1、 数列的通项数列的通项求法整理求法整理 一、知识梳理一、知识梳理 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 公式法公式法：转化为等差数列或等比数列，利用通项公式求解. 作商法作商法：已知)( 21 nfaaa n 求 n a，用 (1),(1) ( ) ,(2) (1) n fn f na n f n . 累加法累加法：形如 1 ( ) nn aaf n 求 n a,则 121121 ()() () nnnnn aaaaaaaa (2)n。 注意：( )f n不是同一个常数，同一个常数即为等差数列，但( )f n是可求的数列. 累乘法累乘法：形如 1 ( )
2、 n n a f n a 求 n a，则 12 1 121 nn n nn aaa aa aaa (2)n 。 注意：( )f n不是同一个常数，同一个常数即为等差数列，但( )f n是可求的数列. 倒数法倒数法：形如 1 1 n n n a a kab 的递推数列都可以用倒数法求通项. 注意：倒数后形式为 1 n a - 1 1 n a =( )f n为一个可求的数列. 构造法构造法： 1 ( ) nn akaf n 的递推关系求 n a，常利用待定系数法待定系数法构造等差、等比数列求解. 如 1nn akab （, k b为常数） 的递推数列， 构造 1 () nn ak a ， 确定系数
3、（待 定系数）转化为公比为k的等比数列，求 n a. n S与 n a转化法：利用 1 1 ,1, ,2. n nn S n a SSn 把 n S转化为 n a或把 n a转化为 n S. 二、问题研究二、问题研究 1. 由数列的递推关系求通项 形如： * 1 ()(2,) nn af annN 【例 1】 (1)已知数列an中， a11， an1an2n1， 则 a5_， n a=_。 (2)若 a11，an12nan，则通项公式 an_。 (3)若 a11，an1 2an an2，则数列an的通项公式 an_。 (4)已知数列 n a满足23 1 nn aa，且1 1 a，求数列 n a
4、的通项公式 解析 (1)依题意得 an1an2n1， a5a1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(a5a4) 1357925。 ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(a5a4)+ 1 () nn aa 135（2n-1）= 2 1(21) 2 nn n . (2)由 an12nan，得 an an12 n1(n2)， 所以 ana1 a2 a1 an1 an2 an an11 2 2 n22n12123(n1) (1) 2 2 n n 。 又 a11 适合上式，故 an (1) 2 2 n n . (3)因为 an1 2an an2，a11，所以 an0， 所以 1 2111 22
5、n nnn a aaa ，即 1 an1 1 an 1 2。 又 a11，则 1 a11，所以 1 n a 是以 1 为首项，1 2为公差的等差数列。 所以 1 an 1 a1(n1) 1 2 n 2 1 2。所以 an 2 n1(nN *)。 (4)法一法一： 1 32 nn aa ， 1 1333(1) nnn aaa ， 1 1 3 1 n n a a （常数） ， 又 a11，则 1 12a ， 1 n a是首项为 2，公比为 3 的等比数列， 1 +1=2 3n n a 1 =2 31(*) n n anN 法二：法二： 1 32 nn aa ，设 1 3() nn aa , 展开整
6、理 1 32 nn aa ，与原式比较，得2 2,1 ； 1 1333(1) nnn aaa ， 1 1 3 1 n n a a （常数） ，以下同法一. 【变式训练】【变式训练】 (1)在数列an中，a12，an1anln 1 (1) n ，则 an等于( ) A2lnn B2(n1)lnn C2nlnn D1nlnn (2)若 a11，nan1(n1)an(n2)，则数列an的通项公式 an_。 (3)若 a11，an12an3，则通项公式 an_。 解析 (1)因为 an1anlnn1 n ln(n1)lnn， 所以 a2-a1ln2-ln1，a3-a2ln3-ln2，a4-a3ln4-
7、ln3，an-an1lnn-ln(n1)(n2)。 把以上各式分别相加得 ana1lnnln1，则 an2lnn，且 a12 也适合， 因此 an2lnn(nN*)。 (2)由 nan1(n1)an(n2)，得 an an1 n n1(n2)。 所以 an an an1 an1 an2 an2 an3 a3 a2 a2 a1 a1 n n1 n1 n n2 n1 3 4 2 3 1 2 n1， 又 a1也满足上式，所以 an 2 n1。 (3)由 an12an3，得 an132(an3)。 所以bn 1 bn an 13 an3 2，又 a134，且。 所以an3是以 4 为首项，2 为公比的
8、等比数列。 所以 bn4 2n 12n1，所以 a n2 n13。 2. n S与 n a转化法求通项 形如： * ()() nn Sf anN 【例 2】数列an满足nN*，a1 a2 a3ann2n。 (1)求数列an的通项公式； (2)设 bnan1an，求数列bn的前 n 项和 Sn。 解 (1)数列an满足nN*，a1 a2 a3ann2n， 当 n1 时，a12，当 n2 时， 由 a1 a2 a3ann2n， 可得 a1 a2 a3an1(n1)2n1(n1)n， 则 an a1a2an a1a2an1 n1 n1， 而 a12 不符合 ann1 n1，所以 an 2，n1， n
9、1 n1，n2。 (2)由 bnan1an， 得 Snb1b2bn(a2a1)(a3a2)(an1an)an1a1n2 n 22 n1。 【例 3】设数列an满足 a1a2a3annan(nN*)。 (1)求 a1，a2； (2)若 bnn(2n)(an1)，求bn的最大项，并写出取最大项的项数。 解 (1)因为 a1a2a3annan(nN*)， 所以 a11a1，a1a22a2， 解得 a11 2，a2 3 4。 (2)因为 a1a2a3annan(nN*)， 所以 a1a2a3an1n1an1(n2)。 两式相减得 an11 2(an11)(n2)， 又因为 a111 2， 所以an1是
10、首项为1 2，公比为 1 2的等比数列， 所以 an1 1 ( ) 2 n . 所以 bnn(2n)(an1)n(n2) 1 ( ) 2 n 。 所以 bn1bn(n1)(n1) 1 1 ( ) 2 n n n2) 1 ( ) 2 n n24n 2n 1。 令 bn1bn0，得 2 3n2 3。 因为 nN*，所以当 n1,2,3 时，bnbn1， 所以 b1b2b3b5b6， 所以当 n4 时，bn取得最大值，即 b4是bn的最大项。 令 n4，则 b41 2。 【变式训练】【变式训练】 （1）设 Sn是数列an的前 n 项和，Sn0，且 a11，an1SnSn1，则 Sn_ 解析 （1）因
11、为 an1Sn1Sn，an1SnSn1， 所以 Sn1SnSnSn1. 因为 Sn0，所以 1 Sn 1 Sn11，即 1 Sn1 1 Sn1. 又 1 S11，所以 1 Sn是首项为1，公差为1 的等差数列 所以 1 Sn1(n1) (1)n，所以 Sn 1 n. （2）已知数列an满足 a12a23a34a4nan3n22n1，求 an. 解析 （2）设 Tn=a12a23a34a4nan， 当 n1 时，a1T13 122 112， 当 n2 时， nanTnTn13n22n13(n1)22(n1)1 6n5， 因此 an6n5 n ， 显然当 n1 时，不满足上式 故数列an的通项公式为 an 2，n1， 6n5 n ，n2.
