1、徐汇区高三数学 徐汇区 2020 学年第一学期学习能力诊断卷 高三数学 2020.12 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分分，第，第 1-6 题题每题每题 4 分，分，第第 7-12 题题每题每题 5 分）分） 考生考生应应在答题纸在答题纸的的相应相应位置位置直接填写结果直接填写结果 1计算： 2 2 2 lim 253 n nn nn . 2已知2, 3am，1,bm ，若ab，则m_. 3不等式0 23 1 x 的解集为_ 4在 6 (1)x的二项展开式中，中间项的系数是_ 5设集合 ,4 ,6 28, xx Ax y yxRBx y yxR ，
2、则AB . 6函数arccosyx，1,0 x 的反函数是 1 fx _ 7. 用数学归纳法证明 251 1222 n nN 能被31整除时，从k到1k添加的项数共有 _项（填多少项即可） 8 如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的 母线与底面所成的角的大小是 . 9 小王同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书， 从中任取2本， 则这2本 书属于不同学科的概率为_（结果用分数表示） 10在ABC中， 0 45A ，M是AB的中点，若2ABBC，D在线段AC上运动，则 DB DM的最小值为_. 11 已 知 函 数 fxaxb( 其 中, a bR) 满 足 ： 对
3、 任 意 0,1x， 有 1f x ， 则 21 21ab的最小值为 . 徐汇区高三数学 12 已知双曲线 22 1 45 xy ：的左右焦点分别为 1 F、 2 F， 直线l与的左、 右支分别交于点P、Q （P、Q均在x轴上方）. 若直线 1 PF、 2 QF的斜率均为k，且四边形 21 PQF F的面积为20 6， 则k=_ 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分分，每题分，每题分）每题有且只有一个正确）每题有且只有一个正确选项选项。考生。考生应应在答题在答题 纸的相应纸的相应位置位置，将代表，将代表正确选项正确选项的小方格涂黑的小方格涂黑 13已知R
4、x，条件p：xx 2 ，条件q： 1 1 x ，则p是q的-（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 14若i2是关于x的实系数方程0 2 baxx的一根，则ab等于-（ ） A.1 B.1 C.9 D.9 15 方程 8 coslogxx的实数解的个数是-（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 16设T是平面直角坐标系xOy上以 0,2A、 3, 1B 、 3, 1C为顶点的正三角形. 考 虑以下五种平面上的变换: 绕原点作 0 120的逆时针旋转;绕原点作 0 240的逆时针旋转;关 于直线OA的对称;关于直线OB的对称;关于直线OC的对称. 任选
5、三种 变换 (可以相同) 共 有 125 种变换方式, 若要使得 T变回起始位置(即点A、B、C分别都在原有位置) ， 共有 （ ） 种变换方式？ A.12 B.16 C.20 D. 24 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题题，满分满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸分）解答下列各题必须在答题纸的的相应相应位置位置写出必要的步骤写出必要的步骤. 17 （本题满分（本题满分 1414 分，第（分，第（1 1）小题）小题 7 7 分，第（分，第（2 2）小题）小题 7 7 分）分） 如图：在直三棱柱 111 CBAABC 中，2ACBC， 1 4CC ， 0 90ACB，E、
6、F分别为棱 1 AA、AB的中点 （1） 求异面直线CA1与EF所成的角的大小 （结果用反三角函数值表示） ； （2） 求五棱锥 11 CEFBB A的体积 1 1 C EFBB A V F E C1 B1 A1 C B A 徐汇区高三数学 1818 （本题满分 （本题满分 1414 分，第（分，第（1 1）小题）小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题）小题 8 8 分）分） 设椭圆 22 22 1 1 xy mm （0m） 的两个焦点分别是 1 F、 2 F，M是椭圆上任意一点， 21MF F 的周长为222 （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆在y轴负半轴上的顶点B及椭圆右焦点 2 F作
7、一直线交椭圆于另一点N， 求 1 FNB的大小（结果用反三角函数值表示） 19. （本题满分（本题满分 1414 分，第（分，第（1 1）小题）小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题）小题 8 8 分）分） 进博会期间，有一个边长 80m 的正方形展厅 OABC， 由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的 几个部分，已划出以 O 为圆心，60m 为半径的扇形 ODE 作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的 产品说明会场地 PGBF，矩形有两条边分别落在边 AB 和 BC 上，设POA= 5 1212 （1）用表示矩形 PGBF 的面积，并求出当矩形 PGBF 为正方形时的面积（精确到
8、 2 1m） ； （2）当取何值时，矩形 PGBF 的面积 SPGBF最大？并求出最大面积（精确到 2 1m） C E A B O D F G P 徐汇区高三数学 20. 20. （本题满分（本题满分 1616 分，第（分，第（1 1）小题）小题 4 4 分，第（分，第（2 2）小题）小题 6 6 分，第（分，第（,3,3）小题）小题 6 6 分）分） 设)(x表示不小于x的最小整数，例如(0.3)1,( 2.5)2 . . (1)解方程(1)3x； (2)设)()(xxxf， * Nn，试分别求出)(xf在区间0,1、1,2以及2,3上的值域； 若)(xf在区间, 0(n上的值域为 n M，
9、求集合 n M中的元素的个数； (3)设实数0a，2 )( )( x x axxg ， 75 2sin )( 2 xx x xh ，若对于任意4 , 2(, 21 xx都有 )()( 21 xhxg，求实数a的取值范围. . 21. （本题满分（本题满分 1818 分，第（分，第（1 1）小题）小题 4 4 分，第（分，第（2 2）小题）小题 6 6 分，第（分，第（,3,3）小题）小题 8 8 分）分） 对于项数为(3,N)m mm的有限数列 n a，记该数列前i项 12 , i a aa中的最大项为 i x (1,2,)im，即 12 max, ii xa aa；该数列后im 项 mii
10、aaa, 21 中的最小项为 i y (1,2,1)im，即,min 21miii aaay ， iii yxd(1, 3 , 2 , 1mi). (1)对于共有四项的数列：1 , 7 , 4 , 3，求出相应的 321 ,ddd； (2)设c为常数，且cxa kmk 1 (mk, 3 , 2 , 1)，求证： kk xa(mk, 3 , 2 , 1)； (3)设实数0，数列 n a满足 1 1a ， 1 2 3 nn aa (mn, 3 , 2)，若数列 n a对应的 i d满 足 1ii dd 对任意的正整数1,2,3,2im恒成立，求实数的取值范围. 徐汇区高三数学 2020 学年第一学
11、期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科参考答案及评分标准 2020. 12 一 填空题：填空题： （本大题共有（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分分，第，第 1-6 题题每题每题 4 分，分，第第 7-12 题题每题每题 5 分分 1 1 2 21 或 3 3), 3 2 ( 420 5 1,4 , 2,16 6cos 2 xx 75 8 60 9 15 11 10 7 8 11 9 12 2 二选择题：二选择题： （本大题共有本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分分，每题分，每题分） 13C 14A 15B 16C 三三 解答题：解答题： （本大题共（本大题共 5 5 题，满分题，满
12、分 7474 分）分） 17 （本题满分（本题满分 1414 分，第（分，第（1 1）小题）小题 7 7 分，第（分，第（2 2）小题）小题 7 7 分）分） 【解】 （1）解法一：连结BA1，则BA1EF，于是CBA1（或其补角） 就是异面直线CA1与EF所成的角， -（2 分） 在BCA1中，2BC ， 1 2 5AC ， 1 2 6AB ，所以CABC 1 ， 所以， 1 25 tan 52 5 BAC-（6 分） 所以，异面直线CA1与EF所成角的大小为 5 arctan 5 （7 分） 解法二：以C为坐标原点，以射线CA、CB、 1 CC分别为x轴、y轴、z轴的正半轴， 建立空间直角
13、坐标系，则)0 , 0 , 0(C， 1(2,0,4) A，(2,0,2)E，(1,1,0)F（2 分） 于是， 1 2,0, 4AC ， 1,1, 2EF （3 分） 设CA1与EF所夹的角为，则 1 1 1030 cos 6|2 56 AC EF ACEF （6 分） 所以，异面直线CA1与EF所成的角的大小为 6 30 arccos （7 分） （2）由于 1111 8 227 2 EFBB AABB AAEF SSS，-10 分 又由 1 ,CFAB CFAA得 11 CFABB A平面， 所以顶点C到底面的距离为2CF ，-12 分 F E C1 B1 A1 C B A 徐汇区高三数
14、学 所以 1 1 114 2 7 2 33 C EFBB A V -14 分 18(本题满分本题满分 14 分分，第第 1 小题小题满分满分 6 分，第分，第 2 小题小题满分满分 8 分分) 【解】 （1）由题意知，椭圆焦点在x轴上， 设椭圆的长轴、短轴、焦距的长分别为a2、b2、c2， 则1 2 ma，bm，1c， -2 分 由已知，22222 ca， 2 1 1 12m ， -3 分 解得1m， （5 分） 所以所求椭圆的方程为1 2 2 2 y x -6 分 （2）由（1）知，) 1,0(B，)0 , 1 ( 2 F，所以直线的方程为1 xy， -8 分 由 1 2 1 2 2 y x
15、 xy 解得 3 1 , 3 4 N ，于是 4 2 3 NB ，-10 分 由于 1 2 FBN ，且 1 2FB ，-12 分 所以由 1 1 3 tan 4 FB FNB NB ，得 1 3 arctan 4 FNB-14 分 19(本题满分本题满分 14 分分，第第 1 小题小题满分满分 6 分，第分，第 2 小题小题满分满分 8 分分) 【解】(1)S（80-60cos） （80-60sin） ， 5 1 21 2 ，-3 分 当矩形 PGBF 为正方形时， 4 ，此时 SPGBF= 2 8030 21412（ 2 m）-6 分 (2) S3600sincos4800(sincos)
16、6400 1800sin248002sin(+ 4 )6400 1800cos(2+ 2 )48002sin(+ 4 )6400 3600 sin 2 (+ 4 )48002sin(+ 4 )4600， 5 1212 -10 分 记 tsin(+ 4 ) 3 2 ,1,则 2 36004800 24600Stt 徐汇区高三数学 对称轴为 t 3 22 ，1 3 22 3 22 3 2 t 3 2 即 12 或 5 12 时， max 1421S（ 2 m）-14 分 （注意：若令sincost，则相应给分） 20(本题满分本题满分 16 分分，第第 1 小题小题满分满分 4 分，第分，第 2
17、小题小题满分满分 6 分，第分，第 3 小题小题满分满分 6 分分) 【解】(1)由题意得：213x ，解得：34x. .-4 4 分分 (2)当0,1x时，( )1,( )0,1xxxx ，于是( )1xx，值域为 1 当1,2x时，( )2,( )22,4xxxx，于是( )3xx或4，值域为3,4 当2,3x时，( )3,( )36,9xxxx，于是( )7xx或8或 9，值域为7,8,9 -7 分 设 * nN，当(1, xnn时，( )xn，所以( )xxnx的取值范围为 22 (,nn n，-8 分 所以( )f x在(1, xnn上的函数值的个数为n，-9 分 由于区间 22 (
18、,nn n与 22 (1)(1),(1) nnn的交集为空集， 故 n M中的元素个数为 (1) 123 2 n n n . .-10 分 (3) 由于 2 14 0 573xx ，1 sin23x ， 因此( )4h x ， 当 5 2 x 时取等号， 即即(2,4x 时，( )h x的最大值为4，-12 分 由题意得(2,4x时，( )4g x 恒成立，当(2,3x时， 2 2 3 x ax恒成立，因为 2 max (2)3 3 x x，所以3a -14 分 当(3,4x时， 2 3 24 x ax恒成立，因为 2 39 244 x x，所以 9 4 a 综合得，实数a的取值范围是(3,)
19、. .-16 分 C E A B O D F G P 徐汇区高三数学 21(本题满分本题满分 18 分分，第第 1 小题小题满分满分 4 分，第分，第 2 小题小题满分满分 6 分，第分，第 3 小题小题满分满分 8 分分) 【解】(1)3 1 x，1 1 y，2 1 d；4 2 x，1 2 y， 3 2 d；7 3 x，1 3 y，6 3 d.-4 分 (2)因为,max 21kk aaax，,max 1211 kkk aaaax，所以 kk xx 1 -6 分 又因cxa kmk 1 ，cxa kmk 1 ， 故0 11 kmkmkk xxaa，即 kk aa 1 -9 分 所以 kk x
20、a.-10 分 (3)当1时，数列 n a是等差数列，此时 3 2 1 ii dd不满足题意-11 分 当1时，) ) 1( 3 2 ( ) 1(3 2 1 nn aa，且 1 231 3(1)3(1) a 当 1 3 时，1 n a 为常数数列，此时 1 0 ii dd 亦不满足题意-12 分 当 1 3 时， 1 231 0 3(1)3(1) a ，此时 ) 1(3 2 ) 1( 3 13 1 n n a-13 分 由题意得，,min,max 2121miiii aaaaaad ,min,max 321211miiiii aaaaaaad 由于,min,min 3221miimii aaaaaa ，而 1ii dd 因此,max,max 21121iii aaaaaaa ， 故 ii ax 对任意正整数mi, 3 , 2 , 1都成立-15 分 所以 1 iii aad， 211 iii aad-16 分 所以 11 121 31 22 3(1) iii iiiii ddaaa 徐汇区高三数学 1212 3131 (21)(1)0 3(1)3(1) ii ，-17 分 解得：1 3 1 .-18 分
