1、郑州市、商丘市名师联盟郑州市、商丘市名师联盟 20202021 学年高三学年高三 11 月质量检测月质量检测 数 学（理科） 考试注意：考试注意： 1本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2答题前，考试务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3考试作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡可上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区超出答题区 域书写的答案无效域书写的答案无效 ，在试题卷在试题卷 、草稿纸上作答无效草稿纸上作答无
2、效 。 4本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，函数，导数，三角函数，三角恒等变换，解三角形，平面向量， 数列，不等式，立体几何。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。小题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知集合|5Ax xx，|1216 x Bx，N为自然数集，则 AB N 等于（ ） A4,5 B4,5 C 4 D 5 2 “3x”是“ 2 7120 xx”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3设 3 log 42a，则4 a （ ） A 1 16 B 1
3、9 C 1 8 D 1 6 4 过平面外的直线l， 作一组平面与相交， 若所得交线为, , ,a b c ， 则这些交线的位置关系为 （ ） A平行或交于同一点 B相交于同一点 C相交但交于不同的点 D平行 5三棱柱 111 ABCABC中，侧面与底面垂直，底面是边长为 2 的等边三角形，若直线 1 AB与平面 11 ACC A 所成角为 45 ，则棱柱的高为（ ） A2 2 B2 C2 D1 6已知正实数a，b满足321ab，则 61 ab 的最小值为（ ） A32 B34 C36 D38 7已知函数 ex xa f x 的图象在点 1,1f 处的切线与直线e20 xy平行，则a（ ） A1
4、 Be Ce D1 8如图，在三棱柱 111 ABCABC中，M，N分别为棱 1 AA， 1 BB的中点，过MN作一平面分别交底面 三角形ABC的边BC，AC于点E，F，则（ ） A/MF NE B四边形MNEF为梯形 C四边形MNEF为平行四边形 D 11/ ABNE 9 已知函数 2sin0, 2 f xx 的部分图象如图所示， 其中 01f， 5 2 MN 将 f x的图象向右平移 1 个单位，得到函数 g x的图象，则 g x的解析式是（ ） A 2 2sin 33 yx B2cos 3 yx C 2 2sin 33 yx D2cos 3 yx 10已知函数 2 lnf xxx，则不等
5、式211fxf x的解集为（ ） A0,11,2 B,02, C, 20,11, D2,11, 11将一个半径为6的半球切削成一个正方体（保持正方体的一个面在半球底面所在平面上） ，所得正方 体体积的最大值为（ ） A4 2 B8 C2 2 D4 12 定义 x表示不超过x的最大整数， 如0.390，1.281 若数列 n a的通项公式为 2 log n an， n S为数列 n a的前n项和，则 2047 S（ ） A 11 22 B 11 3 22 C 11 6 22 D 11 9 22 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题。小题。 13若实数x，y满足约束条件 10, 220,
6、 3230, xy xy xy 则目标函数45zxy的取值范围为_ 14在ABC中，BAABCB，2,1BC ，若BC边的中点D的坐标为3,1，点A的坐标为 2,t ，则t _ 15 已知数列 n a中， 1 1a ， 2 2a ， 对任意正整数n， 2 2cos nn aan ， n S为 n a的前n项和， 则 100 S_ 16定义在R上的函数 f x满足： 2 2fxfxx，且当0 x时， 2fxx，则不等式 25510f xxxf 的解集为_ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 已知平面直角坐标系内三点A，B
7、，C在一条直线上， 满足3,1OAm ，,3OBn，7,4OC ， 且OAOB，其中O为坐标原点 （1）求实数m，n的值； （2）设AOC的重心为G，且 2 3 OGOB，求cosAOC的值 18在递增的等差数列 n a中， 6 11a ， 5 a是 2 a和 14 a的等比中项 （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n S 19已知在四边形ABCD中，2ABAD，3BC ，1CD，180BD （1）求AC的长及四边形ABCD的面积； （2）点P为四边形ABCD所在平面上一点，若PB ，求四边形APCD面积的最大值及此时点P的 位
8、置 20 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为梯形， 平面PAD 平面ABCD，/BC AD，PAPD， ABAD，60PDA，E为侧棱PD的中点，且2ABBC，4AD （1）证明：/CE平面PAB； （2）求二面角A PB C的余弦值 21在数列 n a中， 1 1a ，对任意 * nN， 11 212 nnnn aa aa （1）求数列 n a的通项公式 （2）若数列 n b满足： * 11 1 12 1 22 2 nn n n bbb nnN aaa 求数列 n b的通项公式； 令 196nn cbba，若 119 102 kkk ccc ，求正整数k的值 22已知函数 1 l
9、nf xxaxaR x （1）求函数 f x的单调区间； （2）当1a时， 1 2 exg xf xx x ，记函数 yg x在 1 ,1 4 上的最大值为m，证明： 430mm 20202021 学年高三学年高三 11 月质量检测巩固卷数学（理科）月质量检测巩固卷数学（理科） 参考答案、提示及评分细则参考答案、提示及评分细则 1C |04Bxx，|45 AB xx， 4 AB N 2A 记“ 2 7120 xx”的解集为集合B，则 |3Bx x 或4x，所以“3x”是 “ 2 7120 xx”的充分不必要条件故选 A 3B 因为 3 log 42a，所以 42 2log 3log 3a ，所
10、以 2 log 3a ，所以 2 2 log 3 1 44 9 a 故选 B 4A 若/l，则/ , / , / ,l a l b l c ，/ /ab c若lP，则, , ,a b c 交于点P 5C 6A 由0a，0b且321ab，得 6161123123 3218232202 baba ab abababab ，当且仅当12 3ba ab ，即2ab 时，取等号，此时 1 , 4 1 , 8 a b 则 61 ab 的最小值为 32 7D 1 ex xa fx ， 1 1 ee a f ，所以1a 8B 在 11 AAB B中， 1 AMMA， 1 BNNB，/AM BN，/MN AB又
11、MN 平面ABC， AB 平面ABC，/MN平面ABC又MN 平面MNEF，平面MNEF平面ABCEF， /MN EF，/EF AB显然在ABC中，EFAB，EFMN，四边形MNEF为梯形，故选 B 9B 因为 2 2 5 2 42 T MN ，所以6T ，所以 2 3T ， 2sin 3 f xx 由 02sin1f ，, 2 ，得 5 6 ，所以 5 2sin 36 f xx 5 2sin12sin2cos 36323 g xxxx 10C 函数 2 lnf xxx的定义域为,00,，且 2 2 lnlnfxxxxxfx， f x为 偶 函 数 ， 且 在0,上 单 调 递 增 由 211
12、fxf x 可得211fxf x， 即211 0 xx ， 平方可得 2 20 xx， 2x 或0 x且1x 故选 C 11 B 由题意， 当正方体内接于半球时体积最大， 如图， 连接球心O与点C， 连接 1 OC， 则 1 6OC 设 正方体棱长为a，则在 1 RtOCC中， 222 11 OCCCOC， 2 2 2 6 2 aa ，解得2a，故正方体体 积的最大值为 8故选 B 12 D 当 2 0log1n时，1n ， 即 1 0a （共 1 项） ； 当 2 1log2n时，2,3n ， 即 23 1aa（共 2 项） ； 当 2 2log3n时，4,5,6,7n ， 即 4567 2
13、aaaa（共 4 项） ； ； 当 2 log1knk时， 1 2 ,21,21 kkk n ，即 1 22121 kkk aaak （共2k项） ，由 2 12222047 k ，得 1 1 2 2047 1 2 k 即 1 22048 k ，所以10k 所以 2310 2047 0 1 1 22 23 210 2S ， 利用错位相减法可得 11 2047 9 22S故选 D 13 5 4 画出可行域 （如图阴影部分） ， 利用图形可得， 当直线45zxy过点5,6A时，z取最小值， 最小值为10；当直线过点 5 9 , 2 4 B 时，z取最大值，最大值为 5 4 143 由BAAB CB
14、得BCAC，因为BC边的中点为D，所以ADBC，2,1BC ， 1,1ADt ，那么2 10AD BCt ，解得3t 155050 当n为奇数时， 2 1 nn aa ，即数列 n a的奇数项成以 1 为首项，1 为公差的等差数列；当n 为偶数时， 2 3 nn aa ，即数列 n a的偶数项成以 2 为首项，3 为公差的等差数列，所以 1 0 0139 9241 0 0 5015050 21495050 22 Saaaaaa 16 5 , 2 因为 2 2fxf xx， 所以 2 2 0fxxf xx ， 令 2 g xf xx， 则 0gxg x，所以 g x为奇函数又因为当0 x时， 2
15、0gxfxx，所以 g x在 ,0 上单调递减，即 g x在R上单调递减而不等式 2 2 2551055f xxxf xxxg xxffg， 所以5xx ， 所以 5 2 x 17解： （1）因为三点A，B，C在一条直线上，所以/AB BC， 又3,2ABnm，7,1BCn，所以372nnm ， 因为OAOB，所以3310nm，即1nm， 由、解得 8 9 m n ，或 1 2 m n （2）因为G为OAC的重心，且 2 3 OGOB，所以点B为线段AC的中点， 所以1m，2n， 所以3,2OA ，7,4OC ， 因此 21 85 cos 51365 OA OC AOC OA OC 18解：
16、（1）设公差为0d d ，由题意，得 1 2 111 511, 413, 0 ad adadad d 解得 1 1, 2 a d 所以 1 121 n aandn， 所以数列 n a的通项公式为 * 21N n ann （2）由（1）知 1 21 21 n b nn ， 所以 111 2 2121 n b nn ， 所以 111 11111 1 232 352 2121 n S nn 111111 1 23352121nn 11 1 22121 n nn 19解： （1）设ACx，在ABC中，由余弦定理，得 22222 4913 cos 21212 ABBCACxx B AB BC ， 同理在
17、ACD中， 2 5 cos 4 x D 因为180BD ，所以coscos0BD，即 22 135 0 124 xx ，解得7x 所以 1 cos 2 B ， 1 cos 2 D ，又B，0,D，所以60B，120D， 所以 113 33 2 3 sin602 1 sin1202 3 2222 ABCACDABCD SSS 四边形 （2）要使四边形APCD的面积最大，则点P和点D应在AC的两侧，且使得APC的面积最大 在APC中， 222 2cosACPAPCPA PCP， 所以 22 72PAPCPA PCPCPA PCPA PCPA，当且仅当PAPC时，等号成立， 即当PAPC时，max7
18、PA PC 又 13 sin60 24 APC SPA PCPA PC ， 所以max 7 3 4 APC S ， 所以四边形APCD面积的最大值为 7 339 3 424 ，此时APC为等边三角形，即7PAPC且 点P与点D分居于AC的两侧 20 （1）证明：取AD的中点O，连接OC、OE E为侧棱PD的中点，/OE PA 2BC ，4AD ，/BC AD，四边形ABCO为平行四边形，则/OC AB OCOEO，平面/OCE平面PAB CE平面OCE，/CE平面PAB （2）解：过点P作PFAD于F，平面PAD 平面ABCD，PF 平面ABCD PAPD，60PDA，4AD ，2PD ，3P
19、F ，1FD 取AD的中点O，如图所示，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz， 则 0,1, 3P，2,0,0C，2, 2,0B，0,2,0D 0,1,3PD ， 2, 3,3PB ，0,2,0BC 设 111 ,nx y z为平面PBC的法向量， 则 111 11 1 1 2330, 230, 0 270 PB nxyz xz y BC n 取 1 2z ，则 3,0,2n 易证PD 平面PAB，则 0,1,3mPD为平面PAB的一个法向量 2 321 cos, 72 7 n m n m n m ， 由图可知，二面角A PB C为钝角， 二面角A PB C的余弦值为 21 7 21解： （
20、1）由题意知0 n a ，因为 11 212 nnnn aa aa ， 所以 11 20 nnnn aaaa 因为0 n a ，所以 1 0 nn aa ，所以 1 20 nn aa ， 所以 1 2 n n a a ，即 1 2 n n a a ， 所以 n a是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，所以 1* 2N n n an （2）因为 * 11 1 12 1 22N 2 nn n n bbb nn aaa ，且 1* 2N n n an ， 所以 * 11 11 1 22N 222 n n nn bb bnn （*） 当2n时， 21 1 22 1 24 222 n n nn bb
21、bn ， 两边同乘以 1 2 ，得 121 211 1 2 2222 nn nn bbb n ， 与（*）式相减，得2 n bn n； 当1n 时， 1 1b 适合上式， 所以 * N n bn n 因为 196 13 nn cbban， 所以 13,13, 13,13, n n n c nn 所以当13n时，数列 n c的前n项和 2 25 2 n nn S ； 当13n时，数列 n c的前n项和 2 25312 2 n nn S ， 满足 2 2 19 19251931213198 22 k kkkk S 当1 13k ，即14k 时， 2 2 1 25112726 22 k kkkk S
22、 ， 由 * 191 102N kk SSk ，得 2 7100kk，解得2k 或5k ； 当1 13k ，即14k 时， 2 2 1 125131227338 22 k kkkk S ， 由 * 191 102N kk SSk ，得20172k ，解得 * 8.6Nk ，舍去 故满足条件k的值为 2 或 5 22 （1）解：由函数 1 lnf xxax x 的定义域是0,， 则 2 22 111axx fxa xxx 当1 40a ，即 1 4 a 时， 2 10axx 对任意 0,x恒成立， 即 0fx对任意0,x恒成立，且不恒为 0 故函数 f x的单调递减区间为0,； 当 1 0 4
23、a时，方程 2 10axx 的两根依次为 1 114 2 a x a ， 212 114 0 2 a xxx a ， 此时在区间 1 0,x， 2, x 上， 0fx；在区间 12 ,x x上， 0fx， 故 函 数 f x的 单 调 递 减 区 间 为 114 0, 2 a a ， 114 , 2 a a ， 单 调 递 增 区 间 为 114114 , 22 aa aa ； 当0a时，方程 2 10axx 的两根依次为 1 114 2 a x a ， 221 114 0 2 a xxx a ， 此时在区间 1 0,x上， 0fx；在区间 1, x 上， 0fx， 故函数 f x的单调递减区
24、间为 114 0, 2 a a ，单调递增区间为 114 , 2 a a ； 当0a时， 2 1x fx x ，此时在区间 0,1上， 0fx ；在区间 1,上， 0fx ， 故函数 f x的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1, （2） 证明： 当1a时， 111 2 eln2 e2 eln xxx g xf xxxxxxxx xxx ， 则 11 1 e11e xx gxxx xx 当 1 1 4 x时，10 x ，令 1 exh x x ， 则 2 1 e0 x h x x ，所以 h x在 1 ,1 4 上单调递增 因为 1 2 1 e20 2 hh x ， 1e 10h ， 所以存
25、在 0 1 ,1 2 x 使得 0 0h x，即 0 0 1 ex x ，即 00 ln xx 故当 0 1 , 4 xx 时， 0h x ，此时 0g x； 当 0,1 xx时， 0h x ，此时 0gx 即 g x在 0 1 , 4 x 上单调递增，在 0,1 x上单调递减， 则 0 00000000 max 00 12 2 eln212 x mg xg xxxxxxxx xx 令 2 12G xx x ， 1 ,1 2 x ，则 2 22 2 1 2 20 x G x xx ， 所以 G x在 1 ,1 2 x 上单调递增，则 1 4 2 G xG ， 13G xG ， 所以43m 故430mm
