1、 第- 1 -页 共 31 页 二次函数知识点 一、基本概念： 1二次函数的概念：一般地，形如 2 yaxbxc（abc， ，是常数，0a ）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ，而bc，可以为零二次函数的定义域是 全体实数 2. 二次函数 2 yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2 abc， ，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 二、基本形式 1. 二次函数基本形式： 2 yax的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 yaxc的性质： （上加下减） a的符号 开口方向 顶
2、点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 0 0， y轴 0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y随 x的增大而减小；0 x 时，y有最小值0 0a 向下 0 0， y轴 0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y随 x的增大而增大；0 x 时，y有最大值0 a的符号 开口方向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 0 c， y轴 0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y随 x的增大而减小；0 x 时，y有最小值c 0a 向下 0 c， y轴 0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y随 x的增大而增大；0 x 时，y有最大值c 第- 2 -页 共 31 页 3. 2 ya
3、xh的性质： （左加右减） 4. 2 ya xhk的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法 1： 将抛物线解析式转化成顶点式 2 ya xhk，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线 2 yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下： 向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位 y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2 y=ax2+ky=ax2 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减， 上加下减” a的符号 开口方向 顶点坐 标 对称
4、 轴 性质 0a 向上 0h， X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随 x的增大而减小；xh时，y有最小值0 0a 向下 0h， X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随 x的增大而增大；xh时，y有最大值0 a的符号 开口方向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 hk， X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随 x的增大而减小；xh时，y有最小值k 0a 向下 hk， X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随 x的增大而增大；xh时，y有最大值k 第- 3 -页 共 31 页 方法 2： cbxaxy 2 沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，cbxaxy
5、 2 变成 mcbxaxy 2 （或mcbxaxy 2 ） cbxaxy 2 沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy 2 变成 cmxbmxay)()( 2 （或cmxbmxay)()( 2 ） 四、二次函数 2 ya xhk与 2 yaxbxc的比较 从解析式上看， 2 ya xhk与 2 yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即 2 2 4 24 bacb ya x aa ，其中 2 4 24 bacb hk aa ， 五、二次函数 2 yaxbxc图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数 2 yaxbxc化为顶点式 2 ()ya xhk，确定其开 口方
6、向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点 为： 顶点、 与y轴的交点0 c，、 以及0 c，关于对称轴对称的点2hc，、 与x轴的交点 1 0 x ， 2 0 x ，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 六、二次函数 2 yaxbxc的性质 1. 当0a 时，抛物线开口向上，对称轴为 2 b x a ，顶点坐标为 2 4 24 bacb aa ， 当 2 b x a 时，y随x的增大而减小；当 2 b x a 时，y随x的增大而增大；当 2 b x a 时，y有 最
7、小值 2 4 4 acb a 2. 当0a 时，抛物线开口向下，对称轴为 2 b x a ，顶点坐标为 2 4 24 bacb aa ，当 2 b x a 时，y 随x的增大而增大；当 2 b x a 时，y随x的增大而减小；当 2 b x a 时，y有最大值 2 4 4 acb a 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式： 2 yaxbxc（a，b，c为常数，0a ） ； 2. 顶点式： 2 ()ya xhk（a，h，k为常数，0a ） ； 3. 两根式： 12 ()()ya xxxx（0a ， 1 x， 2 x是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 第- 4 -页 共 31 页 注意： 任何
8、二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与x轴有交点，即 2 40bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数 解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数 2 yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a 当0a 时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当0a 时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大 小 2. 一次项系数b 在二次项系数a确
9、定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在0a 的前提下， 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴就是y轴； 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a 的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴就是y轴； 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线对称轴在y轴的左侧 总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置 ab的符号的判定：对称轴 a b x 2 在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab，概括的说就
10、 是“左同右异” 总结： 3. 常数项c 当0c 时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c 时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当0c 时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置 总之，只要abc， ，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 第- 5 -页 共 31 页 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必 须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线
11、上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称 2 ya xb xc关于x轴对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc； 2 ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是 2 ya xhk ； 2. 关于y轴对称 2 ya xb xc关于y轴对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc； 2 ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是 2 ya
12、xhk； 3. 关于原点对称 2 ya xb xc关于原点对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc； 2 yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是 2 ya xhk ； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180） 2 ya xb xc关于顶点对称后，得到的解析式是 2 2 2 b yaxbxc a ； 2 ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是 2 ya xhk 5. 关于点m n，对称 2 ya xhk关于点m n，对称后，得到的解析式是 2 22ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不 变求抛物线的对称抛物线的表达式时
13、，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上 是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐 标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式 第- 6 -页 共 31 页 十、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）： 一元二次方程 2 0axbxc是二次函数 2 yaxbxc当函数值0y 时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数： 当 2 40bac 时，图象与x轴交于两点 12 00A xB x， ， 12 ()xx，其中的 12 xx，是一元二 次方程 2 00axbxca的两根这两点间的距离 2
14、 21 4bac ABxx a . 当0 时，图象与x轴只有一个交点； 当0 时，图象与x轴没有交点. 1 当0a 时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y ； 2 当 0a 时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y 2. 抛物线 2 yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 2 yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的 符号判断图象的位置，要数形结合
15、； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴 的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 2 (0)axbxc a本身就是所含字母x的二次函 数；下面以0a 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 0 抛物线与x轴有 两个交点 二次三项式的值可正、 可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 0 抛物线与x轴只 有一个交点 二次三项式的值为非 负 一元二次方程有两个相等的实数根 0 抛物线与x轴无 交点 二次三项式的值恒为 正 一元二次方程无实数根. 第- 7 -页 共 31 页
16、二次函数考查重点与常见题型 1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x为自变量的二次函数2)2( 22 mmxmy的图像经过原点， 则m的值是 2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内 考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数bkxy的图像在第一、二、三象限内，那么函数1 2 bxkxy的图像大致是 （ ） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题 和选拔性的综合题，如： 已知一条
17、抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 3 5 x，求这条抛物线的解析式。 4 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 已知抛物线 2 yaxbxc（a0）与 x 轴的两个交点的横坐标是1、3，与 y 轴交点的纵坐标是3 2 （1）确定抛物线的解析式； （2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符号 例 1 （1）二次函数 2 yaxbxc的图像如图 1，则点),( a c bM在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 （2）已
18、知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图 2 所示，则下列结论：a、b 同号；当 x=1 和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0；当 y=-2 时，x 的值只能取 0.其中正确的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 (1) (2) 【点评】弄清抛物线的位置与系数 a，b，c 之间的关系，是解决问题的关键 例 2.已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2，O)、(x 1，0)，且 1x12，与 y 轴的正半轴 的交点在点(O，2)的下方下列结论：abO；4a+cO，其中正确结论 的个数为( ) 第- 8 -页 共 31 页 A 1 个 B.
19、2 个 C. 3 个 D4 个 答案：D 会用待定系数法求二次函数解析式 例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是 直线 x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2) 答案：C 例 4、 （2006 年烟台市）如图（单位：m） ，等腰三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方形移动， 直到 AB 与 CD 重合设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2 （1）写出 y 与 x 的关系式； （2）当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？
20、 （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴. 例 5、已知抛物线 y= 1 2 x2+x- 5 2 （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴 （2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB 的长 【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方 程的关系 例 6.已知：二次函数 y=ax 2-(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4，10)，交 x 轴于 )0 ,( 1 xA，)0 ,( 2 xB两点 )( 21 xx ，交 y 轴负半轴于 C 点，且满足 3AO=OB (1)求二次函数的
21、解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点 M，使锐角MCOACO?若存在，请你 求出 M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由 (1)解：如图抛物线交 x 轴于点 A(x1，0)，B(x2，O)， 则 x1x2=30，又x1O，x1O，30A=OB，x2=-3x1 x1x2=-3x1 2=-3x 1 2=1. x10，x1=-1x2=3 点 A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得 a=2 b=3 二次函数的解析式为 y-2x 2-4x-6 (2)存在点 M 使MC0ACO (2)解：点 A 关于 y 轴的对称点 A(1，O)， 直线 A，C 解析式为 y=6x-6 直线 AC
22、 与抛物线交点为(0，-6)，(5，24) 符合题意的 x 的范围为-1x0 或 Ox5 当点 M 的横坐标满足-1xO 或 OxACO 例 7、 “已知函数cbxxy 2 2 1 的图象经过点 A（c，2） ， 求证： 这个二次函数图象的对称轴是 x=3。 ” 题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 （1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过 程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。 （2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 第- 9 -页 共 31 页 点评： 对于第（1）小题，要根据已知
23、和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来 的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 A（c，2） ” ，就可以 列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2） 小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同 的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标 或与坐标轴的一个交点的坐标等。 解答 （1）根据cbxxy 2 2 1 的图象经过点 A（c，2） ，图象的对称轴是 x=3，得 , 3 2 1 2 , 2 2 1 2 b
24、cbcc 解得 . 2 , 3 c b 所以所求二次函数解析式为. 23 2 1 2 xxy图象如图所示。 （2）在解析式中令 y=0，得023 2 1 2 xx，解得. 53,53 21 xx 所以可以填“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（3+)0 ,5”或“抛物线与 x 轴的一个交点的坐 标是).0 ,53( 令 x=3 代入解析式，得, 2 5 y 所以抛物线23 2 1 2 xxy的顶点坐标为), 2 5 , 3( 所以也可以填抛物线的顶点坐标为) 2 5 , 3( 等等。 函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函 数；将函数视为“变化
25、过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的 联系。 用二次函数解决最值问题 例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图） ，其中 AF=2，BF=1试在 AB 上求 一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考 查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间 例 2 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的 关系如下表： x（元） 15 20 30 y（件） 25 20 10 若日销售量 y
26、 是销售价 x 的一次函数 第- 10 -页 共 31 页 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少 元？ 【解析】 （1）设此一次函数表达式为 y=kx+b则 1525, 220 kb kb 解得 k=-1，b=40，即一次函数 表达式为 y=-x+40 （2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元 w=（x-10） （40-x）=-x2+50 x-400=-（x-25）2+225 产品的销售价应定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为 225 元 【点评】解决最值问题
27、应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点： （1）设未知数 在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省） ”的设问中，“某某”要设为自变量， “什么”要 设为函数； （2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程 例 3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在 甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平 距离 1m、25 m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是 15 m，则学 生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) ( ) A15 m B1625 m C16
28、6 m D167 m 分析：本题考查二次函数的应用 答案：B 第- 11 -页 共 31 页 知识点一、平面直角坐标系知识点一、平面直角坐标系 1，平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正 方向；两轴的交点 O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标 平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第 一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何
29、象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“， ”分开，横、纵坐标 的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当ba 时， （a，b）和（b，a）是两个不同点的坐 标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一象限0, 0yx 点 P(x,y)在第二象限0, 0yx 点 P(x,y)在第三象限0, 0yx 点 P(x,y)在第四象限0, 0yx 2、坐标轴上的点的特征 点 P(x,y)在 x 轴上0 y，x 为任意实数 点 P(x,y)在 y 轴上0 x，y 为任
30、意实数 点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上x，y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x 与 y 相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 第- 12 -页 共 31 页 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p关于 x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数 点 P 与点 p关于 y 轴对称纵坐标相等，横坐标
31、互为相反数 点 P 与点 p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于y （2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于x （3 3）点）点 P(x,y)P(x,y)到原点的距离等于到原点的距离等于 22 yx 知识点三、函数及其相关概念知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与 它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的
32、函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示 法叫做解析法。 （2）列表法 把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线
33、：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 第- 13 -页 共 31 页 知识点四，正比例函数和一次函数知识点四，正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果bkxy（k，b 是常数，k0） ，那么 y 叫做 x 的一次函数。 特别地，当一次函数bkxy中的 b 为 0 时，kxy （k 为常数，k0） 。这时，y 叫做 x 的正 比例函数。 2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征： 一次函数bkxy的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kxy 的图像是经过原点（0， 0）的直线。 k 的符 号
34、b 的符号 函数图像 图像特征 k0 b0 y 0 x 图像经过一、二、三象限，y 随 x 的增大而增大。 b0 y 0 x 图像经过一、三、四象限，y 随 x 的增大而增大。 K0 y 0 x 图像经过一、二、四象限，y 随 x 的增大而减小 第- 14 -页 共 31 页 b0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大； （2）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大 （2）当 k0 k0 时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。 x 的取值范围是 x0， y 的取值范围是 y0； 当 k0 a0 y 0 x y 0 x 性 质 （1）抛
35、物线开口向上，并向上无限延伸； （2）对称轴是 x= a b 2 ，顶点坐标是（ a b 2 ， a bac 4 4 2 ） ； （3）在对称轴的左侧，即当 x a b 2 时，y 随 x 的增大而增大，简记左 减右增； （4）抛物线有最低点，当 x= a b 2 时，y 有最 小值， a bac y 4 4 2 最小值 （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； （2） 对称轴是 x= a b 2 ， 顶点坐标是 （ a b 2 ， a bac 4 4 2 ） ； （3）在对称轴的左侧，即当 x a b 2 时，y 随 x 的增大而减小， 简记左增右减； （4）抛物线有最高点，当 x= a b
36、2 时，y 有 最大值， a bac y 4 4 2 最大值 2、二次函数)0,( 2 acbacbxaxy是常数，中，cb、a的含义： a表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上 a0 时，图像与 x 轴有两个交点； 当=0 时，图像与 x 轴有一个交点； 当0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位 y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2 y=ax2+ky=ax2 平移规律平移规律 在原有函数的基础上在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；值正右移，负左移；k值正上移，负下移值正上移，负下移” 函数平移图像大致位置规律（中
37、考试题中，只占 3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速 度有很大帮助，可以大大节省做题的时间） 特别记忆特别记忆-同左上加同左上加 异右下减异右下减 ( (必须理解记必须理解记 忆忆) ) 说明 函数中 ab 值同号，图像顶点在 y 轴左侧同左同左，a b 值异号，图像顶点必在 Y 轴右侧异异 右右 向左向上移动为加左上加 左上加，向右向下移动为减右下减右下减 3、直线斜率： 12 12 tan xx yy k b为直线在y轴上的截距4、直线方程： 4 4、两点两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式: )()( ta n 1 12 12 1 xxx xx yy bxbkxyy 此公
38、式有多种变形 此公式有多种变形 牢记牢记 点斜 点斜 )( 11 xxkxyy 斜截 斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: ykxb(k0) 截距 截距 由直线在x轴和 y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式： 1 b y a x 牢记牢记 口诀口诀 -两点斜截距 两点斜截距- -两点两点 点斜点斜 斜截斜截 截距截距 第- 21 -页 共 31 页 5、 设两条直线分别为，1l： 11 yk xb 2 l： 22 yk xb 若 12 /ll， 则有 1212 /llkk 且 12 bb。 若 1212 1llkk 6、点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的
39、距离: 1) 1( 2 00 22 00 k bykx k bykx d 7 7、抛物线抛物线 cbxaxy 2 中，中， a b c,a b c,的作用的作用 （1）a决定开口方向及开口大小，这与 2 axy 中的a完全一样. （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy 2 的对称轴是直线 a b x 2 ，故：0b时，对称轴为y轴；0 a b （即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧； 0 a b （即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧. 口诀口诀 - 同左同左 异右异右 （3）c的大小决定抛物线cbxaxy 2 与y轴交点的位置. 当0 x时，cy ，抛物线cbxaxy 2
40、 与y轴有且只有一个交点（0，c） ： 0c，抛物线经过原点; 0c,与y轴交于正半轴； 0c,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0 a b . 第- 22 -页 共 31 页 十一，中考点击十一，中考点击 考点分析： 内容 要求 1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点 2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系 3、一次函数的概念和图像 4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图 5、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用 6、二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用二
41、次函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题 命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空 的形式考查自变量的取值范围， 及自变量与因变量的变化图像、 平面直角坐标系等， 一般占 2%左右 一 次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查， 占 5%左右反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的 联系，突出应用价值，36 分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压 轴题出现在试卷中要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数
42、的意 义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开 口方向和对称轴，并能解决实际问题会求一元二次方程的近似值 分析近年中考，尤其是课改实验区的试题，预计 2009 年除了继续考查自变量的取值范围及自变 量与因变量之间的变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质 的理解同时将注重考查二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用 十二，初中数学助记口诀十二，初中数学助记口诀( (函数部分函数部分) ) 特殊点坐标特征:坐标平面点(x,y),横在前来纵在后；(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前 后；X 轴
43、上 y 为 0,x 为 0 在 Y 轴。 对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆， X 轴对称 y 相反,Y 轴对称,x 前面添负号； 原 点对称最好记,横纵坐标变符号。 自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能 行。 函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写成 y=k（x+0）+b、二次函数的解析式写成 y=a（x+h） 第- 23 -页 共 31 页 2+k 的形式，则用下面后的口诀“左右平移在括号,上下平移在末稍, 同同左上加左上加 异右下减异右下减 一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直
44、 线；两个系数 k 与 b,作用之大莫小看，k 是斜率定夹角,b 与 Y 轴来相见,k 为正来右上斜,x 增减 y 增 减；k 为负来左下展,变化规律正相反；k 的绝对值越大,线离横轴就越远。 二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象 现；开口、大小由 a 断,c 与 Y 轴来相见,b 的符号较特别，符号与 a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作 为参考线， 左同右异中为 0， 牢记心中莫混乱； 顶点坐标最重要,一般式配方它就现， 横标即为对称轴, 纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。 反比例函数图像与性质口诀
45、:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k 为正,图在一、三(象)限,k 为负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减。图在二、四正相反,两个分支分别添; 线越长越近轴,永远与轴不沾边。 正比例函数是直线，图象一定过圆点，k 的正负是关键，决定直线的象限，负 k 经过二四限，x 增大 y 在减，上下平移 k 不变，由引得到一次线，向上加 b 向下减，图象经过三个限，两点决定一条 线，选定系数是关键。 反比例函数双曲线，待定只需一个点，正 k 落在一三限，x 增大 y 在减，图象上面任意点，矩形 面积都不变，对称轴是角分线 x、y 的顺序可交换。 二次函数抛物线，选定需要三个点，a
46、的正负开口判，c 的大小 y 轴看，的符号最简便，x 轴上 数交点，a、b 同号轴左边抛物线平移 a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。 1 对称点坐标: 对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆， X 轴对称 y 相反, Y 轴对称,x 前面添负号； 原点对称最好记,横纵坐标变符号。 关于关于x轴对称轴对称 2 yaxbxc关于关于x轴对称后，得到的解轴对称后，得到的解析式是析式是 2 yaxbxc； 2 ya xhk关于关于x轴对称后，得到的解析式是轴对称后，得到的解析式是 2 ya xhk ； 关于关于y轴对称轴对称 第- 24 -页 共 31 页 2 yaxbxc关于关于y轴对称后，得到的解析式是轴对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc； 2 ya xhk关于关于y轴对称后，得到的解析式是轴对称后，得到的解析式是 2 ya xhk； 关于原点对称关于原点对称 2
