1、6.3.1 二项式定理 课标阐释 思维脉络 1.能用计数原理证明二项式定理.(逻辑推 理) 2.理解二项式定理及二项展开式的特征,能 记住二项式定理和二项展开式的通项.(数 学抽象) 3.正确运用二项展开式展开或化简某些二 项式,运用通项求某些特定项、二项式系数 或项的系数.(数学运算) 4.能解决与二项式定理有关的简单问题.(数 学运算) 激趣诱思 知识点拨 我们在初中学习了(a+b)2=a2+2ab+b2,试用多项式的乘法推导 (a+b)3,(a+b)4的展开式.上述两个等式的右侧有何特点?你能用组合 的观点说明(a+b)4是如何展开的吗? 激趣诱思 知识点拨 一、二项式定理 (a+b)n
2、=n 0an+ n 1a n-1 b+n kan-kbk+ n nbn,nN*. 1.这个公式叫做二项式定理. 2.二项展开式:等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,二项展 开式共有n+1项. 3.二项式系数:各项的系数 (k=0,1,2,n)叫做二项式系数. C 激趣诱思 知识点拨 名师点析理解二项式定理的注意事项 (1)二项式定理形式上的特点: 二项展开式有n+1项. 二项式系数都是组合数 (k=0,1,2,n),它与二项展开式中某 一项的系数不一定相等. (2)二项式定理中的字母a,b是不能交换的,即(a+b)n与(b+a)n的展开 式是有区别的,二者的展开式中的项的排列顺序是不
3、同的,不能混 淆. (3)二项式定理表示一个恒等式,对于任意的a,b,该等式都成立. (4)二项式定理中a和b中间用加号连接,若出现减号,“-”归属后边的 字母或数,仍可用二项式定理展开. C 激趣诱思 知识点拨 微思考 二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别? 提示:二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数 是指 ,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关,而项 的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关, 而且也与a,b的值有关. C 0,C1 ,C 激趣诱思 知识点拨 微练习 化简(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1得( ) A
4、.x4 B.(x-1)4 C.(x+1)4 D.x5 解析:原式=(x-1+1)4=x4. 答案:A 激趣诱思 知识点拨 二、二项展开式的通项 (a+b)n展开式中的C an-kbk叫做二项展开式的通项,用 Tk+1表示,即通 项为展开式的第 k+1 项:Tk+1=C an-kbk. 名师点析二项展开式的通项形式上的特点 (1)它表示二项展开式的第 k+1 项,该项的二项式系数是C ,而不是 C +1或C -1. (2)字母b的次数和组合数的上标相同. (3)a与b的次数之和为n. 激趣诱思 知识点拨 微思考 二项式(a+b)n与(b+a)n的展开式的第 k+1项相同吗? 提示:不相同.前者
5、Tk+1=C an-kbk,后者 Tk+1=C bn-k ak.解题时,题中给 出的二项式的两项是不能随意交换位置的. 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1)(x+2)8的展开式中的第6项为 . (2)若(x-1 ) n 展开式的第 4 项为含 x3的项,则 n 等于( ) A.8 B.9 C.10 D.11 解析:(1)展开式的第 6 项是 T6=C8 5x3 25=1 792x3. (2)Tk+1=C xn-k (-1 ) k=C (-1)k xn-2k,k0,1,2,n, 因为当 k+1=4 时,n-2k=3,所以 n=9. 答案:(1)1 792x3 (2)B 探究一 探究二 探究三 素养
6、形成 当堂检测 二项式定理的正用、逆用二项式定理的正用、逆用 例 1(1)求 3 + 1 4 的展开式. (2)化简:C 0(x+1)n-C1(x+1) n-1 +C 2(x+1) n-2 -+(-1)kC (x+1)n-k+ (-1)nC . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:(1)(方法一) 3 + 1 4=(3 ) 4+C41(3 ) 3 1 +C 4 2(3 ) 2 1 2 +C 4 3(3 ) 1 3+C 4 4 1 4=81x2+108x+54+12 + 1 2. (方法二) 3 + 1 4= 3+1 4= 1 2(1+3x) 4 = 1 21+C4 1 3x+C42
7、(3x)2+C43(3x)3+C44(3x)4 = 1 2(1+12x+54x 2+108x3+81x4) = 1 2 + 12 +54+108x+81x2. (2)原式 =C 0(x+1)n+C1(x+1) n-1 (-1)+C 2(x+1) n-2 (-1)2+C (x+1)n-k(-1)k+ C (-1)n=(x+1)+(-1)n=xn. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 若(1+ 3)4=a+b 3(a,b 为有理数),则 a+b= . 解析:(1+ 3)4=1+C4 1( 3)1+C42( 3)2+C43( 3)3+C44( 3)4 =1+4 3+18+12 3+
8、9=28+16 3, a=28,b=16,a+b=28+16=44. 答案:44 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指 数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起, 次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项 加1直到n. 2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已 知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练1化简:(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(
9、2x+1)-1. 解:原式=C5 0(2x+1)5-C51(2x+1)4+C52(2x+1)3-C53(2x+1)2+C54(2x+1)- C5 5(2x+1)0=(2x+1)-15=(2x)5=32x5. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用二项式定理求待定项及系数利用二项式定理求待定项及系数 例 2 已知在 3 - 1 2 3 的展开式中,第 6 项为常数项. (1)求n; (2)求含x2的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. 思路分析:先利用二项展开式的通项,求出当x的次数为0时n的值,再 求解第(2)问、第(3)问. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:(
10、1)由通项知,展开式中第 k+1 项为 Tk+1=C ( 3 )n-k - 1 2 3 = C ( 1 3)n-k - 1 2 - 1 3 = - 1 2 C -2 3 . 第 6 项为常数项,k=5,且 n-52=0,n=10. (2)由(1)知 Tk+1= - 1 2 C10 10-2 3 . 令10-2 3 =2,则 k=2. x2的系数为 - 1 2 2 C10 2 = 1 445= 45 4 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (3)当 Tk+1项为有理项时,10-2 3 为整数,0k10,且 kN. 令10-2 3 =z,则 k=5-3 2z, z 为偶数,从而求得当
11、z=2,0,-2 时,相应地 k=2,5,8 符合条件. 有理项为 T3=C10 2 - 1 2 2 x2=45 4 x2,T6=C10 5 - 1 2 5 =-63 8 ,T9=C10 8 - 1 2 8 x -2 = 45 256x -2 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 求二项展开式中的特定项的常见题型及解法 (1)求含xk的项(或xpyq的项),在通项中令字母的指数为给定的值; (2)求常数项,在通项中令字母的指数为0; (3)求有理项,在通项中令字母的指数为整数. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练2求 - 1 9 的展开式中 x3的系数及含
12、 x3的项的二项式系 数. 解: - 1 9 的展开式的通项是 Tk+1=Ck 9x 9-k - 1 =(-1)kC9 x 9-2k ,令 9-2k=3,得 k=3, 所以 x3的系数为(-1)3C9 3=-84. 因为含 x3的项是展开式中的第 4 项,所以二项式系数为C9 3=84. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用二项式定理解决整除和余数问题利用二项式定理解决整除和余数问题 例3试判断7777-1能否被19整除. 思路分析:由于76是19的倍数,因此可将7777转化为(76+1)77,并用二 项式定理展开. 解:7777-1=(76+1)77-1 =7677+C77 1
13、7676+C77 2 7675+C77 7676+C7777-1 =76(7676+C77 1 7675+C77 2 7674+C77 76). 由于 76 能被 19 整除,因此 7777-1 能被 19 整除. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 用二项式定理解决an+b整除(或余数)问题时,一般需要将 底数a写成除数m的整数倍加上或减去r(1rm)的形式,利用二项 展开式求解. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练3(1)设aZ,且0a13,若512 015+a能被13整除,则a等于 ( ) A.0 B.1 C.11 D.12 (2)230-3除以7所得
14、的余数为 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析:(1)512 015=(52-1)2 015=C2 015 0 522 015-C2 015 1 522 014 +C22 015522 013-+C2 015 2 01452-1, C2 015 0 522 015-C2 015 1 522 014+C2 015 2 522 013-+C2 015 2 01452能被 13整 除,若 512 015+a 能被 13整除,则 a-1 能被 13 整除.又 aZ,且 0a13,则 a=1. (2)230-3=(23)10-3=810-3=(7+1)10-3 =C10 0 710+C1
15、0 1 79+C10 9 7+C10 10-3 =7(C10 0 79+C10 1 78+C10 9 )-2. 又余数不能为负数(需转化为正数), 230-3 除以 7 所得的余数为 5. 答案:(1)B (2)5 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 转化思想在二项式定理中的应用转化思想在二项式定理中的应用 典例求(1+2x-3x2)5展开式中x5的系数. 审题视点 由于三项式的展开式无现成公式,因此应将其转化为二 项式的展开式,然后再求x5的系数. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:(方法一)(1+2x-3x2)5=1+(2x-3x2)5 =1+5(2x-3x2)+10
16、(2x-3x2)2+10(2x-3x2)3+5(2x-3x2)4+(2x-3x2)5 =1+5x(2-3x)+10 x2(2-3x)2+10 x3(2-3x)3+5x4(2-3x)4+x5(2-3x)5, x5的系数为上式各项中含x5的项的系数和,即 10C3 221(-3)2+5C4123(-3)1+25=92. (方法二)(1+2x-3x2)5=(1-x)5 (1+3x)5 =(1-5x+10 x2-10 x3+5x4-x5) (1+15x+90 x2+270 x3+405x4+243x5), 展开式中x5的系数为243-5405+27010-1090+515-1=92. 探究一 探究二
17、探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 转化思想在二项式定理中的应用 转化思想是高中数学重点考查的内容之一.在与二项式定理有关的 问题中,主要表现为将多项式转化为二项式来求解;若干个二项式 积的某项系数问题转化为乘法分配律问题.在高考题中,常出现三 项式展开或两个二项式乘积的展开问题,所用方法一般是根据式子 的特点转化为二项式展开来解决问题. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 跟踪训练在(2x2- 1 x 3 )8的展开式中,求: (1)第5项的二项式系数及第5项的系数; (2)倒数第3项. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:方法一:利用二项展开式解决. (1) 2x2-
18、 1 3 8=(2x2)8 -C 8 1(2x2)7 1 x 3 + C8 2(2x2)6 1 3 2 - 8 3(2x2)5 1 3 3 +C8 4(2x2)4 1 x 3 4 - 8 5(2x2)3 1 3 5+ 8 6(2x2)2 1 3 6 -C 8 7(2x2) 1 x 3 7 + 8 8 1 3 8, 则第 5 项的二项式系数为8 4=70,第 5 项的系数为 8 424=1 120. (2)由(1)中 2x2- 1 3 8 的展开式可知倒数第 3 项为C8 6(2x2)2 1 x 3 6 =112x2. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法二:利用二项展开式的通项解决
19、. (1)T5=8 4 (2x2)8-4 - 1 3 4= 8 4 24 x 20 3 , 则第 5项的二项式系数是C8 4=70,第 5项的系数是C8424=1 120. (2)展开式中的倒数第 3项即为第 7项,T7 =C 8 6 (2x2)8-6 - 1 x 3 6 =112x2. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.(a+b)2n的展开式的项数是( ) A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2(n+1) 解析:易知二项式(a+b)2n的展开式中有2n+1项,故展开式的项数为 2n+1. 答案:B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2.(2a+b)5的展开式的第
20、 3 项是( ) A.23C5 2 B.23C5 2a3b2 C.23C5 3 D.23C5 3a2b3 解析:T2+1=C5 2(2a)3b2=23C52a3b2. 答案:B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.(2020 浙江宁波高三期末)二项式( + 1 ) 6的展开式中有理项共有 项. 解析:根据二项式定理的通项 Tk+1=C6 ( ) 6- 1 = C6 6-3 2 .当 取有理项时,6-3 2 为整数,此时 k=0,2,4,6.故共有 4 项. 答案:4 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.如果( x2 3 + 1 x) n 的展开式中,含 x2的项为第三项
21、,则自然数 n= . 解析:Tk+1=n k( 2 3 )n-k(1 ) k=C 2-5 3 ,由题意知当 k=2时,2-5 3 =2,解得 n=8. 答案:8 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5.已知m,nN*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2的 系数的最小值及此时展开式中x7的系数. 解:由题设知m+n=19,又m,nN*,1m18. x2的系数为C 2 + C 2 = 1 2(m 2-m)+1 2(n 2-n)=m2-19m+171. 当 m=9 或 10 时,x2的系数的最小值为 81,此时 x7的系数为C9 7 + C10 7 =156.
