1、 l B A l P B A l B A B l P B A l B A l P B A P B l B A l B A 第第六章六章 将军饮马将军饮马 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形 周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、 抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的 形式出现。 模型模型 1 1 定直线与两定点定直线与两定点 模型 作法 结论 当两定点 A、B 在直线l异侧 时，在直线l上找一点 P，使 PA+PB 最小。 连接 AB 交直线l于点 P，点 P 即为所求作的点。 PA+ PB 的 最 小。 当
2、两定点 A、B 在直线l同侧 时，在直线l上找一点 P，使 PA+PB 最小。 作点 B 关于直线l的对称点 B，连接 AB交直线于点 P，点 P 即为所求作的点。 PA+PB 的最小 值为 AB。 当两定点 A、B 在直线l同侧 时，在直线l上找一点 P，使 PAPB最大。 连接 AB 并延长交直线l于点 P，点 P 即为所求作的点。 PAPB的 最大值为 AB。 当两定点 A、B 在直线l同侧 时，在直线l上找一点 P，使 PAPB最大。 作点 B 关于直线l的对称点 B，连接 AB并延长交直 线于点 P，点 P 即为所求作 的点。 PAPB的 最 大 值 为 AB。 l B A l P
3、B A P E D C B A P D C B A E D C B A 当两定点 A、B 在直线l同侧 时，在直线l上找一点 P，使 PAPB最小。 连接 AB，作AB 的垂直 平分线交直线l于点 P，点 P 即为所求作的点。 PAPB的 最小值为 0。 模型实例模型实例 例例 1 1如图，正方形 ABCD 的面积是 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，则 PD+PE 的最小值为 。 例例 2 2如图，已知ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=4，BCD=15，P 为 CD 上的动点，则PAPB的最大值是多少？ 热搜热搜精练精练 1如图，在
4、ABC 中，AC=BC=2，ACB-90，D 是 BC 边的中点，E 是 AB 边 上一动点，则 EC+ED 的最小值是 。 O y x B（2，0） A（3，0） M N D C B A 2如图，点 C 的坐标为（3，y），当ABC 的周长最短时，求y的值。 3如图，正方形 ABCD 中，AB-7，M 是 DC 上的一点，且 DM-3，N 是 AC 上的一 动点，求DNMN的最小值与最大值。 模型模型 2 2 角到定点角到定点 模型 作法 结论 点 P 在AOB 的内部， 在 OB 上找点 D，在 OA 上找点 C，使得PCD 周 长最小。 分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P、P，
5、连接 PP，交 OA、OB 于点 C、D，点 C、D 即为所 求。 PCD 周长最小为 P P。 点 P 在AOB 的内部， 在 OB 上找点 D，在 OA 上找点 C，使得 PD+CD 最小。 作点 P 关于 OB 的对称点 P，过点 P作 PC OA 交 OB 于点 C，点 C、D 即为所求。 PC+CD 的最小值为 P C。 点 P、Q 在AOB 的内 部，在 OB 上找点 D，在 OA 上找点 C，使得四边 形 PQDC 周长最小。 分别作点 P、Q 关于 OA、 OB 的对称点 P、Q， 连接 PQ，交 OA、OB 于点 C、D，点 C、D 即为 所求。 PC+CD+DQ 的最小值为
6、 PQ，所以四边形 PQDC 的周长的最小值为 PQ+PQ。 模型实例模型实例 O P B A P P O A B P D C O P B A P O A B P D C Q P O B A C D Q A B O P Q P P O B A C D M N B A 例例 1 1如图，AOB=30，AOB 内有一定点 P，且 OP=10，在 OA 上有一 点 Q，OB 上有一点 R。若PQR 周长最小，则最小周长是多少？ 热搜精练热搜精练 1如图，MON=40，P 为MON 内一定点，A 为 OM 上的点，B 为 ON 上的点， 当PAB 的周长取最小值时： （1）找到 A、B 点，保留作图痕
7、迹； （2）求此时APB 等于多少度。如果MON=， APB 又等于多少度？ 2如图，四边形 ABCD 中，BAD=110，B=D=90，在 BC、CD 上分别 找一点 M、N，使AMN 周长最小，并求此时AMN+ANM 的度数。 3如图，在x轴上找一点 C，在y轴上找一点 D，使 AD+CD+BC 最小，并 P O M N O y x B（3，1） A（1，3） O M N B A 求直线 CD 的解析式及点 C、D 的坐标。 4如图MON=20，A、B 分别为射线 OM、ON 上两定点，且 OA=2，OB=4， 点 P、Q 分别为射线 OM、ON 上两动点，当 P、Q 运动时，线段 AQ+
8、PQ+PB 的最小值是多少？ 模型模型 3 3 两定点一定长两定点一定长 d B A A A d MN B A 2 1 B A 2 1 A M N B A F C D O y x E B A 模型 作法 结论 如图，在直线l上找 M、N 两 点（M 在左），使得 AM+MN+NB 最小，且 MN=d。 将点 A 向右平移d个单位 到 A，作 A关于直线l 的对称点 A，连接 AB 交 直线l于点 N，将点 N 向左 平移d个单位到 M，点 M、 N 即为所求。 AM+MN+NB 最小为 AB 。 如图， 1 l 2 l， 1 l， 2 l之间 距离为d，在 1 l， 2 l分别找 M、N 两点
9、，使得 MN 1 l， 且 AM+MN+NB 最小。 将点 A 向下平移d个单位 到 A，连接 AB 交直线 2 l于点 N，将点 N 向上平移 d个单位到 M，点 M、N 即 为所求。 AM+MN+NB 的最小 值为 AB+d。 模型实例模型实例 例例 1 1在平面直角坐标系中，矩形 OABC 如图所示， 点 A 在x轴正半轴上，点 C 在y轴正半轴上， 且 OA=6，OC=4，D 为 OC 中点，点 E、F 在线段 OA 上，点 E 在点 F 左侧，EF=2。当四边形 BDEF 的周长最小时，求点 E 的坐标。 热搜精练热搜精练 1在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在， C D O y x B A 2 1 B A x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D 为边 OB 的中点。 （1）若 E 为边 OA 上的一个动点，求CDE 的周长最小值； （2）若 E、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF=1，当四边形 CDEF 的周长最小时， 求点 E、F 的坐标。 2村庄 A 和村庄 B 位于一条小何的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河 岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使 A 与 B 之间的距离最短？
