1、1 2020-2021 高二上学期期中十校联考数学试题 11 月 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1抛物线 = 42的焦点坐标是（ ）A.(1,0) B.(0,1) C.(0, 1 16) D.( 1 16,0) 2若, ,a b c构成空间的一个基底，则( ) A,bc bc a+不共面 B,2 ,3bc bc c+不共面 C,2 ,bca a bc+ +不共面 D,2bc bcb+不共面 3若方程x 2y2xy2m0 表示一个圆，则实数 m的取值范围是( ) A ，1 4 B 1 4， C 1 4， D
2、 ，1 4 4已知直线 x+my+6=0 和（m-2）x+3y+2m=0 互相平行，则实数 m 的值为 A.-1 或 3 B.-1 C.-3 D.1 或-3 5.设 , x yR，向量 ( ,1,1),b(1, ,1),c(2, 4,2)axy= ， ,cac b ，则| |ab+=（ ） A2 2 B3 C 10 D4 6 在平面直角坐标系xOy中， 已知ABC的顶点A(4,0)和C(4,0)， 顶点B在椭圆x 2 25 y2 91上， 则 sin Asin C sin B 等于( ) A.5 4 B. 5 2 C5 D. 4 5 7.在直角坐标系中， 已知 A(-1,6) B(2,6)现沿
3、 x 轴将平面折成600的二面角， 折叠后A.B 两点之间的距离是( ) A.217 B.41 C. 17 D. 35 8直线 + + 1 = 0的倾角范围是（ ） A.0,) B.0, 4( 2 ,) C. 0, 4 3 4 ,） D. 4 , 3 4 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9 在四棱锥O-ABCD中， 底面ABCD是边长为2的正方形， OA底面ABCD,OA=2,M,N,R分别是OA,BC,AD 的中点，以下说法正确的是 A.直线 MN 与
4、平面 OCD 的距离为 5 2 B.平面 MNR 与平面 OCD 的距离为 2 2 C.点 M 与平面 OCD 的距离为 5 2 D. 点 N 与平面 OCD 的距离为 2 2 2 10已知椭圆 2 2 + 2 2 = 1( 0, 0)的左右焦点分别1,2, P 是椭圆上一点,若|P1| = 3|2|则椭圆的离 心率可以是 A. 1 4 B, 1 2 C. 2 3 D 1 3 11、下列命题正确的是 A. 已知1 和2 是两个互相垂直的单位向量 = 21 + 32 ， = 1 42 且 垂直，则实数 k=-6 B. 已知 A(1,1,0),B(0,3,0),C(2,2,3),则向量 在 上的投
5、影向量的模长是 5 5 C. 圆2+ 2= 4上有且仅有 3 个点到直线: + 2 = 0的距离等于 1 D. 不过原点的直线都可以用方程1 xy ab +=表示 12. 在如图所示的棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点 P 在侧面 11 BCC B所在的平面上运动，则下列 命题中正确的 A若点 P 总满足 PABD，则动点 P 的轨迹是一条直线 B若点 P 到点 A 的距离为 2，则动点 P 的轨迹是一个周长为 2 的圆 C若点 P 到直线 AB 的距离与到点 C 的距离之和为 1，则动点 P 的轨迹是椭圆 D若点 P 平面 11 BAAB与到直线 CD 的距离相等，则动
6、点 P 的轨迹抛物线。 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分， 13 12 (2,2,3),(0, 1, 3)vv=设分别是空间中直线 12 , l l的方向向量，则直线 12 , l l所成角的余弦值 为 14. 过点 A(1,0)的直线 l 与圆(x1)2(y1)21 相交于 A，B 两点，若|AB| 2，则该直线的斜率为 15、已知抛物线 2 :8C yx=的焦点为F，准线l，P是l上一点， Q是直线PF与C的一个交点，若 3PFQF=，则| |QF =_（2 分） ，直线 PF 的斜率 k= （3 分） 3 16、已知双曲线的方程为 22 1 45 xy =，如图
7、，点 A 的坐标为()3,0，B 是圆() 2 2 31xy+=上的点，点 M 在双曲线的右支上，则MBMA +的最小值为 . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17(本小题满分 10 分) 如图所示，已知几何体 ABCDA1B1C1D1是平行六面体 (1)化简1 2AA1 BC 2 3AB 结果用 EF表示并在图上标出该结果（点明 E,F 的具体位置） ； (2)设 M 是底面 ABCD 的中心，N 是侧面 BCC1B1对角线 BC1上的点，且 C1N1 4C1B， 设MN AB AD AA1 ，试求 ， 的值 18(本小题满分 12 分)
8、 已知ABC 的三个顶点是 A(1,4)，B(2，1)，C(2,3) (1)求 BC 边上的高所在直线的方程；(一般式) (2)求ABC 的面积 S. (3)求过点 A 且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程(一般式) 19(本小题满分 12 分) 如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形， = 60，E 是 CD 的中点， 底面 ABCD， = 2 (1) 证明：平面 平面； (2)求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的正弦值 4 20. (本小题满分 12 分) 已知 F1 ,F2是椭圆 C: 22 22 1 xy ab +=
9、（0ab）的两个焦点，P 为 C 上一点， 12 1 .FPF若为等腰直角三角形，求C的离心率（ ） （2）如果存在点 P，使得 12,12 PFPFFPF且的面积等于 9，求 b 的值和的取值范围。 21. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 为长方形，ABCDSB底面，其中 2, 2, , BSBABCt= t的可能取值为： 1 3 t =； 2 2 t =； 3 2 t =； 5 2 t =；3t =. （1）求直线 AS 与平面 ABCD 所成角的正弦值； （2）若线段 CD 上能找到点 E，满足SEAE ，则t可能的取值有几种情况？请说理由； （3）
10、在（2）的条件下，当t为所有可能情况的最大值时，线段 CD 上满足SEAE 的点有两个，分别记 为 1 E， 2 E，求二面角 21 ESBE的大小. 22(本小题满分 12 分)已知半径为 5 的圆 M 的圆心在 x 轴上，圆心 M 的横坐标是整数，且与直线 4x3y 290 相切 (1)求圆 M 的方程； (2)若直线 axy50(a0)与圆 M 相交于 A，B 两点，是否存在实数 a，使得过点 P(2,4)的直线 l 垂直平 分弦 AB？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由 (3)设 P(-1,0),若动圆 N 过点 P 且与圆 M 内切，求动圆圆心 N 的轨迹方程。 B C
11、 A D S E 1 2020-2021 高二上学期期中十校联考数学试题答案 11 月 一单选题 CACB BADC 二多选 BD BC BC ABD 三、填空 13、 5 11 22 14、1 15 8 ;3 3 16、3 23+ 四解答题的答案 17、解 (1)取 AA1的中点 E，在 D1C1上取一点 F，使得 D1F2FC1，连接 EF， 则1 2AA1 BC 2 3AB EA 1 A1D1 D1F EF .（与 相等的向量都对）(5 分) (2)MN MB BN 1 2DB 3 4BC1 1 2(DA AB )3 4(BC CC 1 )1 2AB 1 4AD 3 4AA1 ， 所以
12、1 2， 1 4， 3 4. (10 分) 18、解 (1)设 BC 边上的高所在直线为 l，由题意知 kBC3(1) 2(2)1，则 k l 1 kBC1. 又点 A(1,4)在直线 l 上，所以直线 l 的方程为 y4(x1)， 即 xy30，即 BC 边上的高所在直线的方程为 xy30(4 分) (2)BC 边所在直线的方程为 y1x2， 即 xy10.点 A(1,4)到直线 BC 的距离 d |141| 12(1)2 2 2. 又|BC|(22)2(13)24 2，所以 SABC1 2|BC|d 1 24 22 28(8 分) (3)当直线过原点时，设直线方程为 y=kx,代入 A 点
13、得 k=-4,直线方程 4x+y=0 当直线在坐标轴上的截距都不为 0 时，设直线方程为1 2 xy bb +=代入 A 点得 b= 7 2 所以直线方程为 x+2y-7=0(12 分) 19（1）如图所示，连接 BD，由 ABCD 是菱形且=60BCD，知ABC是等边三角形. E 是 CD 的中点 CDBE 又ABCD BEAB BE .PABBEPBEPBEPAB平面又平面平面平面(4 分) 2 (2) 在 平 面 ABCD 内 ， 过 点 A 作 A 的 垂 线 ， 如 图 所 示 ， 以 A 为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 . ），（），（），（），（），（2000 2
14、 3 2 1 0 2 3 2 3 001000PDCBA.0 2 3 1），（E 易知，）， （201= PB），（0 2 3 0= BE），（200= PA），（0 2 3 2 1 = AD(5 分) 设 )( 1111 zyxn，= 是平面 PBE 的一个法向量，则由 = = 0 0 1 1 BEn PBn 得 =+ =+ . 00 2 3 0 020 111 111 zyx zyx， 令 ，1 1 =z 得 ) 102( 1 ，=n . (6 分) 设 )( 2222 zyxn，= 是平面 PAD 的一个法向量，则由 = = 0 0 2 2 ADn PAn 得 =+ =+ . 00 2
15、3 2 1 0200 222 222 zyx zyx， 所以 ，0 1 =z 22 3yx= ，故可取 )01-3( 2 ，=n .(7 分) 于是 . 5 15 25 32 cos 21 21 21 = = = nn nn nn ，(9 分) 设所成锐二面角为，所以sin= 2 1510 1-= 55 （）(11 分) 所以平面 PAD 和平面 PBE 所成锐二面角的正弦值为 10 5 (12 分) 1212 201,.(1 )PF PFFPF、解（ ）链接有为等腰直角三角形可知有三种情况分 0 11212 0 2 0 1212 90| 2c |=2 2 ,|+|=2( 2+1)c=2a 2
16、1.=9021.(3) =90|=|= 2|+|=2 2c=2a 2 .(5) 2 2 FPFPFcPFPFC c eFe a PPPFPFcPFPF c Ce a = = = 当时，|，于是|故 的离心率 同理时分 当时则 落在椭圆短轴端点，|，| 故 的离心率分 （ ）有题意可知，满足条件的 1y |y| 2c=9, =-1 2+c x-c y x 点P存在，即 | = 9，2+2= 2.(7)分 E D A C B P z x y 3 2 2 + 2 2 = 1，由 及 222 abc+=得 4 2 2 b y c =又由知 2 2 2 9 y c =，故 b=3, .(9)分 由得 2
17、 222 2 () a xcb c =，所以 22 cb，从而 222 abc=+ 22=18 故 a32,所以 b=3, a32.(11)分 时存在满足条件得点 P， 所以 b=3,a 得取值范围为32,+) .(12)分 21、 （1） ,ABCDAB SBABCD SA 底面在平面内的射影为SAB即为直线 AS 与平面 ABCD 所成的角 在 SBA Rt中， 2 sinsin45. 2 SB SAB AB = 所以直线 AS 与平面 ABCD 所成角的正弦值 2 2 (3 分)(也可以用向量法) （2）如图所示，以 B 为坐标原点，以 BC，BA，BS 的方向分别为 x 轴，y 轴，z
18、 轴正方向建 立空间直角坐标系. 则各点坐标分别为 ），（），（000020BA2 00 0 2DS（t， ， ），（ ， ， ） .(4 分) 设 002Exx（t， ， ）（）， 所以 2SEx=（t， ， ），20EAtx= （， ）， 22 202.SEEAtxtxx +=（）（） 2 0 2201xxx=，t（）， 在所给的数据中，t可以取. (7 分) （3）由（2）知 3 2 t =， 此时， 2 3 2 1 =xx或 ，即满足条件的点 E 有两个. 根据题意得，其坐标为 ），（）和，（0 2 3 2 3 0 2 1 2 3 21 EE ， ABCDSB底面 21 BESBBES
19、B， 21BE E 是二面角21 ESBE 的平面角. (9 分) 由 . 2 3 13 4 3 4 3 cos 21 21 21 = + = = BEBE BEBE BEBE，(11 分) B C A D S y x z E 4 由题意得，二面角21 ESBE 为锐角，所以二面角的大小为 30(12 分) 22、(1)设圆心坐标为 M(m,0)(mZ)，由于圆与直线 4x3y290 相切，且圆的半径为 5，所以 |4m29| 5 5，即|4m29|25，即 4m2925 或 4m2925， 解得 m27 2 或 m1因为 m 为整数，故 m1， 故所求的圆的方程为(x1)2y225(4 分)
20、 (2)设符合条件的实数 a 存在， 因为 a0，则直线 l 的斜率为1 a，所以直线 l 的方程为 y 1 a(x2)4， 即 xay24a0 由于直线 l 垂直平分弦 AB，故圆心 M(1,0)必在直线 l 上， 所以 1024a0，解得 a3 4 经检验，当 a3 4时，直线 axy50 与圆有两个交点， 故存在实数 a3 4，使得过点 P(2,4)的直线 l 垂直平分弦(8 分) （3）因为圆 N 过点 P（-1，0）所以 PN 为半径，又动圆 N 与动圆 M 内切，所以 MN=5-PN 即 MN+PN=5,所以点 M 的轨迹是以 M,P 为焦点，长轴为 5 的椭圆，所以 2a=5,c=1,所以 b= 21 4 所以所求轨迹方程是 222 2 4x4 11 2521 2521 44 xyy +=+=或(12 分)
