1、KKK 第三节第三节 万有引力理论的成就万有引力理论的成就 目标体系构建 明确目标 梳理脉络 【学习目标】 1了解万有引力定律在天文学上的重要应用。 2会用万有引力定律计算天体的质量。 3掌握运用万有引力定律研究天体问题的思路、方法。 【思维脉络】 课前预习反馈 教材梳理 落实新知 知识点 1 计算地球的质量 1原理 若不考虑地球自转的影响，地面上质量为 m 的物体所受的重力近似等于地球对物体的_ 引力_。 2关系式 mg_GmM R2 _ 3结果 地球的质量为：M_gR 2 G _5.961024 kg 知识点 2 计算天体的质量 1计算太阳的质量 (1)原理：将行星的运动近似看作匀速圆周运
2、动，行星做圆周运动的向心力由_万有引力 _来提供。 (2)关系式：GMm r2 _m(2 T )2r_ (3)结果：M_4 2r3 GT2 _。 2其他行星的质量计算 利用绕行星运转的卫星，若测出该卫星与行星间的_距离_和转动_周期_，同样可得 出行星的质量。 知识点 3 发现未知天体 1海王星的发现 英国剑桥大学的学生_亚当斯_和法国年轻的天文学家 _勒维耶_根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨 道。 1846 年 9 月 23 日， 德国的_伽勒_在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星海王星。 2其他天体的发现 近 100 年来，人们在海王星的轨道之外又发现了_
3、冥王星_、阋神星等几个较大的天体。 预习自测 判一判 (1)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。() (2)海王星的发现确立了万有引力定律的地位。() (3)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。() (4)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力。() (5)若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量。() (6)若知道某行星绕太阳做圆周运动的线速度和角速度，则可以求出太阳的质量。() 选一选 土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每 16 天绕土星一周，其公转轨道半径约为 1.2106 km，已知引力常量 G6.6710 11 N m2/kg2，则土星的质量约
4、为( B ) A51017kg B51026kg C71033kg D41036kg 解析：由万有引力定律得 GMm r2 m4 2r T2 M4 2r3 GT2 代入数据得 M51026kg， 故选项 B 正确。 想一想 月球是地球的唯一一颗天然卫星，月球已经伴随地球超过 46 亿年，根据月球的公转周期 和轨道半径，我们能否推导出月球的质量，能否推导出地球的质量？ 解析：能求出地球的质量。利用 GMm r2 m(2 T )2r 求出的质量 M4 2r3 GT2 为中心天体的质量。 做圆周运动的月球的质量 m 在等式中已消掉，所以根据月球的周期 T、公转半径 r，无法计算 月球的质量。 课内互
5、动探究 细研深究 破疑解难 探究 天体质量和密度的计算 情境导入 观察下面两幅图片，请思考： (1)如果知道自己的重力，你能否求出地球的质量； (2)如何能测得太阳的质量呢？ 提示：(1)人的重力近似认为等于受到的万有引力，根据 mgGMm R2 可求地球质量；(2)地 球绕太阳转动时的向心力由万有引力提供，根据GMm r2 m(2 T )2r 可求太阳质量。 要点提炼 求天体质量和密度的几种方法 情景及求解思路 结果 天体 质量 的计 算 已知所求星体的半径 R 及其表面的重力 加速度 g，则 GMm R2 mg MgR 2 G 质量为 m 的行星绕所求星体做匀速圆周 运动， 万有引力提供行
6、星所需的向心力， 即 GMm r2 mv 2 r m2rm(2 T )2r Mrv 2 G Mr 32 G M4 2r3 GT2 天体 密度 的计算 M V M 4 3R 3 3r3 GT2R3 当星球绕中心天体表面运行 时，rR： 3 GT2 特别提醒 (1)利用万有引力提供向心力的方法只能求解中心天体的质量，而不能求出做圆周运动的 行星或卫星的质量。 (2)要注意 R、r 的区分。R 指中心天体的半径，r 指行星或卫星的轨道半径。 典例剖析 典题 1 为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量 M。已知地球半径 R 6.4106 m，地球质量 m61024 kg，日地中心的距离 r1.51
7、011 m，地球表面处的重力加 速度 g10 m/s2,1 年约为 3.2107 s，试估算目前太阳的质量 M(保留两位有效数字，引力常量 未知) 思路引导：求天体质量的方法主要有两大类，一类是利用此天体的一个卫星(或行星)绕它 做匀速圆周运动的有关规律来求，另一类是利用天体表面处的重力加速度来求，这两类方法 本质上都是对万有引力定律的应用。 解析：设 T 为地球绕太阳运动的周期，则由万有引力定律和动力学知识得， GMm r2 m(2 T )2r 对地球表面物体 m，有 mgGmm R2 两式联立，得 M4 2mr3 gR2T2 代入已知数据得 M2.01030 kg。 答案：2.01030
8、kg 对点训练 1(多选)(2020 山东烟台市三校高一下学期联考)2013 年 6 月 11 日 17 时 38 分， 我国利用 “神舟十号”飞船将聂海胜、张晓光、王亚平三名宇航员送入太空。设宇航员测出自己绕地 球做匀速圆周运动的周期为 T， 离地高度为 H， 地球半径为 R， 则根据 T、 H、 R 和引力常量 G， 能计算出的物理量是( ABD ) A地球的质量 B地球的平均密度 C飞船所需的向心力 D飞船线速度的大小 解析： 由 G Mm RH2m 42 T2 (RH)， 可得： M4 2RH3 GT2 ， 选项 A 可求出； 又根据 M 4 3R 3， 选项 B 可求出；根据 v2R
9、H T ，选项 D 可求出；由于飞船的质量未知，所以无法确定飞 船的向心力。 探究 应用万有引力定律分析计算天体运动的问题 情境导入 已知地球、火星都绕太阳转动，火星的公转半径是地球的 1.5 倍。根据以上材料： (1)地球和火星，谁绕太阳转一圈时间长？公转周期之比是多少？ (2)地球和火星，谁绕太阳运动的速度大？运动速度之比是多少？ 提示：(1)火星；2 6 9 (2)地球； 6 2 要点提炼 1两条思路 (1)万有引力提供天体运动的向心力 质量为 m 的行星绕质量为 M 的星体在半径为 r 的轨道上做匀速圆周运动时，由牛顿第二 定律及圆周运动知识得 GMm r2 manmv 2 r m2r
10、m(2 T )2r。 (2)黄金替换 质量为 m 的物体在地球(星体)表面受到的万有引力等于其重力， 即 GMm R2 mg。 可以得到： GMgR2 由于 G 和 M(地球质量)这两个参数往往不易记住，而 g 和 R 容易记住。所以粗略计算时， 一般都采用上述代换，这就避开了万有引力常量 G 值和地球的质量 M 值，非常方便。 2行星运动的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系 (1)线速度 v： 由 GMm r2 mv 2 r 得 v GM r ， 可见，r 越大，v 越小；r 越小，v 越大。 (2)角速度 ： 由 GMm r2 m2r 得 GM r3 ， 可见，r 越大， 越小；r 越小
11、， 越大。 (3)周期 T： 由 GMm r2 m(2 T )2r 得 T2 r3 GM， 可见，r 越大，T 越大；r 越小，T 越小。 (4)向心加速度 an： 由 GMm r2 man得 anGM r2 ， 可见，r 越大，an越小；r 越小，an越大。 以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”。 特别提醒 应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件，如地球公转一周时间是 365 天，自转一周是 24 小时，其表面的重力加速度约为 9.8 m/s2等。 典例剖析 典题 2 如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星 只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列
12、说法正确的是( C ) A太阳对各小行星的引力相同 B各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 C小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值 D小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值 思路引导：根据太阳对行星的万有引力提供行星运动的向心力求解。 解析：由 FGMm r2 可知，若 m 和 r 不相同，则 F 不一定相同，A 错；据GMm r2 mr4 2 T2 得 T 2 r3 GM，因此行星的周期均大于地球的公转周期，B 错；由 a GM r2 可知 r 越小，a 越大， C 正确；由GMm r2 mv 2 r 得 v GM r ，r 越小，v 越大，D 错。
13、 对点训练 2(多选)2003 年 8 月 29 日，火星、地球和太阳处于三点一线，上演“火星冲日”的天象 奇观。这是 6 万年来火星距地球最近的一次，与地球之间的距离只有 5 576 万公里，为人类研 究火星提供了最佳时机。如图所示为美国宇航局最新公布的“火星冲日”的虚拟图，则有 ( BD ) A2003 年 8 月 29 日，火星的线速度大于地球的线速度 B2003 年 8 月 29 日，火星的线速度小于地球的线速度 C2004 年 8 月 29 日，火星又回到了该位置 D2004 年 8 月 29 日，火星还没有回到该位置 解析：火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动 GMm r2 mv 2
14、r 可得：v GM r ，所以轨道半径 较大的火星线速度小，B 正确；火星轨道半径大，线速度小，火星运动的周期较大，所以一年 后地球回到该位置，而火星则还没有回到，D 正确。 核心素养提升 以题说法 启智培优 易错点：对物理概念理解不透彻，盲目套用公式导致错误 案例 月球绕地球做匀速圆周运动，已知地球表面的重力加速度为 g0，地球质量 M 与月球质量 m 之比M m81，地球半径 R0 与月球半径 R 之比R0 R 3.6，地球与月球之间的距离 r 与地球的半径 R0之比 r R060。求月球表面的重力加速度 g 与地球表面的重力加速度 g0的比 值。 易错分析：对于本题，部分同学由 GmM
15、R2 mg 得 g g0 R20 r2 1 3 600，这是错误的，错误的原 因是对公式 GMm R2 mg 中各物理量的含义认识不清。 正确解答：由 GMm R2 mg 得地球及月球表面的重力加速度分别为 g0GM R20 、gGm R2 ，所以 g g0 mR20 MR2 3.62 81 0.16。 素养警示 根据万有引力定律求解天体运动问题时，要明确公式中各物理量的含义，不可盲目套用 公式。另外，要注意天体表面重力加速度 g 与天体在圆周轨道上的向心加速度 a 的区别，如 月球表面重力加速度 gGm R2 ，而在环绕轨道上的向心加速度 aGm r2 。另外，距离月球 r 处的 重力加速度 g与 a 在数值上是相等的。
