1、姓 名座 位 号 （在 此 卷 上 答 题 无 效） 绝 密启 用 前 安 徽 省 示 范 高 中 培 优 联 盟 年 冬 季 联 赛（高 一） 数学 本 试 卷 分 第卷（选 择 题）和 第卷（非 选 择 题）两 部 分，第卷 第至 第页，第卷 第至 第页。全 卷 满 分 分，考 试 时 间 分 钟。 考 生 注 意 事 项： 答 题 前，务 必 在 试 题 卷、答 题 卡 规 定 的 地 方 填 写 自 己 的 姓 名、座 位 号，并 认 真 核 对 答 题 卡 上 所 粘 贴 的 条 形 码 中 姓 名、座 位 号 与 本 人 姓 名、座 位 号 是 否 一 致。 答 第卷 时，每 小
2、题 选 出 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑。如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号。 答 第卷 时，必 须 使 用 毫 米 的 黑 色 墨 水 签 字 笔 在 答 题 卡 上 獉 獉 獉 獉 书 写，要 求 字 体 工 整、笔 迹 清 晰。作 图 题 可 先 用 铅 笔 在 答 题 卡 獉 獉 獉 规 定 的 位 置 绘 出，确 认 后 再 用 毫 米 的 黑 色 墨 水 签 字 笔 描 清 楚。必 须 在 题 号 所 指 示 的 答 题 区 域 作 答，超 出 答 题 区 域 书 写 的 答 案
3、无 效 獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉 ，在 试 獉 獉 题 卷 獉 獉 、草 稿 纸 上 答 题 无 效 獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉 。 考 试 结 束，务 必 将 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交。 第卷（选 择 题共 分） 一、选 择 题（本 大 题 共 小 题，每 小 题分，共 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。 ） （）已 知 全 集犝 犚，犃狓狘狓 狓 ，犅狓狘 狓 槡 ，则犃 （瓓 犅 ）等 于（ ） （）狓 狓 （）狓 狓 （）狓 狓 （）狓 狓 （）已 知 命 题 狆 ：狓 犚
4、 ，狓 ，则瓙 狆 是（ ） （）狓 犚，狓 （）狓 犚，狓 （）狓 犚 ，狓 （）狓 犚 ，狓 （）已 知 ， （ ） ， ， （ ） ，则 的 取 值 范 围 是（ ） （） ， （ ） （） ， （） （） ， （ ） （犇） ， （ ） （）已 知 ，犫 ，犮 ，则（ ） （）犪 犫犮 （）犪 犮犫 （）犫 犮犪 （）犫 犪犮 （）集 合犕狓狘狓 犪 犫，犪 犣，犫 犣 ，犖 狔狘狔 犮 犱 ，犮 犣，犱 犣 ，则（ ） （）犕犖（）犕犖 （）犕犖（）犖犕 （）函 数 犳 （狓）狓 狓 狓 狓 （狓 ）的 最 小 值 为 （ ） （）（） （） （） （）关 于 函 数 犳 （狓） 狓
5、 ， 狓（ ， ）下 列 说 法 错 误 的 是（ ） （） 犳 （狓）的 图 像 关 于 狔 轴 对 称 （） 犳 （狓）在（ ，）上 单 调 递 增，在（， ）上 单 调 递 减 （） 犳 （狓）的 值 域 为（， （）不 等 式 犳 （狓） 的 解 集 为 （ ， ） （， ） （）某 银 行 出 售 种 不 同 款 式 的 纪 念 币，甲、乙、丙 三 人 都 各 自 收 集 这 些 纪 念 币。下 列 说 法 正 确 的 是（ ） （）若 甲、乙、丙 三 人 各 自 收 集款 纪 念 币，则 至 少 有款 纪 念 币 是 三 人 都 拥 有 （）若 甲、乙、丙 三 人 各 自 收 集款
6、 纪 念 币，则 至 少 有款 纪 念 币 是 三 人 都 拥 有 （）若 甲、乙 两 人 各 自 收 集款 纪 念 币，则 至 少 有款 纪 念 币 是 两 人 都 拥 有 （）若 甲、乙 两 人 各 自 收 集款 纪 念 币，则 他 们 两 人 合 起 来 一 定 会 收 集 到 这 款 不 同 的 纪 念 币 （）函 数 犳 （狓） 狓 狓 的 大 致 图 象 是（ ） （ ） “犪 ”是“方 程犪 狓 狓 至 少 有 一 个 负 数 根”的 （ ） （）充 分 不 必 要 条 件（）必 要 不 充 分 条 件 （）充 分 必 要 条 件（）既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 （ ）
7、某 人 在 月日 从 山 下犃处 出 发 上 山， 到 达 山 顶犅处，在 山 顶 住 宿 一 晚， 月 日： 从犅处 沿 原 上 山 路 线 下 山， 返 回犃处这 两 天 中 的 到 ，此 人 所 在 位 置 到犃处 的 路 程犛（单 位：千 米）与 时 刻狋（单 位：时）的 关 系 如 下 图 所 示： 给 出 以 下 说 法：两 天 的 平 均 速 度 相 等；上 山 途 中 分个 阶 段，先 速 度 较 快，然 后 匀 速 前 进，最 后 速 度 较 慢；下 山 的 前 一 半 时 间 的 平 均 速 度 小 于千 米小 时；下 山 的 速 度 越 来 越 慢；两 天 中 存 在 某
8、 个 相 同 时 刻，此 人 恰 好 在 相 同 的 地 点其 中 正 确 说 法 的 个 数 为（ ） （）（）（）（） （ ）记 方 程：狓 犪 狓 ，方 程：狓 犫 狓 ，方 程：狓 犮 狓 ，其 中犪，犫， 犮是 正 实 数若犫 犪犮，则“方 程无 实 根”的 一 个 充 分 条 件 是（ ） （）方 程有 实 根，且有 实 根（）方 程有 实 根，且无 实 根 （）方 程无 实 根，且有 实 根（）方 程无 实 根，且无 实 根 （在 此 卷 上 答 题 无 效） 绝 密启 用 前 安 徽 省 示 范 高 中 培 优 联 盟 年 冬 季 联 赛（高 一） 数学 第卷（非 选 择 题共
9、 分） 考 生 注 意 事 项： 请 用 毫 米 黑 色 墨 水 签 字 笔 在 答 题 卡 上 獉 獉 獉 獉 獉 作 答，在 试 题 卷 上 答 题 无 效 獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉 。 二、填 空 题（本 大 题 共小 题，每 小 题分，共 分。把 答 案 填 在 答 题 卡 的 相 应 位 置。 ） （ ） 的 值 为 （ ）能 说 明“若 函 数 犳 （狓）和 犵 （狓）在犚上 都 是 单 调 递 增，则犺（狓） 犳 （狓） 犵 （狓）在犚上 单 调 递 增” 为 假 命 题 的 函 数 犳 （狓）和 犵 （狓）的 解 析 式 分 别 是 （ ）设犪 ，函 数 犳 （狓）狓
10、 狓 在 区 间（，犪上 的 最 小 值 为犿，在 区 间犪， ）上 的 最 小 值 为狀若犿狀 ，则犪的 值 为 （ ）已 知犪，犫都 是 正 数，且（犪 ） （犫 ） ，则犪 犫的 最 大 值 是 ，犪 犫的 最 小 值 是 三、解 答 题（本 大 题 共小 题，共 分。解 答 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。 ） （ ） （本 题 满 分 分） 已 知 集 合犃狓 犖 狘 狓 ，集 合犅狓狘狓 犪 狓 ， 设 狆 ：狓 犃 ， 狇 ：狓 犅 若 狆 是 狇 的 充 分 条 件，求 实 数犪的 取 值 范 围 （ ） （本 题 满 分 分） 已
11、知 函 数 犳 （狓）狓 狘 狓狘 （）求 不 等 式 犳 （狓） 的 解 集； （）若 犳 （狓）的 最 小 值 为犿，正 数犪，犫满 足犪 犫犿，求 犪 犫 犪犫 的 最 小 值 （ ） （本 题 满 分 分） 已 知 函 数 犳 （狓） 狓 犪 狓 （犪 犚） （）若 犳 （狓） 狓， 求犪的 取 值 范 围； （）求 函 数 犳 （狓）在，的 最 小 值 （ ） （本 题 满 分 分） 已 知 函 数 犳 （狓） （狓 槡 狓 ）犿 （）当犿为 何 值 时，函 数 犳 （狓）为 奇 函 数 ？ 并 证 明 你 的 结 论； （）判 断 并 证 明 函 数 犳 （狓）的 单 调 性； （
12、）若 犵 （狓）狓 犳 （狓）狓 ，解 不 等 式：犵（狓） （ ） （本 题 满 分 分） 设犪 ，函 数犳（狓）狘 狓犪槡狘 狘狓犪槡狘 （）当犪 狓犪 时，求 证：槡犪 犳 （狓） 槡犪； （）若 犵 （狓） 犳 （狓）犫恰 有 三 个 不 同 的 零 点，且犫是 其 中 的 一 个 零 点，求 实 数犫的 值 （ ） （本 题 满 分 分） 随 着 我 国 人 民 生 活 水 平 的 提 高，家 用 汽 车 的 数 量 逐 渐 增 加，同 时 交 通 拥 挤 现 象 也 越 来 越 严 重，对 上 班 族 的 通 勤 时 间 有 较 大 影 响某 群 体 的 人 均 通 勤 时 间，是
13、 指 该 群 体 中 成 员 从 居 住 地 到 工 作 地 的 单 趟 平 均 用 时，假 设 某 城 市 上 班 族犛中 的 成 员 仅 以 自 驾 或 公 交 方 式 通 勤，采 用 公 交 方 式 通 勤 的 群 体（公 交 群 体）的 人 均 通 勤 时 间 为 分 钟，采 用 自 驾 方 式 通 勤 的 群 体（自 驾 群 体）的 人 均 通 勤 时 间 狔 （单 位：分 钟）与 自 驾 群 体 在犛中 的 百 分 数狓（ 狓 ）的 关 系 为： 狔 ， 狓 ， 狓 狓 ， 狓 烅 烄 烆 （）上 班 族 成 员 小 李 按 群 体 人 均 通 勤 时 间 为 决 策 依 据，决
14、定 采 用 自 驾 通 勤 方 式，求狓的 取 值 范 围（若 群 体 人 均 通 勤 时 间 相 等，则 采 用 公 交 通 勤 方 式） （）求 该 城 市 上 班 族犛的 人 均 通 勤 时 间 犵 （狓） （单 位：分 钟） ，并 求 犵 （狓）的 最 小 值 20202020 冬季联赛高一数学参考答案冬季联赛高一数学参考答案 第第 I 卷（选择题卷（选择题共共 60 分）分） 选择题：选择题： 1-12 DBCBDCDCDAAB 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 道小题，每小题道小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分。 ） 1.【答案】D 【解析】化简集合 |01A
15、xx， 1 | 2 Bx x，所以 1 ()( ,1) 2 U AB . 2.【答案】B 【解析】因为命题 0 :pxR， 0 60 x 是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题， 即x R，60 x，故选 B 3.【答案】C 【解析】根据(, ) 3 与0 2 （， ），可得 6 （， ）. 4.【答案】B 【 解 析 】 由 39 3 log 2log 81 2 可 知 3 2 log 2 3 b ； 由 0.20.04 3 log0.3log0.0271 2 可 知 0.2 2 log0.3 3 c ； 由 0.20.008 4 log0.3log0.00811 3 可知 0.2 3 l
16、og0.3 4 c ； 又 e3 0.9 34 a 故 acb 5.【答案】D 【解析】22xab，当,abZZ时，2ab可以取到所有整数，所以集合M由所有 偶数组成；同理由4 2ycd知集合N由所有 4 的整数倍的数组成因此NM 6.【答案】C 【解析】令 4 tx x ，因为0 x ，所以 44 24txx xx ，又 2 41 4 x yxt xxt 在 4t 时单调递增，所以4t 时， 1 yt t 取得最小值 17 4 ，故 f x的最小值为 17 4 7.【答案】D 【解析】不等式 2 ( )ef x 的解集为( 2,2). 8.【答案】C 【解析】若甲、乙、丙三人各自收集 8 款
17、纪念币，三人都拥有的个数最少为 0；若甲、乙、 丙三人各自收集 9 款纪念币，则至少有 3 款纪念币是三人都拥有；若甲、乙两人各自收集 7 款纪念币，则他们两人合起来不一定会收集到这 12 款不同的纪念币，交集个数最小是 7， 最大是 12. 9.【答案】D 【解析】本题考查函数的图象与性质，难度：中等题首先判定函数的定义域以及函数的奇 偶性， 可知该函数是定义在 |1x x 上的奇函数， 故答案在 B、 D 中选择， 又(2)ln31f， 所以答案选 D. 10. 【答案】A 【解析】当 2 240a ，得 1a 时方程有根； 0a 时， 12 1 0 x x a ，方程有负根； 又 1a
18、时，方程根为 1x ，所以选 A 11.【答案】A 【解析】两天的平均速度均为 14 2 158 千米/小时，所以正确；由图可知，上山途中先是 较快匀速，然后休息一段时间，最后是较慢匀速，所以不正确；由图可知，下山的速度先 快后慢，全程平均速度为2千米/小时，所以前一半时间的平均速度大于 2 千米/小时，所以 不正确；下山的速度是先较快匀速，后较慢匀速，并不是越来越慢，所以不正确；将两 天的路程时间关系图象画在同一坐标系中，可知它们必有交点，对应的时刻，此人离起点 A 的路程相等，即在同一位置，所以正确 12.【答案】B 【解析】记方程i的判别式为 i ，对于选项 B 而言，有 2 1 40a
19、 ， 2 2 80b ，即 2 4a ， 2 8b ，从而 4 2 2 64 16 4 b c a ，即 3 0 .所以选项 B 能推出方程无实根. 第第 II 卷（非选择题卷（非选择题共共 90 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分。 ） （13） 【答案】1 【解析】 2727 27272727 2log 7log 22log 7log 211 1 1log 71log 2(1log 7)(1log 2)1log 7log 2log 7 log 2 （14） 【解析】答案不唯一. 如( )f xx和( )g xx.
20、（15） 【答案】1或9 【解析】函数 9 ( )f xx x 在区间(0,3上单调减，在3,)上单调增。所以最小值一个是 ( )f a，一个是(3)f，进而可得 9 ( )(3)616f afa a ，解得1a 或9. （16） 【答案】1(2 分） ，4 2 3 ( 3 分） 【解析】因为3 2abababab ，所以 230abab ，解得01ab， 当且仅当1ab时取等号 因为3abab，所以1)14()(ab，即1 22()()8ab 因为2321()(22)4 2abab，当且仅当122ab 时取等号， 所以 24 23ab 故答案为（1）1， （2）4 2 3 17 （10 分）
21、 【解析】 由 2 1 3log1 x ，得 2 1log3x，即 * |28AxxN，2 分 因为p是q的充分条件，所以AB， 4 分 转化为不等式 2 100 xax在 * |28AxxN上恒成立，6 分 进一步可得 10 ax x 对于2,3,4,5,6,7x 恒成立， 10 yx x 在2,3,4,5,6,7x上的最小值为3x 时的函数值，8 分 所以 19 3 a .故实数a的取值范围是 19 (,) 3 .10 分 18 （12 分） 【解析】 （1）根据题意，函数( )23f xxx. 若 ( )5f x ，则有 235 3 xx x 或 235 3 xx x ，解得5x ，4
22、分 故原不等式的解集为5x x .5 分 （2）函数 1,3 ( )23 25,3 x f xxx xx ，分析可得 ( )f x的最小值为 1，即1m ； 7 分 正数a，b满足1ab ，所以 1122 ab ababab ，令22tabab，8 分 又因为 2 ( )g tt t 在区间 2, )上单调递增，10 分 所以 2 ( )g tt t 在2t 时取得最小值 3，11 分 112 abab 的最小值为 312 分 19 （12 分） 【解析】 （1） 2xf x 3 412 2 x x a ，2 分 因为 33 22 22 3 22 xx xx （当且仅当 2 log3x 时，等
23、号成立） ，4 分 所以 min 3 22 3 2 x x ，所以412 3a ，得 2 31 4 a 6 分 （2）记函数 f x在0,1的最小值 g a，令2xt ，7 分 则函数变为 2 43yta t （12t） ， 因为 2 43h tta t 在2ta时单调递减，在2ta时单调递增，所以8 分 当21a ，即 1 2 a 时， 2 43h tta t 在12t单调递增， 所以 144g aha；9 分 当122a，即 1 1 2 a时， 2 234g ahaa；10 分 当22a ，即1a 时， 2 43h tta t 在12t单调递减， 所以 278g aha11 分 综上， 2
24、 1 44 , 2 1 34,1 2 78 ,1 a a g aaa a a 12 分 20 （12 分） 【解析】 （1） 当 1 2 m 时，函数 f x为奇函数，证明如下：1 分 易知函数 f x的定义域为R，且2 分 2 2 99 11 log (9)log (9) 22 fxf xxxxx 2222 99 log (9)(9)1log (9)10 xxxxxx 所以，函数 f x为奇函数4 分 （2）在R上任取 1 x， 2 x，且 12 xx，因为 12 xx，所以 21 0 xx，5 分 又 因 为 2 11 9xx， 2 22 9xx， 所 以 22 1212 99xxxx，
25、12 22 12 1 99 xx xx ， 12 22 12 10 99 xx xx ，故 1221 21 22 12 0 99 xxxx xx xx ，即 22 2121 990 xxxx， 22 2211 99xxxx，所以 2 22 2 11 9 1 9 xx xx ，所以 2 22 219 2 11 9 log0 9 xx f xf x xx ，7 分 所以，函数函数 f x在R上单调递增8 分 （3）由（1） （2）可知， 2 18g xx f xx为偶函数，9 分 且在,0单调递减，在0,单调递增，10 分 又 440gg，11 分 所以 0g x 的解集为4,412 分 21 （
26、12 分） 【解析】 （1）当axa 时，( )f xaxxa，1 分 所以 2222 ( )()22fxaxxaaax，2 分 当axa 时， 22 0axa ，进而可得 2 2( )4afxa，4 分 即2( )2af xa；5 分 （2）由于函数( )|f xxaxa是偶函数，故方程 ( )0f xb 的三个实数解关于数 轴原点对称分布，从而必有(0)2bfa.6 分 由（1）可知，当axa 时，( )2f xa，等号成立的条件是当且仅当0 x ， 7 分 当x a 时，( )f xxaxa在x a 上单调递增，且当 5 4 a x 时( )2f xa， 9 分 当xa 时，( )f x
27、xaxa 在xa 上单调递减，且当 5 4 a x 时( )2f xa， 11 分 又因为b是其中的一个零点，所以 5 4 a b ，结合(0)2bfa，所以 16 5 b .12 分 22 （12 分） 解： （1）当035x时，自驾群体的人均通勤时间为 30 分钟，公交群体的人均通勤 时间为 40 分钟，此时小李采用自驾通勤方式2 分 当35100 x时，因为小李采用自驾通勤方式，所以 2450 211040 x x ，即 2 7512250 xx，3 分 解得 755 29755 29 22 x ，所以 755 29 35 2 x 4 分 综上， 755 29 0 2 x 5 分 （2）设上班族S中有n人，则自驾群体中有%nx人，公交群体中有1%nx 当035x时， 30%401%400 10 nxnxx g x n ，7 分 当35100 x时， 2 2450 2110%401% 753225 50 xnxnx xxx g x n ， 所以 2 400 ,035, 10 753225 ,35100. 50 x x g x xx x 9 分 当035x时， 3536.5g xg，10 分 当35100 x时， 75291 36.375 28 g xg ，11 分 所以，当 75 2 x 时， g x的最小值为36.375（分钟） 12 分
