1、第四章第四章 相似三角形单元测试相似三角形单元测试 一、单选题（共一、单选题（共 10 题；共题；共 30 分）分） 1、已知 ABCDEF，AB：DE=1：2，则 ABC 与 DEF 的周长比等于（ ） A、1：2 B、1：4 C、2：1 D、4：1 2、如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC，BD 相交于点 O，若 AD=1，BC=3，则的值为( ) A、 B、 C、 D、 3、如图，RtABCRtDEF ， A=35 ，则E 的度数为（ ）. A、35 B、45 C、55 D、65 4、如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O ， M、N 分别是边 AB、A
2、D 的中点，连接 OM、 ON、MN ， 则下列叙述正确的是（ ） A、 AOM 和 AON 都是等边三角形 B、四边形 MBON 和四边形 MODN 都是菱形 C、四边形 AMON 和四边形 ABCD 都是位似图形; D、四边形 MBCO 和四边形 NDCO 都是等腰梯形 5、若=，则的值为（ ） A、1 B、 C、 D、 6、 如图， 在ABC 中， D， E 分别是 AB 和 AC 上的点， 满足 AD=3， AE=2， EC=1， DEBC， 则 AB= （ ） A、6 B、4.5 C、2 D、1.5 7、已知 ABCABC， ABC的面积为 6，周长为 ABC 周长的一半，则 ABC
3、 的面积等于（ ） A、1.5 B、3 C、12 D、24 8、如图，如果 ABCDEF，那么下列结论正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 9、在 ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 DEBC，下列结论错误的是（ ） A、 B、 C、 D、 10、两个相似三角形的面积比为 1：4，则它们的相似比为（ ） A、1：4 B、1：2 C、1：16 D、无法确定 二、填空题（共二、填空题（共 8 题；共题；共 24 分）分） 11、若两个三角形的相似比为 2：3，则这两个三角形对应角平分线的比为_ 12、如图，直线 AA1BB1CC1 ， 如果， AA1=2，CC1=6，那么线段
4、BB1的长是_ 13、已知 ， 则 =_ 14、如图， ABC 与 DEF 是位似图形，位似比为 2：3，已知 AB=4，则 DE 的长为_ 15、已知线段 AB 的长为 10 厘米，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，那么较长的线段 AP 的长等于_ 厘米 16、如图，ABCDEF，如果 AC=2，AE=5.5，DF=3，那么 BD=_ 17、若 = ，则 =_ 18、如图，添加一个条件：_，使ADEACB 三、解答题（共三、解答题（共 5 题；共题；共 36 分）分） 19、如图， ABC 中，AB=AC，F 为 BC 的中点，D 为 CA 延长线上一点，DFE=B （1）求证： CDFB
5、FE； （2）若 EFCD，求证：2CF2=ACCD 20、两个相似五边形，一组对应边的长分别为 3cm 和 4.5cm，如果它们的面积之和是 78cm2 ， 则这两个 五边形面积各是多少 cm2？ 21、如图，一个矩形广场的长为 60m，宽为 40m，广场内两条纵向小路的宽均为 1.5m，如果设两条横向小 路的宽都为 x m，那么当 x 为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似？ 22、在 ABC 中，点 D 是 AB 边上一点（不与 AB 重合），AD=kBD，过点 D 作EDF+C=180 ，与 CA、 CB 分别交于 E、F （1）如图 1，当 DE=DF 时，求的值 （2）如图 2
6、，若ACB=90 ，B=30 ，DE=m，求 DF 的长（用含 k，m 的式子表示） 23、如图，四边形中 ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点，P 为对角线 AC 延长线上的任意一点，PF 交 AD 于 M，PE 交 BC 于 N，EF 交 MN 于 K 求证：K 是线段 MN 的中点 四、综合题（共四、综合题（共 1 题；共题；共 10 分）分） 24、将一副三角尺如图摆放（在 RtABC 中，ACB=90 ，B=60 ；在 RtDEF 中，EDF=90 ， E=45 ）点 D 为 AB 的中点，DE 交 AC 于点 P，DF 经过点 C (1)求ADE 的度数； (2)如图，
7、在图的基础上将DEF 绕点 D 顺时针方向旋转角 （0 60 ），此时的等腰直角三 角尺记为DEF，DE交 AC 于点 M，DF交 BC 于点 N，求证： 答案解析答案解析 一、单选题 1、【答案】 A 【考点】相似三角形的性质 【解析】直接根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出结论 【解答】ABCDEF，AB：DE=1：2， ABC 与DEF 的周长比为 1：2 故选 A 本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比 2、【答案】 B 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】由在梯形 ABCD 中，ADBC，可得AODCOB，然后由相似三角形的对应边成比 例求得答案
8、【解答】在梯形 ABCD 中，ADBC， AODCOB， ， AD=1，BC=3， 故答案为：B 3、【答案】 C 【考点】相似三角形的性质 【解析】【解答】RtABCRtDEF ， A=35 ， D=A=35 F=90 ， E=55 故选 C 【分析】由 RtABCRtDEF ， A=35 ，根据相似三角形的对应角相等，即可求得D 的度数，又 由F=90 ，即可求得E 的度数 4、【答案】 C 【考点】位似变换 【解析】【解答】根据位似图形的定义可知 A.O 与 OM 和 AM 的大小却无法判断，所以无法判断AMO 和AON 是等边三角形，故错误； B.无法判断 BM 是否等于 OB 和 B
9、M 是否等于 OC ， 所以也无法判断平行四边形 MBON 和 MODN 是菱形， 故错误； C.四边形 MBCO 和四边形 NDCO 是位似图形，故此选项正确； D.无法判断四边形 MBCO 和 NDCO 是等腰梯形，故此选项错误； 故选 C. 【分析】在 RtABO 中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，OM=AM=BM ， 但 AO 与 OM 和 AM 的大小却无法判断，所以无法判断AMO 和AON 是等边三角形.同样，我们也无法判断 BM 是否等于 OB 和 BM 是否等于 OC ， 所以也无法判断平行四边形 MBON 和 MODN 是菱形，也无法判断四 边形 MBCO 和
10、 NDCO 是等腰梯形.根据位似图形的定义可知四边形 MBCO 和四边形 NDCO 是位似图形， 故本题选 C. 5、【答案】 D 【考点】比例的性质 【解析】【解答】解：=， = 故选 D 【分析】根据合分比性质求解 6、【答案】B 【考点】平行线分线段成比例 【解析】【解答】解：DEBC， ， AD=3，AE=2，EC=1， ， DB= =1.5， AB=AD+DB=3+1.5=4.5， 故选：B 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 ， 再把 AD、AE、EC 代入求出 DB，最后根据 AB=AD+DB 代入计算即可 7、【答案】 D 【考点】相似三角形的性质 【解析】【解答】解：AB
11、C 与 ABC的周长比为 2：1， ABCABC， ABC 与 ABC的面积比为 4：1，又 ABC的面积为 6， ABC 的面积=24， 故选：D 【分析】根据题意求出两个三角形的周长比，根据相似三角形的性质解答即可 8、【答案】 B 【考点】平行线分线段成比例 【解析】【解答】解：A、ABCDEF， ，故错误； B、ABCDEF， ， 故正确； C、ABCDEF， ，故错误； D、ABCDEF， ， ACDF=BDCE，故错误 故选 B 【分析】由 ABCDEF，根据平行线分线段成比例定理求解即可求得答案注意排除法在解选择题中的 应用 9、【答案】 C 【考点】相似三角形的判定与性质 【解
12、析】【解答】解：DEBC， ADEABC， ， = ，选项 A、B、D 正确；选项 C 错误 故选 C 【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形对应边对应成比例作答 10、【答案】B 【考点】相似三角形的性质 【解析】【解答】解：两个相似三角形的面积比为 1：4， 它们的相似比为 1：2， 故选：B 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可 二、填空题 11、【答案】 2：3 【考点】相似三角形的性质 【解析】【解答】两个相似三角形的相似比为 2：3， 这两个三角形对应角平分线的比为 2：3 故答案为 2：3 【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比的性质解答 12
13、、【答案】3 【考点】平行线分线段成比例 【解析】【解答】解：如图： 过 A1作 AEAC，交 BB1于 D，交 CC1于 E， 直线 AA1BB1CC1 ， 四边形 ABDA1和四边形 BCED 是平行四边形， AA1=2，CC1=6， AA1=BD=CE=2，EC1=62=4， ， BB1CC1 ， ， ， DB1=1， BB1=2+1=3， 故答案为：3 【分析】 过 A1作 AEAC，交 BB1于 D，交 CC1于 E，得出四边形 ABDA1和四边形 BCED 是平行四边形， 求出 AA1=BD=CE=2，EC1=62=4， ， 根据 BB1CC1得出 ， 代入求出 DB1=1 即可
14、13、【答案】 【考点】比例的性质 【解析】【解答】解： 设 x=2k，y=3k， 原式= 故答案为 【分析】由 ， 则可设 x=2k，y=3k，然后把 x=2k，y=3k 代入原式进行分式的运算即可 14、【答案】 6 【考点】位似变换 【解析】【解答】解：ABC 与 DEF 是位似图形，位似比为 2：3， AB：DE=2：3， DE=6 故答案为：6 【分析】位似图形就是特殊的相似图形，位似比等于相似比利用相似三角形的性质即可求解 15、【答案】 5 5 【考点】黄金分割 【解析】【解答】解：点 P 是线段 AB 的黄金分割点，APBP， AP= AB=（5 5）厘 米， 故答案为：5 5
15、 【分析】根据黄金比值是 计算即可 16、【答案】 【考点】平行线分线段成比例 【解析】【解答】解：AC=2，AE=5.5， CE=3.5， ABCDEF， ， BD= ， 故答案为： 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论 17、【答案】 【考点】比例的性质 【解析】【解答】解： = ， 设 a=2k，b=5k， = = ， 故答案为： 【分析】根据已知设 a=2k，b=5k，代入求出即可 18、【答案】ADE=C（答案不唯一） 【考点】相似三角形的判定 【解析】【解答】解：添加ADE=C理由如下： ADE=C，A=A， ADEACB 故答案为：ADE=C（答案不唯一） 【分析】 A
16、DE 和 ACB 有一个公共角，再有一组角对应相等，那么这两个三角形就相似 三、解答题 19、【答案】 （1）证明：DFB=DFE+EFB=C+FDC， EFB=FDC， AB=AC， C=B， CDFBFE； （2）解：EFCD， EFD=FDC， B=C，DEG=B ， FDC=C=B， CDFBCA， ， BC=2CF，DF=CF， ， CF2=ACCD 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据外角的性质得到EFB=FDC，由等腰三角形的性质得到C=B，证得 CDFBFE； （2）根据平行线的性质得到EFD=FDC，C=EFB，根据等腰三角形的性质得到B=C，等量代 换
17、得到FDC=C，推出 CDFBCA，根据相似三角形的性质得到结论 20、【答案】 解：设较小五边形与较大五边形的面积分别是 xcm2 ， ycm2 则=（）2=，因而 x=y 根据面积之和是 78cm2 ， 得到y+y=78， 解得：y=54， 则 x= 54=24 即较小五边形与较大五边形的面积分别是 24cm2 ， 54cm2 【考点】相似多边形的性质 【解析】【分析】根据相似多边形相似比即对应边的比，面积的比等于相似比的平方，即可解决 21、【答案】 解：小路内外边缘所围成的两个矩形相似， 解得，x=1m， 答：当 x 为 1m 时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似 【考点】相似多边形的
18、性质 【解析】【分析】根据相似多边形的性质：对应边的比相等列出比例式，解出 x 的值即可 22、【答案】 解：（1）如图 1，连接 CD， EDF+C=180 ， D，E，C，F 四点共圆， DE=DF， DCE=DCF， 根据正弦定理得 ， ， ， ADC=180 BDC， sinADC=sinBDC， d 得， ， AD=kBD， =k； （2）ACB=90 ，B=30 ， A=60 ， 根据正弦定理得： ， 由（1）知 D，E，C，F 四点共圆， DEA+DFB=180 ， sinDEA=sinDFB， 得：， DF=， AD=kBD，DE=m， DF= 【考点】相似三角形的判定与性质
19、【解析】【分析】（1）连接 CD，由EDF+C=180 ，推出 D，E，C，F 四点共圆，根据正弦定理得 ， ， ， 得， ， 根据 AD=kBD， 根据得到结论； （2）根据三角形的内角和得到A=60 ，根据正弦定理得： ， ， ， 得： ， 求得 DF= ， 即可得到 结论 23、【答案】 证明：EF 截 PMN， 则(1) BC 截 PAE， 则(2)， 即有 ， 所以(3)， CD 截 PMA， 则， 即，(4) 因 AP=AC+CP，得 2CP+AC=2APAC，由（3），（4）得， ， 即 ， 所以由（1）得 NK=KM，即 K 是线段 MN 的中点 【考点】相似三角形的判定与性质
20、 【解析】【分析】 根据题意， EF 截 PMN， 则(1)； BC 截 PAE， 则(2)； 所以(3)而 CD 截 PMA，则 ， 即 ， (4)，因 AP=AC+CP，得 2CP+AC=2APAC，由（3），（4）得， ， 即 ， 所以由（1）得 NK=KM，即 K 是线段 AM 的中点 四、综合题 24、【答案】（1）解：ACB=90 ，点 D 为 AB 的中点， CD=AD=BD= AB， ACD=A=30 ， ADC=180 30 2=120 ， ADE=ADCEDF=120 90 =30 （2）解：EDF=90 ， PDM+EDF=CDN+EDF=90 ， PDM=CDN， B=60 ，BD=CD， BCD 是等边三角形， BCD=60 ， CPD=A+ADE=30 +30 =60 ， CPD=BCD， 在 DPM 和 DCN 中， ， DPMDCN， 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）首先证明ACD=A，再求出ADC=120 ，再根据ADE=ADCEDF 计算 即可得解；（2）只要证明 DPM 和 DCN 相似，再根据相似三角形对应边成比例即可证明
