2021届高三入学调研试卷 数学（一）.pdf

1、1 （新高考）2021 届高三入学调研试卷 数 学（一）数 学（一） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题 卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡 上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第卷第卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40

2、分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1已知集合 2,0,2,3A ，集合 | 20Bxx ，则AB （） A2,3B 2C( 2,0)D 2,0 【答案】D 【解析】 2,0,2,3A ， | 20Bxx ， 2,0AB 2设复数 1 i 1 i z ，则|z （） A0B 2 C 2 2 D1 【答案】C 【解析】 2 11 i1 i1 i1i iiii 1 i(1 i)(1 i)1 i222 z ， 22 112 |()( ) 222 z 3将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方

3、案（） A81种B256种 C24种D36种 【答案】D 【解析】第一步，将4名老师分成三组，其中一组2人，其他两组每组1人，不同的分法种数是 2 4 C6种， 第二步，分到三个班的不同分法有 3 3 A6种， 2 故不同的分配方案为6636种 4一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从中抽出一个容量为28的样本，那么应抽出 男运动员的人数为（） A10B12 C14D16 【答案】D 【解析】设抽取的男运动员的人数为x，则抽取的女运动员的人数为28x， 28 5642 xx ，解得16x 5阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一

4、事件引起了数学界 的震动在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为论小于某值的素数个数的论文并提出了一个命题， 也就是著名的黎曼猜想在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字 x的素数个数大约可以 表示为 ( ) ln x x x 的结论若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为（） （素数即质数， lg0.43429e ，计算结果取整数） A1089B1086 C434D145 5 【答案】B 【解析】由题可知小于数字x的素数个数大约可以表示为( ) ln x x x ， 则10000以内的素数的个数为 100001000010000lg (10000)25

5、00lg0.43429 25001086 ln100004ln104 e e 6将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线AB与CD所成的角为（） A90B60 C45D30 【答案】B 【解析】如图，取AC，BD，AD的中点，分别为O，M，N，连结OM，ON，MN， 则 1 2 ONCD平行且等于， 1 2 MNAB平行且等于，所以ONM或其补角即为所求的角 因为平面ABC 平面ACD，BOAC，所以BO 平面ACD，所以BOOD， 设正方形边长为2， 2OBOD ，所以2BD ，则 1 1 2 OMBD， 所以1ONMNOM，所以OMN是等边三角形，60ONM

6、 3 所以直线AB与CD所成的角为60 7已知单位向量 1 e， 2 e分別与平面直角坐标系x，y轴的正方向同向，且向量 12 3ACee uuu r =-， 12 26BDee uuu r =+， 则平面四边形ABCD的面积为（） A 10 B2 10C10D20 【答案】C 【解析】 1212 (3) (26)660AC BDeeee uuu r uuu r =-+= - =，AC BD uuu ruuu r ， 又 22 |3( 1)10AC =+ -= uuu r ， 22 |262 10BD =+= uuu r ， 平面四边形ABCD的面积 11 | |102 1010 22 ACB

7、D= uuu ruuu r 8已知定义在R上的函数( )f x满足(2)( )0fxf x，当1x 时，( )2f xx，则不等式( )0f x 的解 集为（） A(1,2)B(,0)C(0,2)D(,0)(1,2) 【答案】D 【解析】由已知 (2)( )0fxf x ，即 (1)(1)0fxfx ， ( )f x关于(1,0)中心对称， 又当1x 时， ( )2f xx ，作出函数 ( )f x的图象如图所示， 由图可知 ( )0f x 的解集为( ,0)(1,2) 4 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分 在每小题给出的选

8、项中，有多项符合题目要求 全 部选对的得 分 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全 部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9已知直线 1 l的方程为2(5)8xm y，直线 2 l的方程为(3)45m xy，若 12 ll，则m （） A1B 1C7D3 【答案】AC 【解析】因为 12 ll，故2 4(5)(3)mm，整理得到 2 870mm ，解得1m 或7m 10已知函数 ( )sin()f xAx （ 0A ， 0 ， 0 | 2 ）的部分图象如 图所示，则下列说法正确的是（） A2B 3 C () 12 f x是奇函数D

9、 () 12 f x是偶函数 【答案】ABD 【解析】由图可得 ( )sin(2) 3 f xx，所以 A、B 正确； 11已知, x yR，且5 757 xyyx- + ，则（） A 11 ( ) 3 ( ) 3 xy B 22 xyC33 xy D 11 22 loglogxy 【答案】AC 【解析】函数57 xx y - =-为增函数，5 757 xyyx- + ，即5 757 xxyy- - ，可得x y ， A、C 正确 12已知函数 2 ( )1f xx，( )lng xx，下列说法中不正确的是（） A( )f x，( )g x在点(1,0)处有相同的切线B对于任意0 x ，( )

10、( )f xg x恒成立 C( )f x，( )g x的图象有且只有一个交点D( )f x，( )g x的图象有且只有两个交点 【答案】ABC 【解析】因为( )2fxx ，(1)2 f ， 1 ( )g x x ，(1)1 g ， 所以( )f x，( )g x在点(1,0)处的切线不同，选项 A 不正确； 5 ( )( )( )( )0f xg xf xg x， 2 22 2()() 121 22 ( )( )2 xx x f xg xx xxx ， 因为 2 (0,) 2 x， ( ) ( )0f xg x ； 2 (,) 2 x， ( ) ( )0f xg x ； 2 2 x ， (

11、) ( )0f xg x ， 所以 2 2 x 时， ( )( )f xg x有最小值 1 (ln2 1)0 2 ，所以当0 x 时，( )( )f xg x不恒成立，选项 B 不正确； 由上可知，函数( )( )f xg x在(0,)上有且只有两个零点，所以( )f x，( )g x的图象有且只有两个交点 第卷第卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13椭圆 22 :1 916 xy C的两个焦点分别为 1 F， 2 F，过 1 F的直线l交C于A，B两点，若 22 10AFBF，则 AB的值为 【答案】6 【解析】由题意可

12、得 2211 10416AFBFAFBFABa，解得6AB ， 故答案为6 14已知等比数列 n a的首项为1，且 6431 2()aaaa，则 1237 a a aa 【答案】128 【解析】设等比数列 n a的公比为q，则 3 64 31 2 aa q aa ，所以 3 41 2aa q， 77 12374 2128aa aaa 15已知二项式 1 (2)nx x 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则n ， 3 x的系数 为 【答案】6，240 6 【解析】二项展开式的第1r 项的通项公式为 1 1 C (2 )() rn rr rn Tx x ， 由展开式中第2项与第3项

13、的二项式系数之比是2:5，可得 12 C :C2:5 nn ，解得6n ， 所以 3 6 6 2 16 1 C (2 )()C 2( 1) r rn rrrrr rn Txx x ， 令 3 63 2 r，解得2r ， 所以 3 x的系数为 26 22 6 C 2( 1)240 16如图，在棱长为2的正方体 1111 ABCDABC D-中，E、F分别为棱 11 AD、 11 C D的中点，N是线段 1 BC上 的点，且 1 1 4 BNBC=，若P、M分别为线段 1 D B、EF上的动点，则|PMPN的最小值为_ 【答案】 6 【解析】首先PM的最小值就是P到EF的距离 连接 11 B D交

14、EF于G，连接PG，则EF 平面 11 B D DB，故EFPG， 从而PM的最小值PG，可知G为EF的中点， 1 DG为 11 D B的四分之一 其次，连接BD，在线段BD上取点H，使BHBN=，连接PH，则PHBPNB， 从而PNPH=， 最后，连接GH交 1 BD于K，则当P为K时，PMPN+取得最小值，所求最小值为GH， 正方体 1111 ABCDABC D-的棱长为2， 6GH 7 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 个大题，共个大题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）在三角形ABC中，角A，B，C的

15、对边分别为a，b，c，且 222 4 2 3 bcabc+-= （1）求sin A的值； （2）若ABC的面积为 2，且2sin3sinBC= ，求三角形ABC的周长 【答案】（1） 1 sin 3 A=；（2）2 3 26+ 【解析】（1） 222 2cosbcabcA+-=， 4 2 2cos 3 bcAbc= ， 2 2 cos 3 A= ， 在ABC中， 2 1 sin1cos 3 AA=-= （2）ABC的面积为 2，即 11 sin2 26 bcAbc=， 6 2bc= ， 又 2sin3sinBC= ，由正弦定理得 23bc= ， 3 2b= ，2c =， 则 222 2cos6

16、abcbcA=+-= ， 6a = ， ABC的周长为2 3 26+ 18（12 分） 已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 公差为0d ， 且 23 40a a =， 14 13aa+=， 公比为(01)qq 的等比数列 n b中， 1 b， 2 b， 3 1111 1 , , 60 32 20 8 2 b （1）求数列 n a， n b的通项公式 n a， n b； （2）若数列 n c满足 nnn cab=+，求数列 n c的前n项和 n T 【答案】（1）31 n an=-， 21 1 ( ) 2 n n b - =；（2） (31)21 (1) 234 n n n n T +

17、=+- 【解析】（1）由题意可得：等差数列 n a， 111 1 ()(2 )402 23133 adada add += = += ，31 n an=-； 8 因为等比数列 n b中， 1 b， 2 b， 3 1111 1 , , 60 32 20 8 2 b ，01q， 所以 1 1 2 b =， 2 1 8 b =， 3 1 32 b =， 1 121 1 111 2 ( )( ) 1242 4 nn n b b q - = = = （2） 21 1 31( ) 2 n nnn cabn - =+=- +， 11 1( ) (231)(31)21 24 (1) 1 2234 1 4 n

18、n n nnnn T - +-+ =+=+- - 19 （12 分）为了增强学生体质，提高体育成绩，让学生每天进行一个小时的阳光体育活动随着锻炼时间的增长， 学生身体素质越来越好，体育成绩90分以上的学生也越来越多用 y 表示 x月后体育成绩90分以上的学生的百分 比，得到了如下数据 （1）求出 y 关于 x的回归直线方程； （2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测7个月后，体育成绩90分以上的学生的百分比是多少? 参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是 ybxa=+ $ 其中， 11 2 22 11 ()() () nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xx

19、xnx = = - = - ， aybx=- $ 【答案】（1） 0.080.22yx=+ $ ；（2）78% 【解析】（1）由表格数据可得 3x= ，0.46y=， 1 2 2 1 5 0.08 5 n ii i n i i x yxy b xx = = - = - $ ， 0.460.08 30.22aybx=-=- = $ ， 9 故y $关于x 的回归直线方程为 0.080.22yx=+ $ （2）由（1）知 0.080.22yx=+ $ ， 令7x =，解得 0.7878%y= $ 10 20（12 分）在三棱锥PABC中，PB 平面ABC，ABBC，2ABPB， 2 3BC ，E、

20、G分 别为PC、PA的中点 （1）求证：平面BCG 平面PAC； （2）假设在线段AC上存在一点N，使PNBE，求 AN NC 的值； （3）在（2）的条件下，求直线BE与平面PBN所成角的正弦值 【答案】（1）证明见解析；（2） 1 2 AN NC ；（3） 21 7 【解析】（1）因为PB 平面ABC，BC 平面ABC，所以PBBC， 又ABBC，ABBPB，所以BC 平面PAB，则BCPA， 又2ABPB，PAB为等腰直角三角形，G为PA的中点，所以BGPA， 又BGBCB，所以PA平面BCG， 因PA平面PAC，则有平面BCG 平面PAC （2）分别以BA ，BC ，BP 为x，y，z

21、轴，建立空间直角坐标系， 那么(2,0,0)A，(0,2 3,0)C，(0,0,2)P，(0, 3,1)BE ，因此( 2,2 3,0)AC ，(2,0, 2)PA ，设 ( 2 ,2 3 ,0)ANAC ，那么(22 ,2 3 , 2)PN ， 由PNBE，得 0PN BE ，解得 1 3 ， 因此 1 3 ANAC ，因此 1 2 AN NC （3）由（2）知 4 2 3 ( , 2) 33 PN ， 设平面PBN的法向量为( , , )x y zn， 则 0PN n ， 0BP n ，即 20 42 3 20 33 z xyz ， 令 3x ，得2y ，0z ，因此( 3, 2,0)n，

22、 设直线BE与平面PBN所成角为，那么 2 321 sin 727 BE BE n n 11 21（12 分）已知函数( )ln a f xxx x =+ （1）若1a =，求曲线( )f x在点(1, (1)f处的切线方程； （2）若任意的 1 ( ,) 2 x+， 2 ( ) x xf xex+恒成立，请求出a的取值范围 【答案】（1）1yx=+；（2） 1 2 11 ln 22 ae- 【解析】（1）因为1a =，所以 2 11 ( )1fx xx =-+ ，(1)1 f =，(1)2f=， 所以切线方程为1yx=+ （2）不等式 2 ( ) x xf xex+，对任意的 1 ( ,)

23、2 x+恒成立， 即 ln x aexx- 对任意的 1 ( ,) 2 x+恒成立 令( )ln x v xexx=-，则( )ln1 x v xex=-，令( )ln1 x xexj=-，则 1 ( ) x xe x j =-， 易知( ) x j 在 1 ( ,) 2 +上单调递增， 因为 1 2 1 ( )20 2 e j =- ， 所以存在唯一的 0 1 ( ,1) 2 x ，使得 0 ()0 x j =，即 0 0 1 0 x e x -= ，则 00 lnxx=- 当 0 1 ( ,) 2 xx时，( ) xj单调递减，当 0 (,)xx+时，( ) xj单调递增 则( ) xj在

24、 0 xx=处取得最小值， 且最小值为 0 0000 00 11 ()ln112110 x xexxx xx j=- =+- - = ， 所以( )0v x ，即( )v x在 1 ( ,) 2 +上单调递增， 12 所以 1 2 11 ln 22 ae- 22（12 分）如图，设抛物线方程为 2 2(0)xpy p，M为直线2yp 上任意一点，过M引抛物线的切线， 切点分别为A，B （1）求直线AB与y轴的交点坐标； （2）若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA， MB分别交于点C，D，记 EAB MCD S S ，问是否为定值？若是求出该定值，若不是 请说明

25、理由 【答案】（1）(0,2 )p；（2）是定值， 2 EAB MCD S S 【解析】（1） 2 2 x y p ， x y p ，设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B x y， 过A点的切线方程为 2 11 1 () 2 xx yxx pp ，过B点的切线方程为 2 22 2 () 2 xx yxx pp ， 联立这两个方程可得 21 2 M xx x ， 12 2 M x x y p ， 又 2121 21 2 AB yyxx k xxp ，故直线AB的方程为 2 121 1 () 22 xxx yxx pp ， 化简得 121 2 ()20 xx xpyx x，令0 x ，

26、12 2 x x y p ， 又 12 2 2 M x x yp p ，2yp，直线AB过(0,2 )p点 （2）由（1）得 12 2 M xx x ，同理可得 1 2 E C xx x ， 2 2 E D xx x ， 1 1 11 121 2 | 2 | | | 22 E CE E MCE xx x xxxxAC xxxx CMxxxx ， 1 1 2 2 2 | | | | 2 E E ECE E DEE E xx x CExxxx xx EDxxxx x ， 13 | | ACCE CMED ，同理 1 2 | | E E MDxx DBxx ，| | | ACECDM CMEDDB ， 设| | | ACECDM t CMEDDB ，记 MCE SS ，则 ACE StS ， 同理， MDE S S t ， 2 BDE S S t ， 2 |11(1) |1 MAB MCD SMA MBttt SMCMDtt ， 于是 223 2 (1)(1)(1) () MABMCD ttSt SSSS tttt ， 2(1) EABMABMCDACEBDE t SSSSSS t ， 1 MCD t SS t ， 2 EAB MCD S S