1、 F 4 123 O A E F B F E B A 321 O D CB A M N 图图 2 A M B D C N 1 图图 B A C D M N 第第九九章章 半角半角模型模型 模型模型 1 1 倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形 已知如图: 2= 1 2 AOB; OA=OB。 连接 FB,将FOB 绕点 O 旋转 至FOA 的位置,连接 FE、FE, 可得OEFOEF。 模型模型分析分析 (1)半角模型的命名:存在两个角度是一半关系,并且这两个角共顶点; (2)通过先旋转全等再轴对称全等,一般结论是证明线段和差关系
2、; (3)常见的半角模型是 90含 45,120含 60。 模型实例模型实例 例例 1 1如图,已知正方形 ABCD 中,MAN=45,它的两边分别交线段 CB、DC 于点 M、N。 (1)求证:BM+DN=MN; (2)作 AHMN 于点 H,求证:AH=AB。 例例 2 2在等边ABC 的两边 AB、AC 上分别有两点 M、N,D 为ABC 外一点, 且MDN=60,BDC=60,BD=DC。探究:当 M、N 分别在线段 AB、AC 上移动时,BM、NC、MN 之间的数量关系。 (1)如图,当 DM=DN 时,BM、NC、MN 之间的数量关系是 ; (2)如图,当 DMDN 时,猜想(1)
3、问的结论还成立吗?写出你的猜想 并加以证明。 A F E B C D A B C D M N 2 图图 A DBE C 图图1 D C E B A 例例 3 3如图,在四边形 ABCD 中,B+ADC=180,E、F 分别是 BC、CD 延长 线上的点,且EAF= 1 2 BAD。求证:EF=BE-FD。 热搜热搜精练精练 1如图,正方形 ABCD,M 在 CB 延长线上,N 在 DC 延长线,MAN=45。 求证:MN=DN-BM。 2已知,如图,在 RtABC 中,BAC=90,AB=AC,点 D、E 分别为线段 BC 上两动点,若DAE=45。探究线段 BD、DE、EC 三条线段之间的数
4、量 关系。小明的思路是:把AEC 绕点 A 顺时针旋转 90,得到ABE, 连接 ED,使问题得劲解决。请你参考小明的思路探究并解决以下问题: (1)猜想 BD、DE、EC 三条线段之间的数量关系式,并对你的猜想给予证明; (2)当动点 E 在线段 BC 上,动点 D 运动到线段 CB 的延长线上时,如图, 其它条件不变,(1)中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给 予证明。 A M C N O B AB M O C N 图图3 2 图图 图图1 A C B O M N A B D F EC 3已知,在等边ABC 中,点 O 是边 AC、BC 的垂直平分线的交点,M、N 分别在直线 AC
5、、BC 上,且MON=60。 (1)如图,当 CM=CN 时,M、N 分别在边 AC、BC 上时,请写出 AM、CN、MN 三者之间的数量关系; (2)如图,当 CMCN 时,M、N 分别在边 AC、BC 上时,(1)中的结论是 否仍然成立?若成立,请你加以证明;若不成立,请说明理由; (3)如图,当点 M 在边 AC 上,点 N 在 BC 的延长线上时,请直接写出线段 AM、CN、MN 三者之间的数量关系。 4如图,在四边形 ABCD 中,B+D=180,AB=AD,E、F 分别是线段 BC、 CD 上的点,且 BE+FD=EF。求证:EAF= 1 2 BAD。 图图2 E A D B C F B 1 图图 D F E A C 5如图,已知四边形 ABCD,EAF 的两边分别与 DC 的延长线交于点 F,与 CB 的延长线交于点 E 连接 EF。 (1)若四边形 ABCD 为正方形,当EAF=45时,EF 与 DF、BE 之间有怎样 的数量关系?(只需直接写出结论) (2)如图,如果四边形 ABCD 中,AB=AD,ABC 与ADC 互补,当 EAF= 1 2 BAD 时,EF 与 DF、BE 之间有怎样的数量关系?请写出结论并 证明; (3)在(2)中,若 BC=4,DC=7,CF=2,求CEF 的周长(直接写出结论即 可)。