1、 1 数列的单元测试数列的单元测试 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的 1.把 1,3,6,10,15，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个 正三角形(如图所示).则第 7 个三角形数是( ) A.27 B.28 C.29 D.30 2.在数列an中，a12，an1anln 11 n ，则 an( ) A.2lnn B.2(n1)lnn C.2nlnn D.1nlnn 3.已知数列an的通项公式为 an2n2
2、tn1，若an是单调递增数列，则实数 t 的取值范围是( ) A.(6，) B.(，6) C.(，3) D.(3，) 4.等差数列an的首项为 1，公差不为 0.若 a2，a3，a6成等比数列，则an前 6 项的 和为( ) A.24 B.3 C.3 D.8 5.在等差数列an中，若 a3a4a5a6a745，则 a5( ) A.4 B.5 C.6 D.9 6.已知 1 an 是等差数列，且 a11，a44，则 a10( ) 2 A.4 5 B. 5 4 C. 4 13 D. 13 4 7.已知等比数列an共有 10 项，其中奇数项之积为 2，偶数项之积为 64，则其公 比 q 为( ) A.
3、3 2 B. 2 C.2 D.2 2 8.已知an是首项为1 的等比数列， Sn是an的前 n 项和， 且 9S3S6， 则数列 1 an 的 前 5 项和为( ) A.15 8 或 5 B.31 16或 5 C. 31 16 D. 15 8 二二、选择题：本大题共、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项分在每小题给出的四个选项 中，中，有多项符合题目要求。全部选对的得有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分。分。 9.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三
4、百七十八里关，初行健 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相 还”其大意为：“有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚 痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天才到达目的地”则下列说法正确的 是( ) A.此人第 1 天的路程为 190 里 B.此人每天走的路程构成公比为1 2的等比数列 C.此人第 4 天和第 5 天共走的路程为 36 里 D.此人第 1 天的路程是最后一天路程的 6 倍 10.已知两个等差数列 n a和 n b的前 n 项和分别为 n S和 n T，且 n n T S 3n39 n3 ， 则使得 n n b a 为整数的正
5、整数 n 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.14 11.若数列an的首项 a12，且 an13an2(nN*)，令 bnlog3(an1)， 下列说法正确的是( ) 3 A 数列an1是等比数列 B.an13n C 数列bn的前 100 项和为 4950 D.数列bn的前 100 项和为 5 050 12.已知数列an的通项公式为 an3n 1，令 c nlog3a2n，bn 1 cn cn2，记数列bn 的前 n 项和为 Tn， 若对任意的 nN*， 0，则 Sn中最大的是 _ 四四、解答题：本大、解答题：本大题共题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程
6、分解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤或演算步骤 17.(本小题满分 10 分)已知数列an满足(an11)(an1)3(anan1)，a12，令 bn 1 an1. (1)证明：数列bn是等差数列； (2)求数列an的通项公式 18.(本小题满分 12 分)已知各项都为正数的数列an满足： a11，a2n(2an11)an2an10. (1)求 a2，a3； (2)求an的通项公式 19.(本小题满分 12 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足 Sn2an2n(nN*) (1)证明：an2是等比数列，并求an的通项公式； 4 (2)数列bn满足 bnlog2(an2)，Tn
7、为数列 1 bnbn1 的前 n 项和，若 Tnan，即 2(n1) 2t(n1)12n2tn1，化简得 t4n2，所以 t4n2 对 于任意的 nN*都成立，因为4n26，所以 t6.选 A. 解法二 设 f(n)2n2tn1，其图象的对称轴为 nt 4，要使an是递增数 列，则t 46.选 A. 4.答案：A. 解析：本题主要考查等差数列的通项公式及前 n 项和公式设等差数列an 的公差为 d，依题意得 a23a2 a6，即(12d)2(1d)(15d)，解得 d2 或 d 0(舍去)，又 a11，S66165 2 (2)24.故选 A. 5.答案：D. 解析：由等差数列的性质知 a3a4
8、a5a6a75a545，所以 a59.故选 D. 6.答案：A. 解析：由题意，得 1 a11， 1 a4 1 4，所以等差数列 1 an 的公差为 d 1 a4 1 a1 3 1 4， 由此可得 1 an1(n1) 1 4 n 4 5 4，因此 1 a10 5 4，所以 a10 4 5.故选 A. 6 7.答案：C. 解析： 由奇数项之积为 2， 偶数项之积为 64， 得 a1 a3 a5 a7 a92， a2 a4 a6 a8 a10 64，则 q5a2 a4 a6 a8 a10 a1 a3 a5 a7 a9 32，则 q2，故选 C. 8.答案：C 解析：若 q1，则由 9S3S6，得
9、93a16a1，则 a10，不满足题意， 故 q1.由 9S3S6，得 9a11q 3 1q a11q 6 1q ， 解得 q2.故 ana1qn 12n1，1 an 1 2 n1.所以数列 1 an 是以 1 为首项，以1 2为公比的等比数列，所以数列 1 an 的前 5 项和为 T5 1 1 1 2 5 11 2 31 16.故选 C.来源:Z_xx_k.Com 9.答案：BCD 解析：由题意知，此人每天走的路程构成公比为1 2的等比数列设等 比数列的首项为 a1，则有 a1 1 1 26 11 2 378，解得 a1192，a41921 824，a5 241 212，a4a5241236
10、，所以此人第 4 天和第 5 天共走了 36 里路，故选 C. 10.ACD 11.答案：ABD 解析：由 an13an2(nN*)可得 an113(an1)，故an 11 an1 3，所以数列an1是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，所以 an13n，所以 bnlog3(an1)n，因此 b1b2b3b1001001100 2 5 050，选 ABD. 12.答案：AC 解析：an3n 1，c nlog3a2n，cn2n1， cn22n3，bn 1 2n12n3 1 4 1 2n1 1 2n3 ， Tn1 4 1 1 1 5 1 3 1 7 1 5 1 9 1 2n3 1 2n1 1 2
11、n1 1 2n3 1 4 11 3 1 2n1 1 2n3 1 3 1 4 1 2n1 1 2n3 ，由于 Tn随着 n 的增大而增大， 7 Tn的最小值为 T11 5， 的取值范围为 0，所以 a5a1q40，所以 a53，因为 a1a9a25，所以 a9a 2 5 a118. 16.答案： S10解析： 通解 设等差数列an的公差为 d， 根据 S8S12可得 8a187 2 d12a11211 2 d，即 2a119d0，得到 d 2 19a1，从而 Snna1 nn1 2 2 19a1 a1 19(n10) 2100 19 a1，由 a10 可知a1 190 可知 a100，a110.
12、从而可知所有正数相加时，Sn可取得最大值， 即前 10 项和最大 17(本小题满分 10 分) 解析：(1)证明：(an11)(an1)3(an1)(an11)， 8 1 an11 1 an1 1 3，即 bn1bn 1 3，bn是等差数列 (2)b11，bn1 3n 2 3， an1 3 n2，an n5 n2. 18(本小题满分 12 分) 解析：(1)因为 a2n(2an11)an2an10， 所以当 n1 时，a21(2a21)a12a20. 因为 a11，所以 a21 2. 同理，当 n2 时，a22(2a31)a22a30，所以 a31 4. (2)因为 a2n(2an11)an2
13、an10， 所以 2an1(an1)an(an1) 因为an的各项均为正数，所以 2an1an， 即 an11 2an，而 a11， 所以an是以 1 为首项，1 2为公比的等比数列，所以 an 1 2n 1. 19(本小题满分 12 分) 解析： (1)证明： 因为 Sn2an2n(nN*)， 所以 a1S12a12， 得 a12.当 n2 时，Sn12an12(n1). 由两式相减得 an2an12，变形得 an22(an12) 又因为 a124，所以an2是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an2 42n 1，所以 a n42 n122n12(n2) 又 a12 也符合上述表达
14、式，所以 an2n 12(nN*) (2)因为 bnlog2(an2)log22n 1n1， 1 bnbn1 1 n1n2 1 n1 1 n2， 所以 Tn 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n1 1 n2 1 2 1 n2 1 2，依题意得 a 1 2，即 a 的取值范围是 1 2， . 20(本小题满分 12 分) 解析：(1)当 a13 时，不合题意； 当 a12 时，当且仅当 a26，a318 时，符合题意； 当 a110 时，不合题意 9 因此 a12，a26，a318，所以an的公比 q3. 所以 an2 3n 1(nN*)来源:学#科#网 (2)由(1)得 bnan(1)nln
15、an2 3n 1(1)nln(2 3n1)2 3n1(1)nln2(n 1)ln32 3n 1(1)n (ln2ln3)(1)nnln3， 所以 Sn2(133n 1)111(1)n (ln2ln3)123 (1)nnln3. 当 n 为偶数时，Sn213 n 13 n 2ln33 nn 2ln31； 当 n 为奇数时，Sn213 n 13 (ln2ln3) n1 2 n ln33nn1 2 ln3ln2 1. 综上所述，Sn 3nn 2ln31，n为偶数， 3nn1 2 ln3ln21，n为奇数. 21(本小题满分 12 分) 解析：(1)当 n2时，Sn14Sn15Sn， Sn1Sn4(S
16、nSn1)， an14an. a12，a28， a24a1， 数列an是以 2 为首项，4 为公比的等比数列， an24n 122n1. (2)由(1)得 log2anlog222n 12n1， Tnlog2a1log2a2log2an13(2n1)n12n1 2 n2. 1 1 T2 1 1 T3 1 1 Tn 1 1 22 1 1 32 1 1 n2 221 22 3 21 32 4 21 42 n 21 n2 132435n1n1 223242n2 n1 2n ， 令n1 2n 1 011 2 018，解得 n 1 009 2 ，正整数 n 的最大值为 504. 22(本小题满分 12
17、分) 解析：本小题主要考查等差数列、等比数列及其前 n 项和公式等基础知识考查 数列求和的基本方法和运算求解能力 (1)设等差数列an的公差为 d， 等比数列bn的公比为 q.由已知 b2b312， 得 b1(q q2)12， 而 b12，所以 q2q60.解得 q2 或 q3，来源:学科网 10 又因为 q0，解得 q2，所以 bn2n. 由 b3a42a1，可得 3da18. 由 S1111b4，可得 a15d16. 联立，解得 a11，d3， 由此可得 an3n2. 所以，数列an的通项公式为 an3n2，数列bn的通项公式为 bn2n. (2)设数列a2nb2n1的前 n 项和为 Tn，由 a2n6n2，b2n124n 1，得 a 2nb2n1 (3n1)4n，故 Tn24542843(3n1)4n， 4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n 1， ，得 3Tn2434234334n(3n1)4n 1 1214 n 14 4(3n1)4n 1 (3n2)4n 18， 得 Tn3n2 3 4n 18 3. 所以数列a2nb2n1的前 n 项和为3n2 3 4n 18 3.
