1、 高三数学期初答案 一、单选题 1-4 CACD 5-8 CCAB 二、多选题 9.BD 10.BCD 11.BC 12.CD 三、填空题 13. 1 8 14.2yx 15.()2,6 16.12 3 四、解答题 17解： （1） 2 2 3213f xsinxcosxsin x sin2xcos2x 2sin（2x 6 ） ，2 分 令 2k 2 2x 6 2k 2 ，kZ，解得 k 6 xk 3 ，kZ， 函数 f（x）的单调递增区间为：k 6 ，k 3 ，kZ4 分 （2）f（A）2sin（2A 6 ）2， sin（2A 6 ）1， A（0，） ，2A 6 （ 6 ，11 6 ） ，
2、2A 62 ，解得 A 3 ，6 分 C 4 ，c2， 由正弦定理 sin ab sinAB ，可得 2 sin sin34 13 2 2 cB b sinC ，8 分 SABC 1 2 absinC 1 6 2 （1 3 ） 233 22 10 分 18解： （1）因为男生人数为： 11 12055 11 13 ，所以女生人数为120 5565， 于是可完成22列联表，如下： 满意 不满意 总计 男生 30 25 55 女生 50 15 65 合计 80 40 120 4 分 根据列联表中的数据，得到 2 K 的观测值 2 120 (30 1525 50)960 6.7136.635 55
3、65 80 40143 k ， 所以有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”.6 分 （2）由（1）可知男生抽 3 人，女生抽 5 人，依题可知的可能取值为0,1,2,3，并且服 从超几何分布， 3 35 3 8 0,1,2,3 kk C C Pkk C ，即 321 553 33 88 515 (0), (1) 2828 CC C PP CC , 123 533 33 88 151 (2), (3) 5656 C CC PP CC . 可得分布列为 0 1 2 3 P 5 28 15 28 15 56 1 56 可得 5151519 ( )0123 282856568 E .12
4、 分 19. 解： （1）因为双曲线 22 221xy的焦点为1,0，所以在椭圆 C中1c， 设椭圆 C 的方程为 2 2 22 1 10 y x aa a ， 由点0, 3P在椭圆 C 上得 2 3 1 1a ，解得 2 42aa ，则4 13b ， 所以椭圆 C的方程为 22 1 43 xy .4 分 （2） 22 712mk 为定值，理由如下： 设 1122 ,A x yB x y，由 0OA OB 可知 1212 0 x xy y， 联立方程组 222 22 3484120 1 43 ykxm kxmkxm xy ， 由 2222 644 344120m kkm 得 22 34mk，6
5、 分 2 1212 22 8412 , 3434 kmm xxx x kk ，8 分 由 1212 0 x xy y及ykxm得 1 212 0 x xkxmkxm， 整理得 22 1212 10kx xkm xxm， 将式代入上式可得 2 22 22 4128 10 3434 mkm kkmm kk ， 同时乘以 2 34k可化简得 2222222 14128340kmk mmm k， 所以 22 712=12mk，即 22 712mk为定值.12 分 20解： （1）因为( )0f x 的解集为 1,2 ，所以 2 0 xbxc的根为1，2， 所以1b ，2c ，即1b ，2c ；所以 2
6、 ( )2f xxx；2 分 （2）( )2(1)mf xxm， 化简有 2 (2)2(1)m xxxm， 整理(2)(1)0mxx， 所以当0m时，不等式的解集为(,1)， 当02m时，不等式的解集为 2 (,1), m ， 当2m 时，不等式的解集为(,1)(1,)， 当2m 时，不等式的解集为 2 (,)1, m ，7 分 （3）因为 2,1x 时 2 ( )3123f xxxx ，根据二次函数的图像性质，有 2 ( )3123 4,0f xxxx ， 则有 2 ( ) 3123 ( )22 f xxxx g x ，所以， 1 ( ),1 16 g x ，9 分 因为对于任意的 12 ,
7、 2,1x x 都有 12 | ()()|g xg xM， 即求 12 | ( )()|Maxg xg xM，转化为( )( ) MaxMin g xg xM，10 分 而( )(1)1 Max g xg， 1 ( )( 1) 16 Min g xg，所以， 此时可得 15 16 M ， 所以 M 的最小值为 15 16 .12 分 21.解： （1）的定义域为；1 分 2 233 22(2)(1) ( ) aaxx fxa xxxx . 当，时，( )0fx ，单调递增； (1,),( )0 xfx时，单调递减. 当时， 3 (1)22 ( )()() a x fxxx xaa . ， ，
8、当或x时，( )0fx ，单调递增； 当x时，( )0fx ，单调递减； 时，在x 内，( )0fx ，单调递增； 时， ， 当或x时，( )0fx ，单调递增； 当x时，( )0fx ，单调递减.5 分 综上所述， 当时，函数在内单调递增，在内单调递减； 当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递 增； 当时，在内单调递增； 当，在内单调递增， 在内单调递减， 在内单调递增.6 分 （2）由（）知，时， 223 21122 ( )( )ln(1) x f xfxxx xxxx 23 312 ln1xx xxx ， ， 令，. 则( )( )( )( )f xfxg xh x， 由 1 (
9、)0 x g x x 可得，当且仅当时取得等号.8 分 又 2 4 326 ( ) xx h x x ， 设，则在x单调递减， 因为， 所以在上存在使得时，时， 所以函数( )h x在上单调递增；在上单调递减， 由于，因此，当且仅当取得等号，10 分 所以 3 ( )( )(1)(2) 2 f xfxgh， 即 3 ( )( ) 2 f xfx对于任意的恒成立12 分 22.解： （1）证明：设点 11 ,A x y、 22 ,B x y， 则以A为切点的切线方程为 11 1 2 yyxx y ，即 11 2y yxx， 同理以B为切点的切线方程为 22 2y yxx，2 分 两条切线均过点1
10、,Pt， 11 22 21 21 tyx tyx ，即 11 22 220 220 xty xty ， 所以，点A、B的坐标满足直线220 xty的方程，4 分 所以，直线AB的方程为220 xty， 在直线AB的方程中，令0y ，可得1x ，所以，直线AB过定点1,0；6 分 （2）设点P到直线AB的距离为d，则 1 2 1 2 PAB PCD dAB ABS SCD d CD . 由题意可知，直线AB不与x轴重合，可设直线AB的方程为1xmy， 设 33 ,C x y、 44 ,D xy，由 2 4 1 yx xmy ，得 2 440ymy， 2 1610m 恒 成立， 由韦达定理得 12
11、 4yym， 12 4y y ， 由弦长公式可得 2 222 121212 11441ABmyymyyy ym 8 分 由 22 1 43 1 xy xmy ，得 22 34690mymy， 222 3636 3414410mmm 恒成立. 由韦达定理得 34 2 6 34 m yy m ， 34 2 9 34 y y m ， 由弦长公式得 2 2 22 343434 2 121 114 34 m CDmyymyyy y m . 10 分 2 2 2 2 2 41 3444 33312 1 34 PAB PCD m ABSm m SCDm m ， 当且仅当0m时，等号成立.12 分 因此， 1 2 S S 的最小值为 4 3 .
