1、 虹口区数学试卷 虹口区2020学年度高三第一学期期终学生学习能力诊断测试 数学 （时间 120 分钟，满分 150 分） 2020.12 一填空题（一填空题（16 题每题题每题 4 分，分，712 题每题题每题 5 分，本大题满分分，本大题满分 54 分）分） 1 已知集合RxxxA, 03，RxxxxB, 082 2 ， 则BA 2方程022 2 xx的根是_. 3行列式 cossincos cossinsin 的值等于 4函数 2 ( )log24f xx的反函数为 1( ) yfx ，则 1(4) f 5从甲、乙、丙、丁 4 名同学中选 2 名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人都没有被选
2、到的 概率为 （用数字作答） 6在 8 (21)x的二项式展开式中， 2 x项的系数是 7计算： n n n 2 234 lim 8 过抛物线)0(2 2 ppxy的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A、B两点， 且4AB，则p 9已知），（0，且有2cos2sin21，则cos_ 10设 21,F F分别是双曲线1 2 2 2 2 b y a x )0, 0(ba的左、右焦点，点P在双曲线右支上 且满足| 212 FFPF ，双曲线的渐近线方程为034 yx，则 21 cosFPF 11若, a b分别是正数p，q的算术平均数和几何平均数，且, , 2a b 这三个数可适当排序 后成等
3、差数列，也可适当排序后成等比数列，则pqqp 的值形成的集合 是 虹口区数学试卷 12已知数列 n a满足2 1 a，且naS nn 2 3 （其中 n S为数列 n a前n项和） ，)(xf是 定义在R上的奇函数，且满足)()2(xfxf，则)( 2021 af . 二选择题（每小题二选择题（每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13若ab，则下列各式中恒正的是（ ） . A)lg(ba .B 33 ba .C ba 5 . 05 . 0 .D ba 14在ABC中，若0 2 ABBCAB，则ABC的形状一定是（ ） . A等边三角形 .B直角三角形 .C等腰三角形， .D等腰直角三
4、角形 15已知函数)0, 0(, )sin()(AxAxf的图像与直线)0(Abby的三 个相邻交点的横坐标依次是 1，2，4，下列区间是函数)(xf单调递增区间的是（ ） . A 3, 0 .B 3, 2 3 .C 6, 3 .D 2 9 , 3 16在空间，已知直线l及不在l上两个不重合的点A、B，过直线l做平面，使得点A、 B到平面的距离相等，则这样的平面的个数不可能 是（ ） . A1 个 .B2 个 .C3 个 .D无数个 三解答题（本大题满分三解答题（本大题满分 76 分）分） 17（本题满分 14 分.第（1）小题 7 分，第（2）小题 7 分.） 如图在三棱锥ABCP中，棱AB
5、、AC、AP两两垂直，3APACAB，点M 在AP上，且1AM （1）求异面直线BM和PC所成的角的大小； （2）求三棱锥BMCP的体积 虹口区数学试卷 18 （本题满分 14 分.第（1）小题 7 分，第（2）小题 7 分.） 已知函数) 1() 1() 1()( 22 axaxaxf，其中Ra （1）当)(xf是奇函数时，求实数a的值； （2）当函数)(xf在), 2 上单调递增时，求实数a的取值范围 19 （本题满分 14 分.第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分.） 如图所示，,A B两处各有一个垃圾中转站，B在A的正东方向16km处，AB的南面为 居民生活区为了妥善处理生活垃圾
6、，政府决定在AB的北面P处建一个发电厂，利用垃圾 发电要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单 位：吨）成反比，现估测得,A B两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨 （1）当15APkm时，求APB的值； （2）发电厂尽量远离居民区,要求PAB的面积最大问此时发电厂与两个垃圾中转站的 距离各为多少？ B A 居民生活区 北 P 虹口区数学试卷 20 （本题满分 16 分.第（1）小题 3 分，第（2）小题 7 分，第（3）小题 6 分.） 已知点)0 , 1(A、)0 , 1 (B,直线0:cbyaxl(其中Rcba,） ，点P在直线l上.
7、（1）若a，b ，c是常数列，求PB的最小值； （2）若a，b ，c成等差数列，且lPA，求PB的最大值； （3）若a，b ，c成等比数列，且lPA，求PB的取值范围 21 （本题满分 18 分.第（1）小题 4 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 9 分）. 设x是实数，n是整数，若 1 2 xn，则称n是数轴上与x最接近的整数 （1）数列 n a的通项为 n a，且对任意的正整数n，n是数轴上与 n a最接近的整数,写出 一个满足条件的数列 n a的前三项； （2）数列 n a的通项公式为nan,其前n项和为 n S，求证：整数 n a是数轴上与实数 n S2最接近的整数； （3） n
8、 T是首项为 2，公比为 3 2 的等比数列的前n项和， n d是数轴上与 n T最接近的正整 数，求 202021 ddd. 虹口区数学试卷 虹口区虹口区 2020 学学年度第一学期高三年级数学学科年度第一学期高三年级数学学科 期终教学质量监控测试题答案期终教学质量监控测试题答案 一、填空题（一、填空题（16 题每小题题每小题 4 分，分，712 题每小题题每小题 5 分，本大题满分分，本大题满分 54 分）分） 1、)2 , 3(； 2、i1； 3、1； 4、6； 5、 6 1 ； 6、112； 7、 2； 8、2； 9、 5 5 ； 10、 5 4 ； 11、 9； 12、0； 二、选择
9、题（每小题二、选择题（每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13、B； 14、B； 15、D； 16、C； 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 76 分）分） 17、 （14 分）解:（1）如图，取线段1AN，连MN、BN. MNPC，BMN的大小等于异面直线BM和PC所成的角 或补角的大小3 分 2 3 1 22 ACPAMN，10132 BNBM 10 5 102 2 2 1 cos BM MN BMN, 10 5 arccosBMN6 分 所以异面直线BM和PC所成的角的大小等于 10 5 arccos7 分 （2）AB、AC、AP两两垂直,3 ACAB，3AP,1AM
10、. 2 9 333 2 1 3 1 3 1 PASV ABCABCP .9 分 2 3 133 2 1 3 1 3 1 MASV ABCABCM .11 分 3 2 3 2 9 ABCMABCPBMCP VVV. 三棱锥BMCP的体积大小等于 3（立方单位） 14 分 18、 （14 分）解： （1）)(xf是奇函数，对任意x均有)()(xfxf成立 2 分 虹口区数学试卷 )1() 1() 1() 1()(1()(1()( 2222 axaxaaxaxaxf 整理得0) 1() 1( 22 axa4 分 01 01 2 a a ，从而解得1a.7 分 （2）当1a时，xxf2)(,在), 2
11、 上递减，不符合题意9 分 当1a时，此函数是二次函数，根据二次函数的单调性，要使得)(xf在), 2 上单调递增，只要 2 ) 1(2 1 01 a a a 11 分 解得 5 3 1 a a , 5 3 a14 分 19、 （14 分）解： （1）由条件，得 505 303 PA PB , 15,9PAPB，2 分 则 222 159165 cos 2 15 927 APB ,所以 5 arccos 27 APB； 6 分 （2）由条件，得 505 303 PA PB ，可设5 ,3PAt PBt，其中28t 8 分 2222 2 (5 )(3 )1617128 cos 2 5315 tt
12、t APB ttt , 2 2 2 17128 sin1 15 t APB t 10 分 则 PAB S 2 2 2 1117128 16531 2215 t htt t 900)34(44096108816 2224 ttt 当34t ，即5 34,3 34PAkm PBkm时，h取得最大值 15 千米. 13 分 即当5 34PA千米，3 34PB 千米时，满足要求.14 分 20、 （16 分）解： （1）当a，b ，c是常数列时，直线方程是01: yxl. B到直线l的距离2 2 101 d,所以PB的最小值为2.3 分 B A 居民生活区 北 P 虹口区数学试卷 (2)当a，b ，c
13、成等差数列时，cab2,即02cba， 直线l过点)2, 1 ( M5 分 由于lPA,点P在以AM为直径的圆上，此圆的圆心为) 1, 0( C，半径为2，方程为 2) 1( 22 yx.7 分 而点B在此圆上,所以PB的最大值22.10 分 另解：当0a时，则0b,由cab2得bc2,: l02 y，)2, 1(P， 22PB.4 分 当0b时 ， 则0a, 由cab2得ac,: l01x，)0 , 1 (P， 0PB.5 分 当0a且0b时，) 1(:x a b yMP,又cab2,由 0 ) 1( cbyax x a b y 得 22 22 22 )(2 2 ba bab y ba ba
14、ba x 7 分 8 1)( 88 )( )(4 ) 1 2 ( 2 22 2 222 22 2 22 22 2 b a ba b ba bab ba baba PB,所以22PB 所以PB的最大值22.10 分 （3）由a，b ，c成等比数列，得acb 2 ，a、b、c都不为 0. 由 0 ) 1( cbyax x a b y 得 )( )( 2 22 22 22 2 baa bab y ba b x 12 分 虹口区数学试卷 1)( 1)(6)( )( 6 )( )( ) 1 2 ( 2 24 222 4224 2222 2222 2 22 2 2 a b a b a b baa bbaa
15、 baa bab ba b PB.14 分 令 2 ( )1(1,2)(2,) b t a ，则 24 4(1,4)(4,)PBt t ， 所以PB的取值范围是122 （，）（ ，）16 分 21、 （18 分）解：(1) 2 1 1 1 a，得 2 3 2 1 1 a.同理 2 5 2 3 2 a, 2 7 2 5 3 a. 满足条件的一个数列的前三项为 1，2，3.4 分 (2)由nan，得 2 ) 1( nn Sn, 2 1 ) 1(2 2 nn n nnn n nnnaS nn 9 分 (3) 由已知条件得6) 3 2 (1 6 3 2 1 ) 3 2 (1 2 n n n T，62
16、n T 由 2 1 nn dT，得62 n d.12 分 当2 n d时，由 2 1 2) 3 2 (1 6 n ，得 12 9 ) 3 2 ( 12 7 n ， 12 7 log 12 9 log 3 2 3 2 n,得 33. 122. 0n，得1n，即2 1 d.13 分 当3 n d时，由 2 1 3) 3 2 (1 6 n ，得 12 7 ) 3 2 ( 12 5 n ， 12 5 log 12 7 log 3 2 3 2 n,得 16. 233. 1n,得2n，即3 2 d.14 分 当4 n d时，由 2 1 4) 3 2 (1 6 n ，得 12 5 ) 3 2 ( 12 3
17、n ， 12 3 log 12 5 log 3 2 3 2 n,得 42. 316. 2n,得3n，即4 3 d.15 分 当5 n d时，由 2 1 5) 3 2 (1 6 n ，得 12 3 ) 3 2 ( 12 1 n ， 12 1 log 12 3 log 3 2 3 2 n,得 虹口区数学试卷 13. 642. 3n,得6 , 5 , 4n，即5 4 d，5 5 d，5 6 d.16 分 当6 n d时，由 2 1 6) 3 2 (1 6 n ，得 12 1 ) 3 2 ( 12 1 n ， 12 1 log 3 2 n,得13. 6n, 即7n时，6 n d.17 分 所以1210862014)555(3432 202021 ddd18 分
