1、7.3.2 正弦型函数的性质与图像正弦型函数的性质与图像 课后篇巩固提升 基础达标练 1.函数 y=2sin( - )的单调递增区间是( ) A.* - - +(kZ) B.* - - +(kZ) C.* - - +(kZ) D.* - +(kZ) 答案 B 2.(多选)有下列四种变换方式,其中能将正弦曲线 y=sin x 的图像变为 y=sin 2x+ 的图像的是( ) A.横坐标变为原来的 ,再向左平移 个单位 B.横坐标变为原来的 ,再向左平移 个单位 C.向左平移 个单位,再将横坐标变为原来的 D.向左平移 个单位,再将横坐标变为原来的 解析 y=sin x 的图像横坐标变为原来的 ,
2、再向左平移 个单位,得 y=sin 2 x+ =sin 2x+ 的图像, 故 A 不正确; y=sin x 的图像横坐标变为原来的 ,再向左平移 个单位,得 y=sin 2 x+ =sin 2x+ 的图像,故 B 正确; y=sin x 的图像向左平移 个单位,再将横坐标变为原来的 ,得 y=sin 2x+ 个单位,故 C正确; y=sin x 的图像向左平移 个单位,再将横坐标变为原来的 ,得 y=sin 2x+ 的图像,故 D不正确. 答案 BC 3.已知函数 f(x)=Asin(2x+) A0,| ,若 x= 是 f(x)图像的一条对称轴方程,则下列说法正确的是 ( ) A.f(x)图像
3、的一个对称中心为 ,0 B.f(x)在 - 上单调递减 C.f(x)的图像过点 0, D.f(x)的最大值是 A 解析x= 是 f(x)图像的一条对称轴方程, 2 += +k(kZ), 又|0,0,| 的图像的一部分.试确定函数 y=Asin(x+)的解析式. 解(方法一)由图可知 A=3,B( ),C( ), 则 解得 故 y=3sin( ). (方法二)由振幅情况知 A=3, , T= ,解得 =2. 由 B( ),则 3sin( )=0,又| ,故 = .故 y=3sin( ). 能力提升练 1.关于 x的方程 sin x+ =2m在0,内有不同的两实根,则实数 m 的取值范围为( )
4、A. B. C. D. 解析由于 0 x,所以 x+ ,由于关于 x 的方程 sin x+ =2m在0,内有不同的两实根,令 u=x+ ,由函数 y=sin u 与 y=2m的图像可知, 2m1,解得 m0)个单位后得到函数 g(x)的图像,若函数 g(x)为 偶函数,则 的最小值为( ) A. B. C. D. 解析由题意得 g(x)=sin 2(x-)+ =sin 2x-2+ (0),因为 g(x)为偶函数,所以函数 g(x)的图像关 于直线 x=0对称,所以当 x=0 时,函数 g(x)取得最大值或最小值,所以 sin -2+ =1,所以- 2+ =k+ ,kZ,解得 =- ,kZ,因为
5、 0,所以当 k=-1时,min= ,故选 B. 答案 B 3.已知 0,函数 f(x)=sin( )在( )上单调递减,则 的取值范围是 . 解析结合 y=sin x 的图像可知 y=sin x在* +上单调递减,而 y=sin( )=sin* ( )+, 可知 y=sin x的图像向左平移 个单位之后可得 y=sin( )的图像,故 y=sin( )在* +上单调递减,应有( ) * +,解得 . 答案* + 4.函数 y=Asin(x+)( )的最小值为-2,其图像相邻的最高点与最低点的横坐标之 差是 3,又图像过点(0,1),则这个函数解析式是 ,单调递增区间为 . 答案 y=2sin
6、( ) 6k-2,6k+,kZ 5.已知函数 f(x)=Asin x+ (A0,0)的最小正周期为 ,且该函数图像上的最低点的纵坐标为-3. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的单调递增区间及对称轴方程. 解(1)f(x)的最小正周期为 , 又 0,T= =,= =2. 又函数 f(x)图像上的最低点纵坐标为-3,且 A0, A=3.f(x)=3sin 2x+ . (2)由 2k- 2x+ 2k+ ,kZ, 可得 k- xk+ ,kZ, 函数 f(x)的单调递增区间为 k- ,k+ ,kZ,由 2x+ +k,得 x= ,kZ, 函数 f(x)的对称轴方程为 x= ,kZ.
7、 素养培优练 某景区每年都会接待大批游客,在景区的一家专门为游客提供食宿的客栈中,工作人员发现为游客准 备的食物有些月份浪费严重.为了控制经营成本,减少浪费,计划适时调整投入.为此他们统计了每个 月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化,并且有以下规律:每年 相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;入住客栈的游客人数在 2月份最少,在 8 月份最多,相差 约 400;2月份入住客栈的游客约有 100 人,随后逐月递增,在 8 月份达到最多. (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系; (2)请问客栈在哪几个月份要准备 400 份以上的食
8、物? 解(1)设该函数为 f(x)=Asin(x+)+B(A0,0,|),其中 x=1,2,12. 根据,可知这个函数的周期是 12; 由,可知 f(2)最小,f(8)最大,且 f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为 200; 由,可知 f(x)在2,8上单调递增,且 f(2)=100, 所以 f(8)=500. 根据上述分析可得 =12,故 = . 又 A=200,则 B=500-200=300. 当 x=2时,f(x)最小,当 x=8时,f(x)最大, 故 sin 2 + =-1,且 sin 8 + =1. 又|,故 =- . 所以入住客栈的游客人数与月份之间的函数关系式为 f(x)=200sin x- +300(x=1,2,12). (2)由条件,可知 200sin x- +300400, 化简得 sin x- ,即 2k+ x- 2k+ ,kZ,解得 12k+6x12k+10,kZ. 因为 xN*,且 1x12,故 x=6,7,8,9,10.即客栈在 6,7,8,9,10这五个月份要准备 400 份以上的食物.
