1、 数学参考答案与评分标准 第 1 页（共 4 页） 广东省广东省 2021 届高三届高三综合能力测试综合能力测试 数数 学学参考答案与评分标准参考答案与评分标准 一、选择题一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 B A D C C B B A 二二、选择题、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选 错的得 0 分 题号题号 9 10 11 12 答案答案 ABC AD ABC BD 三三、填空题、填空题：本大共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分
2、132yx 1448 3或（注：只填一个答案且正确给 3 分，有错误答案不给分） 152,2 2（2 分），4 22（3 分，填36 16 2也给 3 分） 16 1 4 三三、解答解答题题：本大题共 6 小题，满分 70 分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【解析】由sin2sinbAaB，可得2 sincossinbAAaB，1 分 因为 sinsin ab AB ，所以sinsinaBbA，因此2cos1A，即 1 cos 2 A，2 分 因为(0,)A，所以 3 A 3 分 方案一：方案一：选条件和 由 sinsin bc BC 和sin2sinBC，可得2bc， 4 分
3、由 222 2cosabcbcA和2 3a ，得 222 1242ccc，解得2c 或2c （舍去） ，6 分 则4b ，这样的三角形存在8 分 其面积 113 sin4 22 3 222 ABC SbcA 10 分 方案二：方案二：选条件和 因为 2 3 4 sinsin3 2 ba BA ， 5 分 又sin8bB ，解得4 2b ，sin2B ，7 分 sin2B 与0sin1B矛盾，所以这样的ABC不存在10 分 方案三：方案三：选条件和 因为 sinsin()sin() 3 CABB，则 sin2sin()3cossin 3 BBBB， 4 分 所以cos0B ，则 2 B ，8b
4、， 6 分 数学参考答案与评分标准 第 2 页（共 4 页） G A B C A1 B1 C1E F 因为 sin 2 sin bB cC ，则4c ， 7 分 所以 22 4 3abc，这样的三角形存在8 分 其面积 11 4 348 3 22 ABC Sac10 分 18 【解析】 （1）在直棱柱 111 ABCABC中， 1 BB 平面ABC，1 分 AB平面ABC， 1 BBAB， 2 分 侧面 111111 ,ABB A BCC B ACC A的面积依次为16,12,20，:4:3:5AB BC AC ， 222 ABBCAC，即ABBC，4 分 又 1 BBBCB，AB 平面 11
5、 BBCC，5 分 又AB平面ABE，平面ABE 平面 11 BBCC 6 分 （2）取AB的中点为G，连接,EG GF， 7 分 ,G F分别是,AB BC的中点，/ /FGAC且 1 2 FGAC，8 分 E为 11 AC的中点， 111 11 22 ECACAC，又 11/ / ACAC， 9 分 1/ / ECGF且 1 ECGF，四边形 1 EGFC是平行四边形，10 分 1 / /C FEG，又 1 C F 平面ABE，EG 平面ABE， 1 / /C F平面ABE12 分 19 【解析】 （1）由题设可得2(2)1 nn Sna， 当1n 时， 11 231aa，得 1 1a ，
6、1 分 当2n时， 11 2(1)1 nn Sna ，两式相减得 1 2(2)(1) nnn anana ，3 分 所以 1 (1) nn nana ，即 1 1 nn aa nn ，所以 1 n a n 是常数列， 4 分 首项 1 1 1 12 a ，即 1 12 a n ，5 分 所以 1 2 n n a ，所以数列 n a的通项公式为 1 2 n n a 6 分 （2）因为2n n a ，则 n a是首项 1 2a ，公比2q 的等比数列， 所以 1 2(12 ) 22 12 n n n S ， 7 分 数学参考答案与评分标准 第 3 页（共 4 页） 由题设知 1 2 (22)21
7、nn n b ，得 3 4 2 n n b ，9 分 所以 22 333111 (4)(4)(4)43() 222222 n nn Tn 11 (1) 3 22 4343 1 2 1 2 n n nn 12 分 20.【解析】 （1）由0.02 20.03 20.05 20.15 220.05 20.04 20.01 21a ， 解得0.1a 2 分 （2）4 0.046 0.048 0.1 10 0.1 12 0.3 14 0.2 16 0.1 18 0.0820 0.0212.16 ， 3 分 0.95450.6827 (4.8815.8)(2)0.8186 2 PZPZ ， 5 分 则1
8、0000 0.81868186（人） ，所以日健步步数Z位于区间4.88,15.8范围内的人数约为8186人6 分 （3） 设从该企业员工中随机抽取20人日健步步数在13千步至15千步内的员工有X人， 则(20,0.2)XB， 其中有k名员工的概率为 20 20 ()0.20.8 kkk P XkC ，其中0,1,2,20k 7 分 记 20 20 1121 20 0.20.8()21 ( ) (1)0.20.84 kkk kkk CP Xkk f k P XkCk ， 9 分 当( )1f k 时，4.2k ，则(1)()P XkP Xk； 当( )1f k 时，4.2k ，则(1)()P
9、XkP Xk11 分 所以当4k 时，()P Xk最大 12 分 21.【解析】 （1）设椭圆的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，焦距为2c， 依题意，可得 22 3 c ac ，解得2a ，1c ，2 分 又 222 abc，则3b ，3 分 所以椭圆C的标准方程为： 22 1 43 xy 4 分 （2）由（1）得( 2,0)A ，(1,0)F，设直线:1PQ xmy， 11 ( ,)P x y， 22 (,)Q xy，5 分 联立 22 1 1 43 xmy xy ，消元x，整理得 22 (34)690mymy，6 分 则 12 2 6 34 m yy m ， 12 2
10、 9 34 y y m ，7 分 依题意，可设(3,) M My，(3,) N Ny，则由 1 1 322 M yy x ，可得 11 11 55 23 M yy y xmy ，8 分 同理，可得 2 2 5 3 N y y my ，9 分 数学参考答案与评分标准 第 4 页（共 4 页） 所以直线FM和直线FN的斜率之积 12 12 00251 3 13 14 (3)(3) NM FMFN yyy y kk mymy 10 分 12 2 1212 251 43 ()9 y y m y ym yy 2 2 22 9 25 () 1 34 96 4 ()3()9 3434 m m mm mm 1
11、1 分 222 125 925 925 491827364 3616mmm 所以直线FM和直线FN的斜率之积为定值 25 16 12 分 22 【解析】 （1）令 3 ( ) ( )1e e x x f x h xax ，则由于e0 x ，( )0f x 当且仅当( )0h x 因为 3 e 27 a ， 2 ( )(3)e x h xaxx ，1 分 所以当3x时，( )0h x且等号成立当且仅当0 x ，当3x 时，( )0h x 因此，( )h x在(,3)上单调递减，在(3,)上单调递增2 分 取 0 2563xa，则 00 0 4 3330 44 00 0 4 ()1e14(e) e
12、10 4 xx x xa h xaxa x ，3 分 又 3 27 (3)10 e ha ，(0)10h ，根据零点存在定理，( )h x在(0,3)， 0 (3,)x上各有一个零点4 分 因此，( )h x有且只有两个零点，进而( )f x有且只有两个零点5 分 （2）当0 x 时， 342 11 e1 62 x axxx对任意实数a均成立，6 分 故只需考虑当0 x 时， 42 3 11 e(1) 62 x xx a x 恒成立，令 42 3 11 e(1) 62 ( ) x xx g x x ， 则 4232 42 1111 (3)e23(3)(e1) 6262 ( ) xx xxxxxxxx g x xx ，7 分 令 32 11 ( )1 (1)e 62 x xxxx ，则 3 1 ( )e0(0) 6 x xxx ，故( )x在(0,)单调递增8 分 因此，当0 x 时，( )(0)0 x，即 32 11 e10 62 x xxx ，9 分 x (0,3) 3 (3,) ( )g x 0 ( )g x 3 e22 27 因此，a的取值范围为 3 e22 (, 27 12 分
