,因为, 所以根据正弦定理得, 所以,因为,所以 12 选择,由余弦定理得,解得, 选择,所以 所以,即,解得 选择,因为, 所以由得 18 (本小题满分 12 分) 已知函数 2 3 ( )3cossin()sin()

24、362 f xxxx (1)求( )f x的最小正周期及对称中心; (2)若 1 ( ) 6 f,且( 12 , 3 ),求 cos2的值 解: (1) 所以的最小正周期, 由,得, 所以的对称中心为, (2)由得,因为,所以, 所以, 所以 19 (本小题满分 12 分) 已知函数( ) x kx f xaa (a0 且 a1)是定义在 R 上的奇函数 (1)求实数 k 的值; (2)若(1)0f,且不等式 2 (34)( 21)0ftxfx对任意 t1,1成立,求 实数 x 的取值范围 13 解: (1)方法 1:因为是 R 上的奇函数,所以,解得, 下面检验,此时,故,所以为奇函数 方法

25、 2:因为为奇函数,所以,即, 即,所以,解得 (2)由得,解得, 所以是 R 上的减函数, 因为为奇函数,所以由得 , 因为是 R 上的减函数,所以对任意成立 令,则对任意成立, 等价于, 解得,所以 x 的取值范围是 20 (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,四边形 ABB1A1和 AA1CC1均为菱形,平面 ABB1A1 平面 AA1C1C,A1AC 3 ,A1AB 4 ,E 为棱 AA1上一点,BEAA1 (1)求证:BEA1C1; (2)设 AB2,求二面角 BCC1A 的余弦值 解: (1)因为平面 ABB1A1平面 AA1C1C,BEAA1, BE平面

26、 ABB1A1,平面 ABB1A1平面 AA1C1CAA1, 所以 BE平面 AA1C1C, 又因为 C1A1平面 AA1C1C,所以 BEA1C1; (2)作 EFCC1于 F,因为 BECC1,BEEFE,BE平面 BEF, 14 EF平面 BEF,所以 CC1平面 BEF,因为 BF平面 BEF,所以 BFCC1, 所以BFE 即为二面角 BCC1A 的平面角, 在菱形 ABB1A1中,由 AB2,BAA1 4 ,可求得 BE2, 在菱形 AA1C1C 中,由 AB2,A1AC 3 ,可求得 EF3, 所以在 RtBEF 中,EF3,BF5,故可求得 cosBFE, 所以二面角 BCC1

27、A 的余弦值为 21 (本小题满分 12 分) 某校从高二年级随机抽取了 20 名学生的数学总评成绩和物理总评成绩,记第 i 位学生 的成绩为( i x, i y)(i1,2,3,20),其中 i x, i y分别为第 i 位学生的数学总评成绩和 物理总评成绩抽取的数据列表如下(按数学成绩降序整理) : (1)根据统计学知识,当相关系数0.8r 时,可视为两个变量之间高度相关根据 抽取的数据,能否说明数学总评成绩与物理总评成绩高度相关?请通过计算加以说明 参考数据: 20 1 ()()485 ii i xxyy , 20 2 1 ()678 i i xx , 20 2 1 ()476 i i

28、yy 参考公式:相关系数 r 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy xxyy (2)规定:总评成绩大于等于 85 分者为优秀,小于 85 分者为不优秀,对优秀赋分 1, 对不优秀赋分 0,从这 20 名学生中随机抽取 2 名学生,若用 X 表示这 2 名学生两科赋分的 和,求 X 的分布列和数学期望 解: (1) 15 所以“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关, (2)由题意得:X 的可能取值为 0,1,2,3,4 根据赋分规则可知,7 个人赋分为 2,4 个人赋分为 1,9 个人赋分为 0 所以, , 所以 X 的分布列为: 所以 22

29、(本小题满分 12 分) 已知函数( )e2 x f xmx,( )esincos1 x g xxxx (1)当 x 2 时,若不等式( )f x0 恒成立,求正整数 m 的值; (2)当 x0 时,判断函数( )g x的零点个数,并证明你的结论 参考数据: 2 e 4.8 解: (1)分离参数得,当时,不等式恒成立, 令,则, 所以在上递增,所以, 因为,所以正整数 m 的值为 1, (2)当 x0 时,函数( )g x有 2 个零点 证明如下:显然,所以 0 是( )g x的一个零点, 当时,所以( )g x无零点; 当时,令, 则,所以在上递增 又,所以存在唯一使得 16 所以当时,故( )g x递减;当时,故( )g x 递增; 因为,所以,又, 所以存在唯一使得 综上得:当 x0 时,函数( )g x有 2 个零点

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